第8章1正弦平面電磁波

第8章正弦平面電磁波1

本章內(nèi)容

8.1時諧電磁場

8.2

理想介質(zhì)中的均勻平面波

8.3

波的極化特性

8.4

損耗媒質(zhì)中的均勻平面波

8.5

相速和群速

8.6

對平面分界面的垂直入射28.1時諧電磁場

麥克斯韋方程以及由它導出的波動方程，對于任意方式隨時間變化的電磁場都是有用的。在工程上，應用最多的是隨時間作正弦變化的電磁場，稱為時諧場。因為一則它們易于激勵；再則是在線性媒質(zhì)中，任意的周期性時間函數(shù)均可展開成為時諧正弦分量的傅里葉級數(shù)。因此，研究正弦電磁場問題是研究一般電磁場的基礎。3

復矢量的麥克斯韋方程

正弦電磁場的復數(shù)表示

復電容率和復磁導率

時諧場的位函數(shù)

亥姆霍茲方程

平均坡印廷矢量本節(jié)要討論的內(nèi)容4

正弦電磁場的概念

如果場源以一定的角頻率隨時間呈時諧（正弦或余弦）變化，則所產(chǎn)生電磁場也以同樣的角頻率隨時間呈時諧變化。這種以一定角頻率作時諧變化的電磁場，稱為正弦電磁場或時諧電磁場。

研究時諧電磁場具有重要意義

在工程上，應用最多的就是時諧電磁場。廣播、電視和通信的載波等都是時諧電磁場。

任意的時變場在一定的條件下可通過傅里葉分析方法展開為不同頻率的時諧場的疊加。8.1.1正弦電磁場的復數(shù)表示5

時諧電磁場可用復數(shù)方法來表示，使得大多數(shù)時諧電磁場問題的分析得以簡化。

設是一個以角頻率隨時間t作正弦變化的場量，它可以是電場和磁場的任意一個分量，也可以是電荷或電流等變量，它與時間的關系可以表示成其中時間因子空間相位因子

利用三角公式式中的A0為振幅、為與坐標有關的相位因子。實數(shù)表示法或瞬時表示法復數(shù)表示法復振幅

時諧電磁場的復數(shù)表示6

復數(shù)式只是數(shù)學表示方式，不代表真實的場。照此法，矢量場的各分量Ei（i表示x、y

或z）可表示成各分量合成以后，電場強度為

有關復數(shù)表示的進一步說明復矢量

真實場是復數(shù)式的實部，即瞬時表達式。

由于時間因子是默認的，有時它不用寫出來，只用與坐標有關的部分就可表示復矢量。7

例8.1.1

將下列場矢量的瞬時值形式寫為復數(shù)形式（2）解：（1）由于（1）所以8（2）因為故所以9

例8.1.2

已知電場強度復矢量解其中kz和Exm為實常數(shù)。寫出電場強度的瞬時矢量10以電場旋度方程為例，代入相應場量的矢量，可得

將與交換次序，得8.1.2復矢量的麥克斯韋方程

在時諧電磁場，對時間的導數(shù)可用復數(shù)形式表示為上式對任何時刻t均成立，故實部符號可以消去，于是得到11從形式上講，只要把微分算子用代替，就可以把時諧電磁場的場量之間的關系，轉(zhuǎn)換為復矢量之間關系。因此得到復矢量的麥克斯韋方程

—略去“.”和下標m12例8.1.3已知正弦電磁場的電場瞬時值為式中

解：（1）因為故電場的復矢量為試求：（1）電場的復矢量;（2）磁場的復矢量和瞬時值。13（2）由復數(shù)形式的麥克斯韋方程，得到磁場的復矢量磁場強度瞬時值14實際的介質(zhì)都存在損耗：

