第5章 積分變換與復(fù)變函數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解

2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02第5章積分變換與復(fù)變

函數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解Laplace變換及其反變換Fourier變換及其反變換其他積分變換問題及求解Z變換及其反變換復(fù)變函數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解差分方程的求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1Laplace變換及其反變換Laplace變換及反變換定義與性質(zhì)Laplace變換的計(jì)算機(jī)求解數(shù)值Laplace變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1.1Laplace變換及

反變換定義與性質(zhì)Laplace變換的數(shù)學(xué)描述Laplace變換的性質(zhì)線性性質(zhì)其中，a與b均為標(biāo)量2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02Laplace變換的性質(zhì)時域平移性質(zhì):

s-域平移性質(zhì):微分性質(zhì)：n階微分2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02當(dāng)所有的初值為0時，那么積分性質(zhì)零初始條件：多重積分：初值性質(zhì)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02終值性質(zhì)如果沒有的極點(diǎn)，卷積性質(zhì)：其中卷積算子*的定義:2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02其他性質(zhì)：Laplace反變換:

其中，s大于函數(shù)F(s)奇點(diǎn)的實(shí)部2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1.2Laplace變換的計(jì)算機(jī)求解Laplace變換問題的求解步驟：定義符號變量

t，在定義時域函數(shù)直接調(diào)用laplace()函數(shù)采用默認(rèn)的t

為時域變量用戶指定時域變量v和復(fù)域變量名u2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02調(diào)用pretty()函數(shù)或latex()函數(shù)對結(jié)果進(jìn)行進(jìn)一步處理Laplace反變換：函數(shù)調(diào)用格式： 采用默認(rèn)的為時域變量用戶指定時域變量和復(fù)域變量名2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.1給定函數(shù)求它的Laplace變換MATLAB求解語句化簡答案結(jié)果2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.2給定求它的Laplace變換對結(jié)果求反變換，看看能不能還原Laplace變換Laplace反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.3求下列函數(shù)的Laplace反變換直接求解高精度數(shù)值解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.4給定推導(dǎo)和之間的關(guān)系

和與兩者之間的比較誤差是什么？2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02考慮到初值條件:回憶公式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.5試推導(dǎo)出的微分公式MATLAB求解語句函數(shù)8階導(dǎo)數(shù)的Laplace變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.6對求MATLAB求解語句：分子多項(xiàng)式合并同類項(xiàng)：結(jié)果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.1.3Laplace變換問題的數(shù)值求解為什么要研究數(shù)值求解原函數(shù)過于復(fù)雜，沒有解析解無需解析表達(dá)式，得到圖形即可時Laplace反變換數(shù)值解工具JurajValsa函數(shù)調(diào)用方法一般不建議給出otherpars，采用默認(rèn)值注意，函數(shù)本身bug，初始時刻不能為02/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.7例5.3中的例子，現(xiàn)在求數(shù)值解前面的解析解（可讀性差）可讀性差的原因是代數(shù)方程沒有解析解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02數(shù)值求解參數(shù)對精度的影響運(yùn)算速度2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02復(fù)雜系統(tǒng)的輸出計(jì)算系統(tǒng)框圖用數(shù)值方法計(jì)算輸出輸出信號系統(tǒng)復(fù)雜，如分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，解析解不能求出輸入為復(fù)雜信號，不能求其Laplace變換輸入信號只給出數(shù)據(jù)點(diǎn)，沒有函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.8不能求解析解的問題（分?jǐn)?shù)階模型）感興趣區(qū)間解析解不存在（無窮級數(shù)）數(shù)值求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02輸入信號的Laplace數(shù)值變換使用定義式數(shù)值積分求取MATLAB新版本的integral數(shù)值積分函數(shù)已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用插值方法第8章詳細(xì)介紹插值，這里用interp1函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02系統(tǒng)輸出數(shù)值求取的函數(shù)編寫函數(shù)（利用INVLAP）2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02接上頁調(diào)用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.9前面的系統(tǒng)輸入信號求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02如果輸入信號不知道函數(shù)，只已知數(shù)據(jù)假設(shè)數(shù)據(jù)點(diǎn)由前面函數(shù)以0.2為步距生成需要在積分中用插值方法得出輸入計(jì)算量大，速度慢其他快速方法的探索？2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2Fourier變換及其反變換Fourier變換及反變換定義與性質(zhì)Fourier變換的計(jì)算機(jī)求解Fourier正弦和余弦變換離散Fourier正弦、余弦變換快速Fourier變換——數(shù)值方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.1Fourier變換

