2017-2018版高中數(shù)學(xué)第一章統(tǒng)計(jì)8最小二乘估計(jì)學(xué)案3

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE15學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE8最小二乘估計(jì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1。了解用最小二乘法建立線性回歸方程的思想，會(huì)用給出的公式建立線性回歸方程.2。理解回歸直線與觀測(cè)數(shù)據(jù)的關(guān)系，能用線性回歸方程進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．知識(shí)點(diǎn)一最小二乘法思考具有線性相關(guān)關(guān)系的散點(diǎn)大致分布在一條直線附近．如何確定這條直線比較合理？知識(shí)點(diǎn)二線性回歸方程思考數(shù)學(xué)上的“回歸”是什么意思？梳理用最小二乘法得到的直線方程稱為__________，a,b是線性回歸方程的系數(shù)．如果用eq\x\to（x）表示eq\f（x1＋x2＋…＋xn，n），用eq\x\to(y)表示eq\f(y1＋y2＋…＋yn,n)，則可以求得b＝eq\f（x1－\x\to(x）y1－\x\to（y)＋x2－\x\to(x)y2－\x\to(y)＋…＋xn－\x\to(x）yn－\x\to（y）,x1－\x\to(x）2＋x2－\x\to(x)2＋…＋xn－\x\to（x）2）＝eq\f（x1y1＋x2y2＋…＋xnyn－n\x\to（x）\x\to(y），x\o\al（2,1)＋x\o\al（2,2）＋…＋x\o\al（2,n)－n\x\to（x)2）。a＝________。類型一線性回歸方程的求法例1下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料．機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x/千臺(tái)95110112120129135150180交通事故數(shù)y/千件6.27.57。78。58.79。810。213(1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果不具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程．反思與感悟即使散點(diǎn)圖呈餅狀,也可利用公式求出線性回歸方程，但這種方程顯然沒(méi)什么價(jià)值．故應(yīng)先畫出散點(diǎn)圖，看是否呈直線形，再求方程．跟蹤訓(xùn)練1以下是某地搜集到的新房屋的銷售價(jià)格y和房屋的面積x的數(shù)據(jù)：房屋面積x（m2)11511080135105銷售價(jià)格y(萬(wàn)元）24.821.618.429。222(1)畫出數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖;(2)求線性回歸方程，并在散點(diǎn)圖中加上回歸直線．類型二線性回歸方程的應(yīng)用例2有一個(gè)同學(xué)家開了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)熱飲銷售的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫度/℃－504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1）畫出散點(diǎn)圖;（2）從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間有什么關(guān)系;(3)求線性回歸方程;(4)如果某天的氣溫是2℃，預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)；（5）氣溫為2℃時(shí),小賣部一定能夠賣出143杯左右熱飲嗎？為什么?反思與感悟線性回歸方程主要用于預(yù)測(cè),但這種預(yù)測(cè)類似于天氣預(yù)報(bào),不一定與實(shí)際數(shù)據(jù)完全吻合．跟蹤訓(xùn)練2有人統(tǒng)計(jì)了同一個(gè)省的6個(gè)城市某一年的人均國(guó)民生產(chǎn)總值(即人均GDP)和這一年各城市患白血病的兒童數(shù)，如下表：人均GDP/萬(wàn)元1086431患白血病的兒童數(shù)/人351312207175132180(1）畫出散點(diǎn)圖，并判定這兩個(gè)變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系;（2)通過(guò)計(jì)算可知這兩個(gè)變量的線性回歸方程為y＝23。25x＋102。15，假如一個(gè)城市的人均GDP為12萬(wàn)元,那么可以斷言，這個(gè)城市患白血病的兒童一定超過(guò)380人，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)斷言是否正確？1．下列有關(guān)線性回歸的說(shuō)法,不正確的是()A．自變量取值一定時(shí),因變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系B．在平面直角坐標(biāo)系中用描點(diǎn)的方法得到表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫作散點(diǎn)圖C．線性回歸方程最能代表觀測(cè)值x、y之間的線性關(guān)系D．任何一組觀測(cè)值都能得到具有代表意義的線性回歸方程2．已知回歸直線的斜率的估計(jì)值是1.23,樣本點(diǎn)中心(即（eq\x\to(x），eq\x\to（y)))為(4,5),（)A．y＝1.23x＋4B．y＝1.23x＋5C．y＝1。23x＋0.08D．y＝0。08x＋1.233．某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬(wàn)元）4235銷售額y（萬(wàn)元）49263954根據(jù)上表可得線性回歸方程y＝bx＋a中的b為9.4,據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬(wàn)元時(shí)銷售額為(）A．