導電媒質(zhì)——當電導率有限時，存在歐姆損耗。

電介質(zhì)——受到極化時，存在電極化損耗。

磁介質(zhì)——受到磁化時，存在磁化損耗。損耗的大小與媒質(zhì)性質(zhì)、隨時間變化的頻率有關。一些媒質(zhì)的損耗在低頻時可以忽略，但在高頻時就不能忽略。8.1.3復電容率和復磁導率

導電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)其中c=

－jδ

/ω、稱為導電媒質(zhì)的等效介電常數(shù)。

對于介電常數(shù)為、電導率為δ

的導電媒質(zhì)，有15

電介質(zhì)的復介電常數(shù)

同時存在極化損耗和歐姆損耗的介質(zhì)

磁介質(zhì)的復磁導率

對于存在電極化損耗的電介質(zhì)，有，稱為復介電常數(shù)或復電容率。其虛部為大于零的數(shù)，表示電介質(zhì)的電極化損耗。在高頻情況下，實部和虛部都是頻率的函數(shù)。

對于同時存在電極化損耗和歐姆損耗的電介質(zhì)，復介電常數(shù)為

對于磁性介質(zhì)，復磁導率數(shù)為，其虛部為大于零的數(shù)，表示磁介質(zhì)的磁化損耗。16

損耗角正切

導電媒質(zhì)導電性能的相對性電介質(zhì)導電媒質(zhì)磁介質(zhì)——弱導電媒質(zhì)和良絕緣體——一般導電媒質(zhì)——良導體

工程上通常用損耗角正切來表示介質(zhì)的損耗特性，其定義為復介電常數(shù)或復磁導率的虛部與實部之比，即有

描述了傳導電流和位移電流的振幅之比。在不同頻率情況下，導電媒質(zhì)具有不同的導電性能。17理想介質(zhì)8.1.4亥姆霍茲方程

在時諧時情況下，將、，即可得到復矢量的波動方程，稱為亥姆霍茲方程。瞬時矢量復矢量如果媒質(zhì)是有損耗的（δ不為0），即介電常數(shù)或磁導率為復數(shù)，則k也應變?yōu)閺蛿?shù)kc，即相應地波動方程為188.1.5時諧場的位函數(shù)

在時諧情況下，矢量位和標量位以及它們滿足的方程都可以表示成復數(shù)形式。洛侖茲條件達朗貝爾方程瞬時矢量復矢量198.1.6平均能量密度和平均能流密度矢量

坡印廷矢量是瞬時值矢量，表示瞬時能流密度。在時諧電磁場中，一個周期內(nèi)的平均能流密度矢量（即平均坡印廷矢量）更有意義。20推證正弦電磁場的一般表示式為21瞬時形式的坡印廷矢量為先計算平均坡印廷矢量的x分量使用三角函數(shù)公式因為是的共軛值是的共軛值23所以同樣可導出所以坡印廷矢量的平均值稱為平均坡印廷矢量。為簡便計，去掉“?”，上式可寫為25則平均能流密度矢量為如果電場和磁場都用復數(shù)形式給出，即有時間平均值與時間無關例如某正弦電磁場的電場強度和磁場強度都用實數(shù)形式給出26

具有普遍意義，不僅適用于正弦電磁場，也適用于其他時變電磁場；而只適用于時諧電磁場。

在中，和都是實數(shù)形式且是時間的函數(shù)，所以也是時間的函數(shù)，反映的是能流密度在某一個瞬時的取值；而中的和都是復矢量，與時間無關，所以也與時間無關，反映的是能流密度在一個時間周期內(nèi)的平均取值。