及反變換定義與性質(zhì)Fourier變換的定義：Fourier反變換的定義：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02Fourier變換的性質(zhì)線性性質(zhì)：其中a

與b

均為標(biāo)量平移性質(zhì)：復(fù)域平移性質(zhì)：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02微分性質(zhì)：n階微分的Fourier變換積分性質(zhì)n重積分的Fourier變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02尺度變換性質(zhì)卷積性質(zhì)：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.2Fourier變換的計(jì)算機(jī)求解Fourier變換的函數(shù)調(diào)用格式按默認(rèn)變量進(jìn)行Fourier變換將的函數(shù)變換成的函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02Fourier反變換的函數(shù)調(diào)用格式按默認(rèn)變量進(jìn)行Fourier反變換將的函數(shù)變換成的函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.10給定寫出該函數(shù)的Fourier變換式Fourier變換Heaviside函數(shù)、手工化簡Fourier反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.11給定試求出其Fourier變換Fourier變換手工化簡結(jié)果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.12給定，求Fourier變換數(shù)學(xué)手冊結(jié)果使用fourier()命令2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02使用直接積分方法注意：MATLAB不是對任一個函數(shù)都能求其Fourier變換的2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.3Fourier正弦和余弦變換Fourier正弦正反變換的一般定義為Fourier余弦正反變換的一般定義為2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02求解Fourier正弦正反變換求解Fourier余弦正反變換早期版本還直接調(diào)用Maple中的函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.13給定試求出其余弦Fourier變換MATLAB求解命令2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.13給定用Maple中的函數(shù)求其Fourier余弦變換和Fourier余弦反變換問題Fourier余弦變換Fourier余弦反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.14分段函數(shù)試求其Fourier余弦變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02分段函數(shù)描述的直接求解數(shù)學(xué)表達(dá)式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.4離散Fourier正弦、余弦變換離散Fourier正、余弦變換離散Fourier正、余弦反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.15給定其中a>0，計(jì)算其離散Fourier正弦變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.2.5快速Fourier變換離散Fourier變換反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02快速Fourier變換快速Fourier變換（fastFouriertransform，F(xiàn)FT）技術(shù)是求解離散Fourier變換的最實(shí)用、也是最通用的方法。MATLAB直接求解特點(diǎn)：高效、快速任意序列長度，長度不要求為2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.16原型函數(shù)先FFT，再FFT反變換，看看能否還原MATLAB求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02多維FFT二維FFT正變換fft2()反變換ifft2()多維FFT正變換fftn()反變換ifftn()2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.3其他積分變換問題及求解Mellin變換Hankel變換及求解說明：以Maple為引擎的符號運(yùn)算可以調(diào)用Maple函數(shù)直接求解，新版本的MATLAB下MuPAD不支持這樣的變換，所以只能通過底層命令求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.3.1Mellin變換Mellin變換的定義Mellin反變換的定義2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.17給定試求其Mellin變換MATLAB求解語句結(jié)果2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.18給定，對若干個n值求取Mellin變換，并總結(jié)出對一般n值的規(guī)律MATLAB求解語句（對）2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02一般的Mellin變換規(guī)律：函數(shù)調(diào)用格式早期MATLAB，新版不支持Mellin變換Mellin反變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.16給定，用Maple

函數(shù)求其Mellin變換，并對結(jié)果進(jìn)行反變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.3.2Hankel變換及求解

階Hankel變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為其中，為Bessel函數(shù)求解Hankel變換的語句調(diào)用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02

