第十二章機械振動

第十二章機械振動第十三章機械波電磁振蕩和電磁波第十四章波動光學第四篇振動和波動§12—1簡諧振動簡諧振動的振幅、周期、頻率和相位§12—2簡諧振動的能量§12—4同方向的簡諧振動的合成第十二章機械振動1、確切理解簡諧振動特征量的物理意義，能熟練地確定振動系統(tǒng)的特征量，從而建立簡諧振動方程；2、掌握描述簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量法和圖線表示法；3、掌握簡諧振動的特征和規(guī)律；4、掌握同方向、同頻率簡諧振動的合成的特點和規(guī)律，了解拍和互相垂直簡諧振動的合成的特點；教學要求物體在一定位置附近來回往復(fù)的運動稱為機械振動。如鐘表里的擺輪、汽缸中的活塞、樂器的弦等。廣義地說：任何一個物理量只要它在某一定值附近作反復(fù)的周期性變化，都可以稱為振動（稱為廣義振動）（如交流電的電壓、電流等）最基本、最簡單的振動是簡諧振動。由數(shù)學中的傅立葉級數(shù)展開可知：一切復(fù)雜的振動都可看作是一系列簡諧振動的合成。§15—1簡諧振動一、簡諧振動：

（a）彈簧振子（k+m)：理想模型——輕彈簧、振動質(zhì)點、無摩擦力、受恢復(fù)力、直線運動(注意坐標原點選擇在平衡位置)平衡位置xo彈簧振子的振動（b）平衡位置：合力為零的位置。-A

0

A

x彈簧振子的振動：

0x

0x

0x

0x

GN-A0AX彈簧振子的振動（演示）平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）GNF-A0AX彈簧振子的振動NGF-A0AX彈簧振子的振動GNF-A0AX彈簧振子的振動NGF-A0AX彈簧振子的振動GNF-A0AX彈簧振子的振動NGF-A0AX彈簧振子的振動GN-A0AX平衡位置：合力為零。即G+N=0（G=N）彈簧振子的振動（C）簡諧振動：（1）定義：對彈簧振子，如果位移較小，在無阻尼情況下，在平衡位置附近作來回往復(fù)的直線運動，這種周期性運動成為簡諧振動。（2）運動方程：-A

0

A

xx任意位置坐標x就為物體相對平衡位置的位移，由胡克定律：回（恢）復(fù)力：始終指向平衡位置，大小與位移成正比。由牛頓第二定律：

負號表示力的方向和位移的方向相反，始終指向平衡位置。說明作簡諧振動的物體的加速度與位移成正比且方向相反。令

則而加速度：（簡諧振動的特征方程）特征方程的解為:（簡諧振動的運動方程）、為積分常數(shù)，由初始條件決定。若令則上式變?yōu)楹喼C振動的三個特征（三種定義）：（1）振動物體所受合力恒與位移成正比且反向。

凡是滿足以上三個特征之一的振動都是簡諧振動。（3）振動物體的位移是時間的余（正）弦函數(shù)。（2）振動物體的加速度恒與位移成正比且反向。二、簡諧振動的速度和加速度：簡諧振動的運動方程本章采用余弦形式，即：三、描述簡諧振動的物理量及物理意義（三個特征量）(a)振幅：物體離開平衡位置最大位移的絕對值。

描述簡諧振動的強度。(b)周期、頻率、角頻率（、、）：描述振動的快慢。(1)周期：作一次完全振動的時間。(2)頻率：單位時間內(nèi)作完全振動的次數(shù)。特例：彈簧振子周期、頻率由彈簧的倨強系數(shù)和振動物體的質(zhì)量確定，是由振動系統(tǒng)本身決定的，稱為系統(tǒng)的固有周期和固有頻率。（c）相位：簡諧振動時刻的相位。相位是描述任意時刻物體運動狀態(tài)的物理量，通過相位可以確定任意時刻物體的位置（位移）和速度。當時，相位為，稱為初相位。（d）振幅和初相位的確定。初始條件：（a）（b）（1）（2）由（2）式確定兩個值，再由正負，唯一確定值。例1、一物體作簡諧振動，其速度最大值，其振幅，若時，物體位于平衡位置且向軸負方向運動。求:(1)振動周期；(2)加速度的最大值；(3)振動方程的數(shù)值式。已知：解：[例2]一簡諧振動曲線如下圖，寫出其振動（運動）方程。

