第三節(jié)晶列和晶面指數(shù)

§1.3晶列和晶面指數(shù)(crystalarrayandMillerindices)

一、晶列和晶向指數(shù)

(crystalarrayanddirectionindices)二、晶面和密勒指數(shù)

（latticeplanesandMillerindices）本節(jié)思路：介紹晶列、晶面的概念以及它們的表示。一、晶列和晶向指數(shù)(crystalarrayanddirectionindices)

1晶列和晶向(crystalarrayandcrystaldirection)

晶列(crystalarray)--由于晶體的周期性結(jié)構(gòu)，布拉菲格子的格點(diǎn)可以看成分列在一系列相互平行的直線上，而無(wú)遺漏，這樣的直線系稱為晶列?！?.3晶列和晶面指數(shù)

(crystalarrayandMillerindices)

同一格子可以形成方位不同的晶列，晶列的取向稱為晶向（crystaldirection）。晶列的特點(diǎn)：晶列上的格點(diǎn)具有一定的周期性。

晶列族——如果一平行直線族把格點(diǎn)包括無(wú)遺，且每一直線上都布有格點(diǎn)，則稱這些直線為同一族晶列。

一族晶列的特征：取向相同，晶列上格點(diǎn)的周期相同。2晶向指數(shù)(directionindices)

一組能表示晶列方向的數(shù)稱為晶向指數(shù)。晶向指數(shù)可根據(jù)晶列上格點(diǎn)的周期性，用如下的方法來(lái)表標(biāo)志：取晶列直線上一格點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，該晶列上另一格點(diǎn)相對(duì)該點(diǎn)的位矢為：將l’1，l’2，l’3

化為互質(zhì)的整數(shù)l1，l2，l3，記作［

l1l2l3

］，即稱為該晶向的指數(shù)，又稱為晶列指數(shù)(crystalarrayindices)。遇到負(fù)數(shù)，負(fù)號(hào)記在數(shù)的上方。不同的基矢坐標(biāo)，其晶向指數(shù)的表示不同。等價(jià)的方向用<

l1l2l3

>表示。如圖所示為立方晶格的一些晶向：AB[100]AE[001]AF[101]BA[00]FB[00]BH[11]AD[010]AG[111]AC[110]DA[00]EA[00]……

可以看出，AB，AD，AE，BA，DA,EA六個(gè)晶向，其晶向指數(shù)的差異完全來(lái)自基矢方向的選擇。由于對(duì)稱性，它們?cè)谖锢砩鲜峭耆葍r(jià)的，可以統(tǒng)一用<100>表示。類似地，用<110>表示與［110］等價(jià)的12個(gè)面對(duì)角線晶向；用<111>表示與［111］等價(jià)的體對(duì)角線晶向。ABCDEFGH簡(jiǎn)單立方晶格的晶向標(biāo)志

立方邊OA的晶向立方邊共有6個(gè)不同的晶向簡(jiǎn)單立方晶格的晶向標(biāo)志

面對(duì)角線OB的晶向——面對(duì)角線晶向共有12個(gè)

體對(duì)角線OC的晶向——體對(duì)角線晶向共有8個(gè)簡(jiǎn)單立方晶格的晶向標(biāo)志

——由于立方晶格的對(duì)稱性，以上3組晶向是等效的簡(jiǎn)單立方晶格的晶向標(biāo)志

——表示為晶向指數(shù)晶向指數(shù)二、晶面和密勒指數(shù)（latticeplanesandMillerindices）1晶面和晶面族(latticeplanesandthefamily)

晶面—布拉菲格子的格點(diǎn)，也可以看成分列在相互平行、間距相等的平面上而無(wú)遺漏，這些包含格點(diǎn)的平面稱為晶面；晶面族--而那些相互平行、間距相等、格點(diǎn)分布情況相同的總體，稱為晶面族。

晶面的標(biāo)志

晶體的晶面——在布拉伐格子中作一簇平行的平面這些相互平行、等間距的平面可以將所有的格點(diǎn)包括無(wú)遺——這些相互平行的平面稱為晶體的晶面同一個(gè)格子，兩組不同的晶面族LatticePlanesandMillerIndicesImaginerepresentingacrystalstructureonagrid(lattice)whichisa3Darrayofpoints(latticepoints).Canimaginedividingthegridintosetsof“planes”indifferentorientations取某一原子為原點(diǎn)O，原胞的三個(gè)基矢為坐標(biāo)系的三個(gè)軸——晶格中一族的晶面不僅平行，并且等距——一族晶面必包含了所有格點(diǎn)而無(wú)遺漏——三個(gè)基矢末端格點(diǎn)必分別落在該族的不同晶面上2晶面指數(shù)和密勒指數(shù)

(indicesoflatticeplanesandMillerindices)▲晶面指數(shù):

能夠標(biāo)志晶面取向的一組數(shù)，稱為晶面指數(shù)(indicesoflatticeplane)。要描寫一個(gè)平面的方位，就是要找出一個(gè)坐標(biāo)系中表示該平面的法線方向，或給出該平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上截距。顯然，根據(jù)基矢取坐標(biāo)系時(shí)，晶面指數(shù)也有兩種標(biāo)志方法。

(1)固體物理學(xué)原胞

(2)結(jié)晶學(xué)原胞二、晶面和密勒指數(shù)