階Hankel反變換的數(shù)學(xué)表達(dá)式為求解Hankel反變換的語句調(diào)用格式早期MATLAB。新版得用積分語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.20給定，求取函數(shù)的0階Hankel變換MATLAB求解語句結(jié)果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02給定求取函數(shù)的0階Hankel變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4z

變換及其反變換z變換及反變換定義與性質(zhì)z

變換的計(jì)算機(jī)求解雙邊z

變換有理函數(shù)z反變換的數(shù)值求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.1z變換及反變換定義與性質(zhì)離散序列信號z

變換的定義z

變換的性質(zhì)：線性性質(zhì)：其中，a與b

均為標(biāo)量2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02時域后向平移性質(zhì)：前向平移性質(zhì)零初值z

域比例性質(zhì)：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02頻域微分性質(zhì)頻域積分性質(zhì)初值性質(zhì)：終值性質(zhì)：其中，F(xiàn)(z)無單位圓外的極點(diǎn)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02卷積性質(zhì)：式中離散信號的卷積算子*定義為函數(shù)F(z)的z

反變換定義為2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.2z

變換的計(jì)算機(jī)求解z

變換的函數(shù)調(diào)用格式z

反變換的函數(shù)調(diào)用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.21給定試求出其z

變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.22給定對不同的m

值進(jìn)行z反變換，總結(jié)一般規(guī)律一般規(guī)律2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.3雙邊z

變換n

拓展到整個整數(shù)空間MATLAB沒有現(xiàn)成函數(shù)可以用底層求和命令直接分段求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.23分段函數(shù)MATLAB求解結(jié)果2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.4.4有理函數(shù)z

反變換的數(shù)值求解有理函數(shù)的通式的冪級數(shù)展開自編函數(shù)的調(diào)用2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02函數(shù)清單函數(shù)調(diào)用函數(shù)內(nèi)容2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.24有理函數(shù)變換成求解與繪圖2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5復(fù)變函數(shù)問題的計(jì)算機(jī)求解復(fù)數(shù)矩陣及其變換復(fù)變函數(shù)映射及其微積分運(yùn)算Riemann曲面的繪制留數(shù)的概念與計(jì)算有理函數(shù)的部分分式展開基于部分分式展開的Laplace變換封閉曲線積分問題計(jì)算2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.1復(fù)數(shù)矩陣及其變換函數(shù)調(diào)用格式（已知復(fù)數(shù)矩陣Z）共軛復(fù)數(shù)矩陣實(shí)部、虛部提取幅值、相位表示2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.25試求出下述矩陣的對角矩陣變換MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.2復(fù)變函數(shù)映射例5.26已知復(fù)變函數(shù)求MATLAB語句復(fù)函數(shù)的映射平移、反演雙線性2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.27復(fù)函數(shù)映射左半平面點(diǎn)的映射2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.3Riemann曲面的繪制復(fù)變函數(shù)映射圖形繪制步驟生成網(wǎng)格計(jì)算數(shù)據(jù)：通過點(diǎn)運(yùn)算計(jì)算函數(shù)值，如繪圖（Riemann曲面）2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.28復(fù)變函數(shù)繪制Riemann曲面MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02多值函數(shù)的Riemann曲面方根函數(shù)的繪制例5.29該函數(shù)只能繪制方根函數(shù)，對其他多值復(fù)變函數(shù)無能為力，函數(shù)修改另存cmpxmap1；刪除mesh、hold語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5-30用新函數(shù)cplxmap1繪制根函數(shù)的三個分支一個分支其余兩個分支直接繪制優(yōu)點(diǎn)：可以擴(kuò)展到其他多值函數(shù)，如果能求出所有的分支2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.4留數(shù)的概念與計(jì)算函數(shù)解析的概念：若函數(shù)f(z)在復(fù)平面的區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)處均為單值，且其導(dǎo)數(shù)為有限值，則稱f(z)在復(fù)平面內(nèi)為解析的如果z=a

為f(z)函數(shù)的單奇點(diǎn)，則留數(shù)的定義為單極點(diǎn)的函數(shù)調(diào)用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02若z=a