利用，可由計算，但不能直接由計算，也就是說

關于和的幾點說明27

解：（1）由得（2）電場和磁場的瞬時值為

例8.1.4

已知無源的自由空間中，電磁場的電場強度復矢量為，其中k和E0為常數(shù)。求：（1）磁場強度復矢量

；（2）瞬時坡印廷矢量

；（3）平均坡印廷矢量

。28

（3）平均坡印廷矢量為或直接積分，得瞬時坡印廷矢量為29例8.1.5

已知截面為的矩形金屬波導中電磁場的復矢量為式中H0、ω、β、μ都是常數(shù)。試求：（1）瞬時坡印廷矢量；（2）平均坡印廷矢量。

解：（1）和的瞬時值為30（2）平均坡印廷矢量所以瞬時坡印廷矢量318.2理想介質(zhì)中的均勻平面波

假設在無界空間內(nèi)充滿均勻一致且各向同性的理想介質(zhì)，現(xiàn)在來討論均勻平面波在這種理想介質(zhì)中的傳播特性。所謂均勻平面波，是指電磁波的場矢量只沿著它的傳播方向變化，在與波傳播方向垂直的無限大平面內(nèi)，電場強度和磁場強度的方向、振幅和相位都保持不變。例如，沿直角坐標系的z軸傳播的均勻平面波，在x和y所構(gòu)成的橫平面上無變化。z波傳播方向328.2.1理想介質(zhì)中的均勻平面波函數(shù)

假設所討論的區(qū)域為無源區(qū)，即，且充滿線性、各向同性的均勻理想介質(zhì)，現(xiàn)在我們來討論均勻平面波在這種理想介質(zhì)中的傳播特點。首先考慮一種簡單的情況，假設我們選用的直角坐標系中均勻平面波沿z軸傳播，則電場強度和磁場強度都不是x和y的函數(shù)，即同時，由和，有33如果t=0時，電磁場為0，從而得到Ez=0,Hz=0這表明沿z軸方向傳播的均勻平面波的電場強度和磁場強度都沒有沿傳播方向的分量，即電場強度和磁場強度都與波的傳播方向垂直，這種波又稱為橫電磁波(TEM波)

對于沿z方向傳播的均勻平面波，電場強度和磁場強度的分量Ex

、Ey

、Hx

、Hy

滿足標量亥姆霍茲方程(8.2.1)(8.2.2)34(8.2.3)(8.2.4)方程(8.2.1)的通解為寫成瞬時表達式第一項代表沿+z方向傳播的均勻平面波，第二項代表沿-z方向傳播的均勻平面波。其中，分別為A1、A2的輻角。358.2.2理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點

對于無界的均勻媒質(zhì)中只存在沿一個方向傳播的波，這里討論沿正z方向傳播的均勻平面波，即瞬時表達式為(1)在z等于常數(shù)的平面上，隨時間t作周期變化。ωt為時間相位，ω則表示單位時間內(nèi)的相位變化，稱為角頻率，單位為rad/s。由ωT=得到場量隨時間變化的周期為可見，場分量既是時間的周期函數(shù)，又是空間坐標的周期函數(shù)。36（8.2.5）（8.2.6）它表征在給定的位置上，時間相位變化的時間間隔。為電磁波的頻率。37(2)在任意固定時刻，隨空間坐標z作周期變化。可見，電磁波的波長不僅與頻率有關，還與媒質(zhì)參數(shù)有關。kz為空間相位，所以波的等相位面是z為常數(shù)的平面，故稱為平面波。K表示波傳播單位距離的相位變化，稱為相位常數(shù)，單位為rad/m.在任意固定時刻，空間相位差為的兩個波陣面之間的距離稱為電磁波的波長，用表示，單位為m.由可得到由于，又可得到38所以k的大小也表示在的空間距離內(nèi)所包含的波長數(shù)，所以又將k稱為波數(shù)。

