第15章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩第五版

第四篇振動(dòng)和波動(dòng)

第十五章機(jī)械振動(dòng)和電磁振蕩§15-1簡(jiǎn)諧振動(dòng)1.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式

簡(jiǎn)諧振動(dòng)：物體運(yùn)動(dòng)時(shí)，離開(kāi)平衡位置的位移(或角位移)按余弦(或正弦)規(guī)律隨時(shí)間變化。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式彈簧振子：連接在一起的一個(gè)忽略了質(zhì)量的彈簧和一個(gè)不發(fā)生形變的物體系統(tǒng)。回復(fù)力：作簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受的沿位移方向的合外力,該力與位移成正比且反向。

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)特征:

據(jù)牛頓第二定律，得令運(yùn)動(dòng)學(xué)特征簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式位移之解可寫(xiě)為：或

簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)特征:物體的加速度與位移成正比而方向相反，物體的位移按余弦規(guī)律變化。速度加速度簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式簡(jiǎn)諧振動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)位移、速度、加速度與時(shí)間的關(guān)系:簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式常量和的確定在到之間，通常存在兩個(gè)值，可根據(jù)進(jìn)行取舍。根據(jù)初始條件：

時(shí)，,，得簡(jiǎn)諧振動(dòng)的特征及其表達(dá)式2.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(1)振幅:

物體離開(kāi)平衡位置的最大位移的絕對(duì)值。由初始條件確定(2)周期和頻率

周期：物體作一次完全運(yùn)動(dòng)所經(jīng)歷的時(shí)間。頻率：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)物體所作完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。角頻率:

物體在秒內(nèi)所作的完全運(yùn)動(dòng)的次數(shù)。對(duì)于彈簧振子，因有，得:利用上述關(guān)系式，簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(3)相位和初相相位：決定簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量。初相位：t

=0時(shí)的相位。相位概念可用于比較兩個(gè)諧振動(dòng)之間在振動(dòng)步調(diào)上的差異。設(shè)有兩個(gè)同頻率的諧振動(dòng)，表達(dá)式分別為：二者的相位差為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位(b)當(dāng)時(shí),稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為反相；(d)當(dāng)時(shí),稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)落后第一個(gè)振動(dòng)。(c)當(dāng)時(shí),稱(chēng)第二個(gè)振動(dòng)超前第一個(gè)振動(dòng)；討論:相位可以用來(lái)比較不同物理量變化的步調(diào)，對(duì)于簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移、速度和加速度，存在:(a)當(dāng)時(shí),稱(chēng)兩個(gè)振動(dòng)為同相；簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位速度的相位比位移的相位超前，加速度的相位比位移的相位超前。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振幅、周期、頻率和相位3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法采用旋轉(zhuǎn)矢量法，可直觀地領(lǐng)會(huì)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式中各個(gè)物理量的意義。旋轉(zhuǎn)矢量:一長(zhǎng)度等于振幅A的矢量在紙平面內(nèi)繞O點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其角速度與諧振動(dòng)的角頻率相等，這個(gè)矢量稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)矢量。簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法振動(dòng)相位逆時(shí)針?lè)较颚?/p>

M

點(diǎn)在

x

軸上投影(P點(diǎn))的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

的長(zhǎng)度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)的方向與參考方向x的夾角XOMPx振幅A振動(dòng)圓頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法速度、加速度的旋轉(zhuǎn)矢量表示法：

沿X軸的投影為簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的速度、加速度表達(dá)式。M

點(diǎn):簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法兩個(gè)同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)：相位之差為采用旋轉(zhuǎn)矢量直觀表示為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法

例15-1一物體沿X軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振幅A=0.12m,周期T=2s。當(dāng)t=0時(shí),物體的位移x=0.06m,且向X軸正向運(yùn)動(dòng)。求:(1)簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式;(2)t=T/4時(shí)物體的位置、速度和加速度;(3)物體從x=-0.06m向