63。6萬(wàn)元B．65。5萬(wàn)元C．67.7萬(wàn)元D．72.0萬(wàn)元4．設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，yi)(i＝1，2,…，n)，用最小二乘法建立的線性回歸方程為y＝0。85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過(guò)樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x),eq\x\to（y））C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0。85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可判定其體重必為58。79kg1．求線性回歸方程時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題(1)知道x與y成線性相關(guān)關(guān)系,無(wú)需進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn),否則應(yīng)首先進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)，如果兩個(gè)變量之間本身不具有相關(guān)關(guān)系，或者說(shuō),它們之間的相關(guān)關(guān)系不顯著,即使求出線性回歸方程也是毫無(wú)意義的,而且用其估計(jì)和預(yù)測(cè)的量也是不可信的．（2）用公式計(jì)算a、b的值時(shí)，要先計(jì)算b,然后才能算出a.2．利用線性回歸方程，我們可以進(jìn)行估計(jì)和預(yù)測(cè)．若線性回歸方程為y＝bx＋a，則x＝x0處的估計(jì)值為y0＝bx0＋a。

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考應(yīng)該使散點(diǎn)整體上最接近這條直線．最小二乘法是一種求回歸直線的方法，用這種方法求得的回歸直線能使樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離[y1－(a＋bx1）]2＋[y2－(a＋bx2）］2＋…＋［yn－（a＋bxn）］2最小．知識(shí)點(diǎn)二思考“回歸”一詞最早由英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家（FrancilsGalton）提出的，本意是子女的身高會(huì)向一般人的均值靠攏．現(xiàn)在這個(gè)概念引伸到隨機(jī)變量有向回歸線集中的趨勢(shì)．梳理線性回歸方程eq\x\to(y）－beq\x\to(x）題型探究例1解（1)在平面直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖．直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近,故具有線性相關(guān)關(guān)系．(2）計(jì)算相應(yīng)的數(shù)據(jù)之和:eq\i\su（i＝1,8，x）i＝1031，eq\i\su(i＝1，8，y)i＝71.6，eq\i\su(i＝1，8，x)eq\o\al(2，i)＝137835，eq\i\su(i＝1,8,x)iyi＝9611.7，eq\x\to（x）＝128.875，eq\x\to（y)＝8.95，將它們代入公式計(jì)算得b≈0.0774,a≈－1。0249，所以,所求線性回歸方程為y＝0。0774x－1。0249。跟蹤訓(xùn)練1解(1)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示:(2)eq\x\to（x）＝eq\f（1,5）eq\i\su(i＝1,5，x）i＝109，eq\x\to（y)＝23.2,eq\i\su(i＝1,5，x）eq\o\al（2,i）＝60975,eq\i\su(i＝1,5，x)iyi＝12952.設(shè)所求線性回歸方程為y＝bx＋a，則b＝eq\f(\i\su（i＝1，5,x)iyi－5\x\to(x）\x\to(y），\i\su（i＝1，5，x）\o\al(2，i)－5\x\to（x）2)≈0。1962，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x）＝23。2－109×0。1962＝1.8142，故所求線性回歸方程為y＝0。1962x＋1。8142?；貧w直線如（1)中圖所示．例2解（1）散點(diǎn)圖如圖所示：（2）從上圖看到,各點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域里,因此，氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間呈負(fù)相關(guān)，即氣溫越高，賣出去的熱飲杯數(shù)越少．（3）從散點(diǎn)圖可以看出，這些點(diǎn)大致分布在一條直線的附近，因此，可用公式求出線性回歸方程的系數(shù)．利用計(jì)算器容易求得線性回歸方程為y＝－2.352x＋147。767.（4)當(dāng)x＝2時(shí),y＝143.063.因此，某天的氣溫為2℃時(shí),這天大約可以賣出143杯熱飲．(5)小賣部不一定能夠賣出143杯左右熱飲，原因如下:①線性回歸方程中的截距和斜率都是通過(guò)樣本估計(jì)出來(lái)的,存在誤差，這種誤差可以導(dǎo)致預(yù)測(cè)結(jié)果的偏差．②即使截距和斜率的估計(jì)沒(méi)有誤差,也不可能百分之百地保證對(duì)應(yīng)于x的預(yù)報(bào)值，能夠與實(shí)際值y很接近．我們不能保證點(diǎn)(x,y)落在回歸直線上,甚至不能百分之百地保證它落在回歸直線的附近．跟蹤訓(xùn)練2解（1）散點(diǎn)圖如下:根據(jù)散點(diǎn)圖可以看出,在6個(gè)點(diǎn)中，雖然第一個(gè)點(diǎn)離這條直線較遠(yuǎn),但其余5個(gè)點(diǎn)大致分布在這條直線的附近，所以這兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系．（2)斷言是錯(cuò)誤的,將x＝12代入y＝23。25x＋102.15得y＝2