提示：1、旋轉(zhuǎn)矢量：模長——振幅A角速度——角頻率t時刻與x軸的夾角——相位初始時與x軸的夾角——初相四、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法作坐標軸ox,自原點作一矢量

,規(guī)定：pMMxyOt=t，

與x軸夾角為顯然P點的坐標即P點作簡諧振動2、矢端在x

軸上投影的運動規(guī)律t=0，

與x軸夾角為即當矢量OM以勻速轉(zhuǎn)動時，其端點M

在x軸上的投影點P

的運動是簡諧振動。

M點的軌跡是一個圓，常稱為P點作簡諧振動的參考圓。顯然M點旋轉(zhuǎn)一周相當于P

點作一次全振動。pMMxyopMMxyO3、旋轉(zhuǎn)矢量下的速度和加速度：4、兩點說明:(1)旋轉(zhuǎn)矢量法是研究簡諧振動的一種直觀方法；(2)不能把旋轉(zhuǎn)矢量端點M的運動誤認為簡諧振動。5、用旋轉(zhuǎn)矢量比較兩個同頻率振動的步調(diào)：兩個振動：它們的相位之差稱為相位差。若，就說比超前；若，就說比落后。速度比位移超前，加速度又比速度超前，加速度就比位移超前。二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法

OXPM相位參考圓

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM或參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位

OXPM或參考圓二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法相位二、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法OXtAXO振動物體的位移和時間的關(guān)系圖X—t圖M參考圓6、簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量表示法圖示

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位

O

xPM相位[例3]圖中三條曲線分別表示簡諧振動中的位移，速度和加速度，下列說法中哪一個是正確的：（A）曲線3、1、2分別表示

、、曲線。（B）曲線2、1、3分別表示

、、曲線。（C）曲線1、3、2分別表示

、、曲線。（D）曲線2、3、1分別表示

、、曲線。（E）曲線1、2、3分別表示

、、曲線。E[例4]一個質(zhì)點作簡諧振動，振幅為，在起始時刻質(zhì)點的位移為，且向軸的正方向運動，代表此簡諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量圖為：B[例5]一質(zhì)點作簡諧振動，其運動速度與時間的曲線如圖所示，若質(zhì)點的振動規(guī)律用余弦函數(shù)描述，則其初相位應(yīng)為：（A）。（B）。（C）。（D）。（E）。提示：選18例6、p112,12-10.如圖所示，密度計玻璃管的直徑為

，浮在密度為的液體中，若在豎直方向輕輕推動一下，任其自由振動。試證明：若不計液體的粘滯阻力，密度計的運動是簡諧振動；設(shè)密度計的質(zhì)量為，試求振動周期。提示：處于平衡時，浸入水中部分長度為。（1）取平衡位置為坐標原點，向下為

軸正向，當密度計有向下位移時，有：（2）（1）、（2）兩式聯(lián)立：密度計的運動為簡諧振動。Example、設(shè)想地球內(nèi)有一光滑隧道，如圖所示。證明質(zhì)點m在此隧道內(nèi)的運動為簡諧振動，并求其振動周期。oyrR證明：質(zhì)點m受力分析建立oy坐標系滿足簡諧振動微分方程，故為簡諧振動周期：總結(jié)：簡諧振動主要有兩類問題：1、確定、、；2、判斷簡諧振動：。解題步驟：（1）確定系統(tǒng)，對振動系統(tǒng)進行受力分析；（2）確定平衡位置（合力為零），建立坐標系。（3）列出牛頓第二定律方程。（4）振動物體沿坐標正向移動，再列牛頓第二定律方程。（5）聯(lián)立解得微分方程，定常數(shù)。（6）用數(shù)學表達式寫出初始條件，進而定出、，