（latticeplanesandMillerindices）

設(shè)某一族晶面的面間距為d，它的法線方向的單位矢量為則在這族晶面中，離開原點(diǎn)的距離為的晶面的方程式為

（1.3.1）為了標(biāo)志一個(gè)晶面，通常選取某一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)，以基矢為坐標(biāo)軸，并取為沿著三個(gè)坐標(biāo)軸的天然長(zhǎng)度。其中為整數(shù)；是晶面上任一點(diǎn)的位置矢量。設(shè)此晶面與三個(gè)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的位矢分別為依次代入（1.3.1）式就得到取為沿三個(gè)坐標(biāo)軸的天然的長(zhǎng)度單位，則得

（1.3.2）所以，晶面的法線方向與三個(gè)坐標(biāo)軸（基矢）之間夾角的余弦之比等于晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距的倒數(shù)之比。說(shuō)明用方向余弦和截距標(biāo)志晶面是等價(jià)的。

可以證明，r、s、t必為有理數(shù)

因?yàn)樵谠撟寰嬷杏腥齻€(gè)晶面必過(guò)所對(duì)應(yīng)的格點(diǎn)。的端點(diǎn)的端點(diǎn)上的格點(diǎn)分別在離原點(diǎn)的距離為的晶面上，這里設(shè)都是整數(shù)按照（1.3.1）式，對(duì)這三個(gè)晶面分別有其中是這族晶面公共法線的單位矢量所以有即晶面族的法線方向與三個(gè)基矢之間夾角的余弦之比等于三個(gè)整數(shù)之比。用天然長(zhǎng)度之后（1.3.3）比較（1.3.2）式和（1.3.3）式，容易看出，r、s、t分別是兩個(gè)整數(shù)之比，必為有理數(shù)，這就是阿羽依的有理指數(shù)定律：任一晶面的截距r、s、t必是一組有理數(shù)。整數(shù)也是互質(zhì)的在方程（1.3.1）中取，得第一晶面滿足的方程組：（1.3.4）設(shè)第一晶面某一個(gè)格點(diǎn)的格矢為其中為整數(shù)。將格矢代入方程（1.3.1），有

（1.3.5）由（1.3.4）和（1.3.5）式，可以得到

（1.3.6）如果不是互質(zhì)數(shù)，而是有公因子m，m一定是大于1的整數(shù)。

（1.3.7）令為互質(zhì)整數(shù)，這樣式（1.3.6）可以寫為在式（1.3.7）中，括號(hào)內(nèi)為非零整數(shù)，則此式不成立。所以必為互質(zhì)數(shù)。

顯然，這組互質(zhì)的整數(shù)可用來(lái)表示晶面的法線方向，就稱它們?yōu)樵撟寰娴拿嬷笖?shù)，習(xí)慣上用圓括號(hào)表示，記為求晶面指數(shù)的方法：

對(duì)于給定的晶面族，以基矢為坐標(biāo)系，求出任意一個(gè)晶面在坐標(biāo)軸上的截距，將截距取倒數(shù)并化為互質(zhì)的整數(shù)，記為，就是該晶面族的晶面指數(shù)。密勒指數(shù)(Millerindices)

用結(jié)晶學(xué)原胞基矢構(gòu)成坐標(biāo)系,得到的晶面指數(shù),稱之為密勒指數(shù)，用（hkl）表示。

同一族晶面，在不同坐標(biāo)系中求得的指數(shù)往往是不同的。注意：

（1）面指數(shù)可正可負(fù)，當(dāng)晶面在基矢坐標(biāo)軸正方向相截時(shí)，截距系數(shù)為正，在負(fù)方向相截時(shí)，截距系數(shù)為負(fù)。（2）同一晶體中面間距相同的晶面族，由于在垂直于晶面的方向上，其宏觀性質(zhì)相同，所以稱為同族晶面族，并以大括號(hào)表示之。如立方晶系晶體的晶面族｛111｝包括（111）、、、、、和。立方晶格的幾種主要晶面標(biāo)記

面等效的晶面數(shù)分別為：3個(gè)表示為面等效的晶面數(shù)分別為：6個(gè)表示為面等效的晶面數(shù)分別為：4個(gè)表示為——符號(hào)相反的晶面指數(shù)只是在區(qū)別晶體的外表面時(shí)才有意義,在晶體內(nèi)部這些面都是等效的如圖所示，以原胞基矢構(gòu)成坐標(biāo)系，晶面族在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別是，截距的倒數(shù)是，化成互質(zhì)數(shù)為2，3，3，所以晶面指數(shù)是（233）。晶面指數(shù)為（233）的晶面族中的一個(gè)晶面SummarycrystalarrayanddirectionindicescrystalarraycrystaldirectiondirectionindiceslatticeplanesandMillerindiceslatticeplanesMillerindicesCrystaldirections.AnylatticevectorcanbewrittenasthatgivenbyEq:Thedirectionisthenspecifiedbythethreeintegers[l’1l’2l’3

].Ifthenumbersl’1l’2l’3haveacommonfactor,thisfactorisremoved.Forexample,[111]isusedratherthan[222],or[100],ratherthan[400].Whenwespeakaboutdirections,wemeanaholesetofparallellines,whichareequivalentduetotransnationalsymmetry.Oppositeorientationisdenotedbythenegativesignoveranumber.Crystalplanes.TheorientationofaplaneinalatticeisspecifiedbyMillerindices.Theyaredefinedasfollows.Wefindinterceptoftheplanewiththeaxesalongtheprimitivetranslationvectorsa1,a2anda3.Let’stheseinterceptsbex,y,andz,sothatxisfractionalmultipleofa1,yisafractionalmultipleofa2andzisafractionalmultipleofa3.Thereforewecanmeasurex,y,andzinunitsa1,a2anda3respectively.Wehavethenatripletofintegers(xyz).Thenweinvertit(1/x1/y1/z)andredu