電磁波的等相位面在空間中的移動速度稱為相位速度，或簡稱相速，以vp表示，單位為m/s。由式（8.2.6）可見，正弦均勻平面電磁波的等相位面方程為39由于，所以又得到由此可見，在理想介質(zhì)中，均勻平面波的相速與頻率無關，但與媒質(zhì)參數(shù)有關。(3)在自由空間中，由于所以40(4)利用麥克斯韋方程，可得電磁波的磁場表達式。由，有其瞬時表達式為41是電場的振幅與磁場的振幅之比，具有阻抗的量綱，故稱為波阻抗。由于值與媒質(zhì)的參數(shù)有關，因此又稱炎媒質(zhì)的本征阻抗。在自由空間電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，且遵循右手螺旋關系。其中42這表明，在理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場能量密度等于磁場能量密度。因此，電磁能量密度表示為(5)在理想介質(zhì)中，由于,所以有在理想介質(zhì)中，瞬時坡印廷矢量為43由此可見，均勻平面波電磁能量沿波的傳播方向流動。綜合以上討論，可將理想介質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點歸納為：（1）電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波；（2）電場與磁場的振幅不變；（3）波阻抗為實數(shù)，電場與磁場同相位；（4）電磁波的相速與頻率無關；（5）電場能量密度等于磁場能量密度。平均坡印廷矢量為448.2.3沿任意方向傳播的均勻平面波

我們知道均勻平面波的傳播方向與等相位面垂直，在等相位面內(nèi)任一點的電磁場的大小和方向都是相同的，這些與坐標系的選擇無關。前面討論了沿坐標軸方向傳播的均勻平面波，這里討論均勻平面波沿任意方向傳播的一般情況。

沿+z方向傳播的均勻平面波，其電場矢量可一般地表示為相應的磁場矢量為45等相位面上任一點P的矢徑為所以

對照沿方向傳播的情況可知，對于沿方向傳播的均勻平面波，電場矢量可表示為相應的磁場矢量為47是單位矢量的方向余弦48例8.2.1頻率為100MHz的正弦均勻平面波在各向同性的均勻理想介質(zhì)中沿(+z)方向傳播，介質(zhì)的特性參數(shù)為。設電場沿x方向，即；當時，電場等于其振幅值。試求(1)和;(2)波的傳播速度；(3)平均坡印廷矢量。解:(1)設的瞬時表示式為式中49又由，得故則50(2)波的傳播速度為51(3)平均坡印廷矢量為式中52例8.2.2均勻平面波在均勻理想介質(zhì)中沿相對于z軸為θ角的方向傳播。設電場與y軸平行，試確定磁場的方向。解：由于、及傳播方向是相互垂直的，在此情況下，的方向應平行于圖中的AOB直線。而且，、、三者之間成右螺旋關系，則可判定應為OB方向，用單位矢量表示為oABxzθ538.3電磁波的極化8.3.1極化的概念一般情況下，沿z方向傳播的均勻平面波的和分量都存在，可表示為合成波電場。由于和分量的振幅和相位不一定相同，因此，在空間任意給定點，合成波電場強度矢量的大小和方向都可能會隨時間變化，這種現(xiàn)象稱為電磁波極化。54

電磁波的極化是電磁理論中的一個重要概念，它表征在空間給定點上電場強度矢量的取值隨時間變化的特性，并用電場強度矢量的端點隨時間變化的軌跡來描述。若軌跡是直線，則稱為直線極化若軌跡是圓，則稱為圓極化；若軌跡是橢圓，則稱為橢圓極化。

合成波的極化形式取決于和分量的振幅之間和相位之間的關系。為簡單起見，下面取z=0的給定點來討論。558.3.2直線極化波

當時，可得到合成波電場強度的大小為合成波電場與x軸夾角為由此可見，合成波電場的大小雖然隨時間變化，但其矢端軌跡與x

若電場的x分量和y分量的相位相同或相差，即則合成波為直線極化波。56

同樣的方法可以證明，時，合成波電場矢量的矢端軌跡是位于二、四象限的一條直線，如圖8-6（b）所示，因此稱為直線偏振。xyxy57軸夾角始終保持不變，因此為直線極化波。