X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，第一次回到平衡位置所需時(shí)間。解:(1)取平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn),諧振動(dòng)方程寫(xiě)為：其中A=0.12m,T=2s,初始條件：t=0,x0=0.06m,可得據(jù)初始條件得簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法(2)由(1)求得的簡(jiǎn)諧振動(dòng)表達(dá)式得:在t=T/4=0.5s時(shí)，從前面所列的表達(dá)式可得簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法(3)當(dāng)x=-0.06m時(shí)，該時(shí)刻設(shè)為t1,得因該時(shí)刻速度為負(fù)，應(yīng)舍去，設(shè)物體在t2時(shí)刻第一次回到平衡位置，相位是因此從x=-0.06m處第一次回到平衡位置的時(shí)間：另解：從t1時(shí)刻到t2時(shí)刻所對(duì)應(yīng)的相差為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的矢量圖示法4.幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(1)單擺重物所受合外力矩：據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得到很小時(shí)(小于)，可取令,有轉(zhuǎn)角的表達(dá)式可寫(xiě)為：角振幅

和初相由初始條件求得。單擺周期與角振幅

的關(guān)系為為很小時(shí)單擺的周期。根據(jù)上述周期的級(jí)數(shù)公式，可以將周期計(jì)算到所要求的任何精度。幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)(2)復(fù)擺一個(gè)可繞固定軸擺動(dòng)的剛體稱(chēng)為復(fù)擺。剛體的質(zhì)心為C,對(duì)過(guò)O

點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,O、C兩點(diǎn)間距離為h。令據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律，得若角度較小時(shí)幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)

例15-2一質(zhì)量為m

的平底船，其平均水平截面積為S，吃水深度為h，如不計(jì)水的阻力，求此船在豎直方向的振動(dòng)周期。解:船靜止時(shí)浮力與重力平衡，船在任一位置時(shí)，以水面為坐標(biāo)原點(diǎn),豎直向下的坐標(biāo)軸為y軸，船的位移用y表示。幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)船的位移為y時(shí)船所受合力為：船在豎直方向作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其角頻率和周期為:因得:幾種常見(jiàn)的簡(jiǎn)諧振動(dòng)5.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量動(dòng)能勢(shì)能以水平彈簧振子為例討論簡(jiǎn)諧振動(dòng)系統(tǒng)的能量。系統(tǒng)總的機(jī)械能：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量考慮到，系統(tǒng)總能量為，表明簡(jiǎn)諧振動(dòng)的機(jī)械能守恒。能量平均值上述結(jié)果對(duì)任一諧振系統(tǒng)均成立。諧振子的動(dòng)能、勢(shì)能和總能量隨時(shí)間的變化曲線:簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量例15-3一勻質(zhì)細(xì)桿AB的兩端,用長(zhǎng)度都為l且不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩懸掛起來(lái),當(dāng)棒以微小角度繞中心軸

扭動(dòng)時(shí)，求證其運(yùn)動(dòng)周期為：。解：設(shè)棒長(zhǎng)為2R,質(zhì)量為m，在棒扭動(dòng)時(shí),其質(zhì)心沿

上下運(yùn)動(dòng)。因扭動(dòng)角度

很小，可近似認(rèn)為細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。扭動(dòng)角度為

時(shí),細(xì)棒在水平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)角度為q，則有簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量hc是棒的質(zhì)心相對(duì)棒平衡時(shí)質(zhì)心位置的高度,有系統(tǒng)機(jī)械能守恒將上式兩端對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并利用關(guān)系得證。常量簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量

例15-4勁度系數(shù)為k、原長(zhǎng)為l、質(zhì)量為m的均勻彈簧，一端固定，另一端系一質(zhì)量為M的物體，在光滑水平面內(nèi)作直線運(yùn)動(dòng)。求解其運(yùn)動(dòng)。解：平衡時(shí)O點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)。物體運(yùn)動(dòng)到x處時(shí)，彈簧固定端位移為零，位于M一端位移為x。當(dāng)物體于x處時(shí),彈簧元ds的質(zhì)量,位移為速度為彈簧、物體的動(dòng)能分別為：簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量系統(tǒng)彈性勢(shì)能為系統(tǒng)機(jī)械能守恒，有將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，整理后可得因此，彈簧質(zhì)量小于物體質(zhì)量，且系統(tǒng)作微運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振子的運(yùn)動(dòng)可視為是簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。常數(shù)解畢。常數(shù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量§15-2阻尼振動(dòng)