為函數(shù)f(z)的m

重奇點(diǎn)，則該點(diǎn)的留數(shù)定義為m

重奇點(diǎn)的計(jì)算2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.31計(jì)算下列函數(shù)的留數(shù)找出奇點(diǎn)z=0,z=1MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.32計(jì)算下面函數(shù)的留數(shù)找出奇點(diǎn)z=0，重?cái)?shù)m=6?MATLAB求解語句：結(jié)果：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02真正的重?cái)?shù)是多少？滿足上式的最小整數(shù)k改變k

的值2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.33函數(shù)找出奇點(diǎn)z=0點(diǎn)的留數(shù)：

2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.5有理函數(shù)的部分分式展開有理函數(shù)其中，和均為常數(shù)直接求出兩個多項(xiàng)式的最大公約數(shù)(GCD)的函數(shù)調(diào)用格式得出互質(zhì)多項(xiàng)式，約簡A/C,B/C2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.34給定判定它們是否互質(zhì)MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02化簡兩個多項(xiàng)式假設(shè)A(x)和B(x)互質(zhì)，并且A(x)=0的根都為單根，那么留數(shù)的計(jì)算如下：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02假設(shè)是k重根各個系數(shù)如下有理函數(shù)的部分分式展開的函數(shù)調(diào)用格式2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.35求部分分式展開MATLAB求解語句：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.36給定其中求其部分分式展開MATLAB求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02部分分?jǐn)?shù)展開的符號運(yùn)算早期版本，編寫的重載函數(shù)residue新版本，不支持重載函數(shù)MuPAD內(nèi)核partfrac函數(shù)，底層命令編寫一個接口2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.37重新求解：求部分分式展開MATLAB求解語句：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5-40求部分分?jǐn)?shù)展開試圖用MATLAB求解理論上不能展開2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02如果分母多項(xiàng)式D(x)=0的解析解無法獲得，則應(yīng)使用高精度數(shù)值解數(shù)學(xué)表示其中，是數(shù)值解MATLAB求解新函數(shù)變通方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02函數(shù)清單2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.41求下式的部分分式展開MATLAB近似求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.6基于部分分式展開的

Laplace反變換實(shí)系數(shù)有理函數(shù)如果有則必有可以推導(dǎo)出其中2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02算法的實(shí)現(xiàn)MATLAB函數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.42有理函數(shù)計(jì)算出部分分式展開MATLAB求解命令：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.5.7封閉曲線積分問題計(jì)算封閉曲線積分的數(shù)學(xué)表達(dá)式其中，G

是一個逆時針方向的閉曲線，那么該封閉曲線內(nèi)包圍m

個奇點(diǎn)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.34給定計(jì)算在|z|=6上的封閉曲線積分2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02直接積分方法圓的方程封閉曲線積分直接計(jì)算2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.44計(jì)算其中G

是|z|=2（逆時針圓周封閉曲線）曲線內(nèi)奇點(diǎn)MATLAB求解語句：2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02與進(jìn)行比較直接曲線積分方法改變積分路徑G

為|z|=42/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6差分方程迭代求

解與復(fù)平面映射分形一般差分方程的解析求解方法線性時變差分方程的數(shù)值解法線性時不變差分方程的解法一般非線性差分方程的數(shù)值求解方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02差分方程求解常系數(shù)線性差分方程的一般形式為差分方程簡單記號T采樣周期，常系數(shù)2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6.1一般差分方程的解析求解方法差分方程求z

變換2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02得出其中2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02算法的實(shí)現(xiàn)MATLAB函數(shù)求解語句2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.45差分方程初值輸入信號求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6.2線性時變差分方程

的數(shù)值解法線性時變差分狀態(tài)方程其中，遞推2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02繼續(xù)最終得出可通過遞推方法求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02例5.46求解離散線性時變差分方程其中可以通過遞推方法直接求解2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02采用迭代方法2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:025.6.3線性時不變差分方程的解法若線性時不變系統(tǒng)有則有線性時不變狀態(tài)方程2/4/2023星期六,2008-9-6,13:09:02兩邊取z

變換由此得出解析解由iztrans函數(shù)可以直接求解2/4/2023