在工程上，常將垂直于大地的直線極化波稱為垂直極化波，而將與大地平行的直線極化波稱為水平極化波。例如，中波廣播天線架設與地面垂直，發(fā)射垂直極化波。收聽者要得到最佳的收聽效果就應將收音機的天線調(diào)整到與電場平行的位置，即與大地垂直；電視發(fā)射天線與大地平行，發(fā)射平行極化波，這時電視接收天線應調(diào)整到與大地平行的位置，我們所見到的電視共用天線都是按照這個原理設計的。

從以上討論可以得出結(jié)論：任何兩個同頻率、同傳播方向且極化方向互相垂直的線極化波，當它們的相位相同或相差為時，其合成波為線極化波。588.3.3圓極化波

若電場的x分量和y分量的振幅相同，但相位差為，即時，則合成波為圓極化波。

當時，故合成波電場強度的大小59合成波電場與x軸夾角為

當時間t的值逐漸增加時，電場的端點沿順時針方向旋轉(zhuǎn)。若以左手大拇指朝向波的傳播方向，則其余四指的轉(zhuǎn)向與電場的端點運動方向一致，這種圓極化波稱為左旋圓極化波。由此可見，合成波電場的大小不隨時間改變，但方向卻隨時間變化，其端點軌跡在一個圓上并以角速度ω旋轉(zhuǎn)，故為圓極化波。60

當時，合成波電場與x軸夾角為當時間t的值逐漸增加時，電場的端點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)。若以右手大拇指朝向波的傳播方向，則其余四指的轉(zhuǎn)向與電場的端點運動

方向一致，這種圓極化波稱為右旋圓極化波。61左旋圓極化波右旋圓極化波xyoEyExααExEyoxy62

在很多情況下，系統(tǒng)須利用圓極化波才能正常工作，如火箭等飛行器在飛行過程中其狀態(tài)和位置在不斷變換，因此火箭上的天線方位也在不斷變化，此時如用線極化的信號來遙控，在某些情況下則會出現(xiàn)火箭上的天線收不到地面控制信號而造成失控。在衛(wèi)星通信系統(tǒng)中，衛(wèi)星上的天線和地面站的天線均采用圓極化波。在電子對抗系統(tǒng)中，大多也采用圓極化天線。

從以上討論可以得出結(jié)論：任何兩個同頻率、同傳播方向且極化方向互相垂直的線極化波，當它們的振幅相等且相位差為時其合成波為圓極化波。638.3.4橢圓極化波

當電場的兩個分量的振幅和相位都不相等，這樣就構(gòu)成了橢圓極化波。

為簡單起見，取有由此二式中消去t，可以得到64這是一個橢圓方程，故合成電場的端點在一個橢圓上旋轉(zhuǎn)。當時，它沿順時針方向旋轉(zhuǎn)，為左旋橢圓極化；當時，它沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，為右旋橢圓極化。xyαExEyo橢圓極化65

以上討論了兩個正交的線極化波的合成波的極化情況，它可以是線極化波，或圓極化波，或橢圓極化波。反之，任一線極化波、圓極化波或橢圓極化波也可以分解為兩個正交的線極化波。而且，一個線極化波還可以分解為兩個振幅相等但旋向相反的圓極化波；一個橢圓極化波也可以分解為兩個旋向相反的圓極化波，但振幅不等。66例8.3.1判別下列均勻平面波的極化形式：(1)(2)(3)解:(1)由于所以這是一個線極化波，合成波電場與x軸的夾角為67(2)由于所以此波的傳播方向為-z軸方向，所以為右旋圓極化波。(3)由于68所以此波沿+z軸方向傳播，故應為右旋橢圓極化波。698.4損耗媒質(zhì)中的均勻平面波