振動(dòng)物體不受任何阻力的影響，只在回復(fù)力作用下所作的振動(dòng)，稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振動(dòng)。

在回復(fù)力和阻力作用下的振動(dòng)稱(chēng)為阻尼振動(dòng)。阻尼：消耗振動(dòng)系統(tǒng)能量的原因。阻尼種類(lèi)：摩擦阻尼輻射阻尼

對(duì)在流體(液體、氣體)中運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)物體速度較小時(shí)，阻力大小正比于速度，且方向相反，表示為

：阻力系數(shù)在阻力作用下的彈簧振子

阻尼振動(dòng)受力：運(yùn)動(dòng)方程:引入

阻尼因子

固有頻率在小阻尼條件下，微分方程的解為:其中阻力彈性恢復(fù)力其中

和為積分常數(shù),由初始條件決定。上式中的余弦項(xiàng)表征了在彈性力和阻力作用下的周期運(yùn)動(dòng)；反映了阻尼對(duì)振幅的影響。阻尼振動(dòng)的準(zhǔn)周期性減幅振動(dòng)

阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)不是周期性振動(dòng)，更不是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，因位移不是時(shí)間的周期函數(shù)。但阻尼振動(dòng)有某種重復(fù)性。位移相繼兩次達(dá)到極大值的時(shí)間間隔叫做阻尼振動(dòng)的周期，有顯而易見(jiàn)，由于阻尼，振動(dòng)變慢了。阻尼振動(dòng)的振幅為：振幅隨時(shí)間作指數(shù)衰減。阻尼大小決定了阻尼振動(dòng)振幅的衰減程度。

阻尼振動(dòng)阻尼振動(dòng)的三種情形：臨界阻尼過(guò)阻尼欠阻尼欠阻尼過(guò)阻尼臨界阻尼通過(guò)控制阻尼的大小，以滿足不同實(shí)際需要。

阻尼振動(dòng)§15-3受迫振動(dòng)共振1.受迫振動(dòng)

物體在周期性外力的持續(xù)作用下發(fā)生的振動(dòng)稱(chēng)為受迫振動(dòng)。物體所受驅(qū)動(dòng)力：運(yùn)動(dòng)方程：設(shè)受迫振動(dòng)對(duì)于阻尼較小的情形，運(yùn)動(dòng)方程之解表為:衰減項(xiàng)穩(wěn)態(tài)項(xiàng)經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后，衰減項(xiàng)忽略不計(jì)，僅考慮穩(wěn)態(tài)項(xiàng)。穩(wěn)態(tài)時(shí)振動(dòng)物體速度：在受迫振動(dòng)中，周期性的驅(qū)動(dòng)力對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)提供能量，另一方面系統(tǒng)又因阻尼而消耗能量，若二者相等，則系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定振動(dòng)狀態(tài)。受迫振動(dòng)2.共振對(duì)于受迫振動(dòng)，當(dāng)外力幅值恒定時(shí)，穩(wěn)定態(tài)振幅隨驅(qū)動(dòng)力的頻率而變化。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的角頻率等于某個(gè)特定值時(shí)，位移振幅達(dá)到最大值的現(xiàn)象稱(chēng)為位移共振。阻尼=0阻尼較小阻尼較大根據(jù)共振共振受迫振動(dòng)速度在一定條件下發(fā)生共振的的現(xiàn)象稱(chēng)為速度共振。根據(jù)共振

在阻尼很小的前提下，速度共振和位移共振可以認(rèn)為等同。阻尼=0阻尼較小阻尼較大§15-4電磁振蕩1.LC電路的振蕩

電路中電壓和電流的周期性變化稱(chēng)為電磁振蕩。LC振蕩電路向左合上開(kāi)關(guān)K，使電源給電容器充電，然后將開(kāi)關(guān)K接通LC回路，出現(xiàn)電磁振蕩效應(yīng)。LC電路的振蕩LC