便可得到振動方程。例7、p113,12-18.兩彈簧的勁度系數(shù)分別為，，在光滑的將此二彈簧分別連接到質(zhì)量為的物體的兩端，彈簧的其余兩端分別固定在支柱及上，如圖所示。今使物體有一向右初位移，向右初速度。（1）試證物體作簡諧振動；（2）求振動方程。（設(shè)物體在振動中，兩彈簧始終處于被拉伸狀態(tài)）光滑表面提示：（1）（2）為簡諧振動。[例8]如圖所示，一質(zhì)量為滑塊，兩邊分別與倔強系數(shù)為和的輕彈簧連接，兩彈簧的兩端分別固定在墻上。滑塊可在光滑的水平面上運動，點為系統(tǒng)平衡位置。將滑塊向左移動到，自靜止釋放，并從釋放時開始計時，取坐標如圖所示，則其振動方程為：C[例9]兩倔強系數(shù)分別為和的彈簧串聯(lián)在一起，下面掛著質(zhì)量為的物體，構(gòu)成一個豎掛的彈簧諧振子，則該系統(tǒng)的振動周期為：故選（C）[例10]作簡諧振動的小球，速度最大值，振幅。若以速度為負方向最大為計時起點，（1）定出初相位。畫出小球在時的旋轉(zhuǎn)矢量。（2）寫出小球的振動方程。已知：提示：[例11]在一輕彈簧下端懸掛的砝碼時，彈簧伸長，現(xiàn)在這根彈簧下端懸掛的物體，構(gòu)成彈簧振子。將物體從平衡位置向下拉動，并給以向上的的初速度（這時），選軸向下，求振動方程的數(shù)值式。已知：提示：五、常見的簡諧振動（1）豎直懸掛的彈簧振子選平衡位置為坐標原點平衡時:位移x時:受恢復(fù)力作用，所以物體仍做簡諧振動OxOxx+llx（2）單擺當重力形成的力矩：根據(jù)轉(zhuǎn)動定律表明：單擺的運動也是簡諧振動Ammg0例12、有一輕彈簧水平放置，當它受力為F=1g

時伸長量為x=4.9cm。用此彈簧和一個M=8g的小球構(gòu)成彈簧振子，將小球由平衡位置向右拉開x0=1cm

后，給以向左的初速度v0=5cm/s。求小球的振動周期和振動方程。解：因為小球受力為F=-

kx

所以小球作簡諧振動（1）求k：（2）求：o

xv0x0o

x（3）求T：（4）求A、：（5）小球的運動方程為：

O

xPM例13、一輕彈簧下端掛一砝碼，質(zhì)量M=0.1kg。砝碼靜止時，彈簧伸長l=0.05m。如果把砝碼再鉛直下拉一段距離：x=0.02m，放手讓其振動。求振動方程。lxMgMgxOF=k（l+x）F=kl已知：提示:砝碼的振動方程為：另外：如果取坐標向上為正，則有此時砝碼的振動方程為：

如果拉下砝碼后，給一個向上的速度v0=0.28m/s此時有：t=0時x0=0.02mv0=-0.28m/s則：此時砝碼的振動方程為：

O

xPM一般，對振動表達式的求解方法有兩種：（1）解析法：由初始條件，代入相應(yīng)表達式聯(lián)立求解。如：兩個值唯一確定值。（2）曲線法：已知x—t

曲線求如：已知某質(zhì)點作簡諧運動，振動曲線如圖，試根據(jù)圖中數(shù)據(jù)寫出振動表達式。設(shè)運動表達式為由圖可見，A=2

m，當t=0時有：dx/dt

>0當t=1時有：dx/dt

<0O2-2x(m)t(s)1設(shè)在某一時刻,振子速度為v

，位移為x,

則系統(tǒng)的動能、勢能分別為：系統(tǒng)的總能量：簡諧振動的總能量與振幅的平方成正比，并保持恒定。以彈簧振子為例，作簡諧振動的系統(tǒng)有動能也有勢能?！?2-2簡諧振動的能量簡諧振動的動能、勢能均隨時間變化，且頻率是對應(yīng)簡諧振動頻率的兩倍。簡諧振動能量與位移之間的關(guān)系曲線：

BOC

是勢能隨x

變化的拋物線：直線BC

表示總能量E：

簡諧振動的總能量和振幅的平方成正比這一結(jié)論，對任何作簡諧振動的系統(tǒng)都是正確的。動能平均值等于勢能的平均值，并為總能量的一半：x(1/2)kA2tTEEpEko[例14]一物體質(zhì)量為，在彈性力作用下作簡諧振動，彈簧的倔強系數(shù)，如果起始振動時具有勢能和動能，求：（1）振幅；（2）動能恰等于勢能時的位移大小；（3）經(jīng)過平衡位置時物體的速度。已知：求：提示：對彈簧振子，只有彈力做功，彈力是保守內(nèi)力，無外力做功，振幅保持不變。若有外力阻力做功，系統(tǒng)的能量逐漸減少，振幅也逐漸減小，最后停止。振幅隨時間減小的振動稱為阻尼振動。[例15]如圖，有一水平彈簧振子，彈簧的倔強系數(shù)，重物的質(zhì)量，重物靜止在平衡位置上。設(shè)以一水平恒力向左作用于物體（不計摩擦），使之由平衡位置向左運動了，此時撤去力。當重物運動到左方最遠位置時開始計時，求物體的運動方程。已知：略。提示：[例16]一彈簧振子沿軸作簡諧振動。已知振動物體最大位移為，最大回復(fù)力為，最大速度為，又知時的初位移為，且初速度與所選軸方向相反。（1）求振動能量；（2）求此振動的表達式。已知：提示：[例17]一彈簧系一重物構(gòu)成彈簧振子，振動的總能量為，現(xiàn)把兩根同樣的彈簧并聯(lián)在一起，且使諧振動振幅增加為原來的2倍。求此時總能量與原來總能量之比。提示：并聯(lián)后：§12-4兩個同方向、同頻率的簡諧振動的合成