在導電媒質(zhì)中，由于電導率，當電磁波在導電媒質(zhì)中傳播時，其中必然有傳導電流，這將導致電磁波能量損耗。因而，均勻平面波在導電媒質(zhì)中的傳播特性與無損耗介質(zhì)的情況不同。8.4.1導電媒質(zhì)中的均勻平面波可得到70由此可見，在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，雖然傳導電流密度，但不存在自由電荷密度，即。在損耗煤質(zhì)中麥克斯韋方程可以寫為利用第7章推導波動方程的方法可以得到在均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，電場和磁場滿足的亥姆霍茲方程為73復介電常數(shù)虛部與實部之比為傳導電流越大損耗越大，定義導電媒質(zhì)的損耗角

為了與傳輸線理論中慣用的符號一致，定義一個傳播系數(shù)，即上式方程組可寫為——弱導電媒質(zhì)和良絕緣體——一般導電媒質(zhì)——良導體對于+z軸方向傳播的均勻平面波，仍假定電場只有分量，則方程(1)的解為其中75由于與電磁波的頻率不是線性關系，因此在導電媒質(zhì)中，電磁波的相速是頻率的函數(shù)，即在同一種導電媒質(zhì)中，不同頻率的電磁波的相速是不同的，這種現(xiàn)象稱為色散，相應的媒質(zhì)稱為色散媒質(zhì)，故導電媒質(zhì)是色散媒質(zhì)。76由方程，可得到導電媒質(zhì)中的磁場強度為式中稱為導電媒質(zhì)的本征阻抗。

由上面的推導可知，磁場強度復矢量與電場強度復矢量之間滿足關系77電場和磁場的瞬時表示式為可見，電場和磁場的振幅以因子隨z的增大而減小。因此，是表明每單位距離衰減程度的系數(shù)，稱為電磁波的衰減系數(shù)，單位是Np/m；表示每單位距離落后的相位，稱為電磁波的相位系數(shù)，單位是rad/m。78導電媒質(zhì)中的平均電場能量密度和平均磁場能量密度分別為由此可見，在導電媒質(zhì)中，平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。79綜合以上討論，可將導電媒質(zhì)中的均勻平面波的傳播特點歸納為：（1）電場、磁場與傳播方向之間相互垂直，是橫電磁波；（2）電場與磁場的振幅呈指數(shù)衰減；（3）波阻抗為復數(shù)，電場與磁場不同相位；（4）電磁波的相速與頻率有關；（5）平均磁場能量密度大于平均電場能量密度。在導電媒質(zhì)中，平均坡印廷矢量為808.4.2弱導電媒質(zhì)中的均勻平面波

弱導電媒質(zhì)是指滿足條件的導電媒質(zhì)。在這種媒質(zhì)中，位移電流起主要作用，而傳導電流的影響很小，可忽略不計。因此，弱導電媒質(zhì)是一種良好的但電導率不為零的非理想絕緣材料。在條件下，傳播系數(shù)可近似為衰減常數(shù)和相位常數(shù)可近似為81本征阻抗可近似為828.4.3強導電媒質(zhì)中的均勻平面波

強導電媒質(zhì)是指的媒質(zhì)。在強導電媒質(zhì)中，傳導電流起主要作用，而位移電流的影響很小，可忽略不計。在條件下，傳播系數(shù)可近似為衰減常數(shù)和相位常數(shù)可近似為83本征阻抗可近似為在良導體中，磁場相位滯后于電場450。在良導體中，波的相速為波長為84

從式可知，在良導體中，電磁波的衰減常數(shù)隨波的頻率、媒質(zhì)的磁導率和電導率的增加而增大。因此，高頻電磁波在良導體中的衰減非常大。例如，頻率為f=3MHz時，電磁波在銅（）中的。

由于電磁波在良導體中的衰減很快，故在傳播很短的一段距離后就幾乎衰減完了。因此，良導體中的電磁波局限于導體表面附近的區(qū)域，這種現(xiàn)象稱為趨膚效應。工程上常用趨膚深度σ（或穿透深度）來表征電磁波的趨膚程度，其定義為電磁波的幅值衰減為表面值的時電磁波所傳播的距離。按此定義，有85良導體的本征阻抗為它具有相同的電阻分