同方向：兩個簡諧振動振動方向相同。

同頻率：兩個簡諧振動的圓頻率相同。兩個簡諧振動的運動方程分別為：、表示在同一直線上距同一平衡位置的位移。合振動仍在同一直線上，且等于兩個分振動的代數(shù)和。仍為同方向、同頻率的簡諧振動。一、合成：（a）解析法：（b）旋轉(zhuǎn)矢量法：初相位：旋轉(zhuǎn)矢量法以矢量末端在

軸上的投影點的軌跡表示簡諧振動。由圖可見x=x1+x2兩式相比得：合振動的振幅和初相位分別為：可見：合振幅不僅與兩分振動的振幅有關(guān)，而且還與二者的相位差有關(guān)。（C）特例：（1）相位相同時：當相位差（

）時，這時有于是：相位差為的偶數(shù)倍時，合振動的振幅為兩個分振動振幅之和，振動加強，稱兩個振動同相位或步調(diào)一致。（2）相位相反：當相位差這時有于是（

）時，相位差為的奇數(shù)倍時，合振動的振幅為兩個分振動振幅之差的絕對值，振動減弱（相消）的，稱兩個振動反相或相位相反。二、多個同方向同頻率簡諧振動的合成：多個同方向同頻率簡諧振動、、、……的合成，用旋轉(zhuǎn)矢量法：由矢量的三角形法則，依次兩兩合成。[例14]圖中所示為兩個簡諧振動的振動曲線。若以余弦函數(shù)表示這兩個振動的合成結(jié)果，則合振動的方程為已知：[例15]兩個同方向同頻率的簡諧振動，其合振動的振幅為，與第一個簡諧振動的相位差為，若第一個簡諧振動的振幅為，則第二個簡諧振動的振幅為多少？第一、二兩個簡諧振動的相位差為多少？已知：提示：作旋轉(zhuǎn)矢量圖。例.一質(zhì)點同時參與了三個簡諧振動，它們的振動方程分別為：試計算其合振動的運動方程。解：設(shè)x12=x1+x2=A12cos(ωt+φ12)所以，其合振動為：x=0再設(shè)x

=x1+x2+x3=x

12+x3=Acos(ωt+φ)本章小結(jié)簡諧振動：物體在平衡位置附近作來回往復(fù)的周期

性運動。平衡位置：物體所受合外力為零的位置。簡諧振動的特征：（1）物體所受合外力與位移成正比，方向相反。（2）加速度與位移成正比，方向相反。運動方程為：旋轉(zhuǎn)矢量表示法：兩類為題：判斷簡諧振動、確定、、。簡諧振動能量：動能勢能相互轉(zhuǎn)化，機械能守恒。兩個同方向同頻率簡諧振動的合成（旋轉(zhuǎn)矢量法）例1、一簡諧振動曲線如圖所示。則振動周期是（A）2.62s（B）2.40s（C）0.42s（D）0.382sB解：當t=0時x=2有因為v

向x

軸正向，所以當t=1時x=0有即

t1x420例2、一質(zhì)點作簡諧振動，周期為T，它由二分之一最大位移處（向x軸正方向運動），運動到最大位移處所需要的時間為：[]（A）T/4（B）T/12（C）T/6（D）T/8C例3、有兩相同的彈簧，其倔強系數(shù)均為k。求：（1）把它們串聯(lián)起來，下面掛一個質(zhì)量為m

的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動的周期。（2）把它們并聯(lián)起來，下面掛一個質(zhì)量為m的重物，此系統(tǒng)作簡諧振動的周期。xx解：求等效倔強系數(shù)串聯(lián)：并聯(lián)：求：（1）此簡諧振動的周期T。（2）當t=0.6s時，物體的速度v。