回路與彈簧振子振動(dòng)的類(lèi)比LC回路與彈簧振子振動(dòng)的類(lèi)比

在LC電路中，電荷與電流(電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量)隨時(shí)間作周期性變化，且不斷相互轉(zhuǎn)換。若電路中無(wú)能量損耗，這種變化將一直持續(xù)下去，這種現(xiàn)象稱(chēng)為無(wú)阻尼自由振蕩。LC電路的振蕩設(shè)某一時(shí)刻電容器極板上電量為q,電路中電流為i，取LC回路的順時(shí)針?lè)较驗(yàn)殡娏髡?，得?因)Q0是電荷振幅，是振蕩初相，均由初始條件確定。LC

回路自由振蕩角頻率LC電路的振蕩將電量表達(dá)式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，得到電流表達(dá)式：其中為電流振幅。從前述分析結(jié)果可知，電量和電流都作簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)t時(shí)刻電容器極板上電量為q，相應(yīng)的電場(chǎng)能量為：此刻電流為i，則線圈中的磁場(chǎng)能量為:LC電路的振蕩將電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量相加，并利用，得上式表明，盡管電能和磁能均隨時(shí)間變化，但總能量守恒。LC電路的振蕩2.

阻尼振蕩事實(shí)上，任何電路都有電阻，LC電路應(yīng)為L(zhǎng)CR電路。將LCR

振蕩與機(jī)械振動(dòng)相類(lèi)比，得:阻尼振蕩在小阻尼條件下()，得:

在LCR電路中，能量不僅以電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能的形式相互轉(zhuǎn)換，而且還要轉(zhuǎn)變?yōu)榻苟鸁?，同時(shí)還有部分能量以電磁波的形式輻射出去。若沒(méi)有電源對(duì)電路提供能量，則LCR電路中電荷或電流作減幅振蕩。3.

受迫振蕩電共振

LRC

電路在外加周期性電動(dòng)勢(shì)持續(xù)作用下產(chǎn)生的振蕩，稱(chēng)為受迫振蕩。受迫振蕩微分方程：電動(dòng)勢(shì)穩(wěn)態(tài)解受迫振蕩電共振其中—感抗—容抗—電抗—阻抗

當(dāng)電路滿足

時(shí)，電流振幅最大，這種現(xiàn)象稱(chēng)為電共振。電流振幅最大值4.力電類(lèi)比

鑒于電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)的規(guī)律類(lèi)似，應(yīng)用力電類(lèi)比可把電磁振蕩和機(jī)械振動(dòng)對(duì)應(yīng)起來(lái)，具體關(guān)系如下表所示：機(jī)械振動(dòng)電磁振蕩(串聯(lián)電路)位移x速度v質(zhì)量m勁度系數(shù)k阻力系數(shù)g驅(qū)動(dòng)力F彈性勢(shì)能kx2/2動(dòng)能mv2/2電荷q電流i電感L電容的倒數(shù)1/C電阻R電動(dòng)勢(shì)e電場(chǎng)能量q2/2C磁場(chǎng)能量Li2/2§15-5同方向的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成1.同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成設(shè)一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與沿同一方向(x

軸)的兩個(gè)獨(dú)立的同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，兩個(gè)振動(dòng)位移為：合位移：合振動(dòng)仍然是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其方向和頻率與原來(lái)相同。同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成矢量沿X

軸之投影表征了合運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。旋轉(zhuǎn)矢量圖示法同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成(1)當(dāng)Df=f

20-f10=2kp

(k=0及正負(fù)整數(shù))，cos(f20-f10)=1,有同相迭加，合振幅最大。(2)當(dāng)Df=f

20-f10=(2k+1)p(k=0及正負(fù)整數(shù)),cos(f20-f10)=-1,有反相迭加，合振幅最小。當(dāng)A1=A2時(shí)，A=0。(3)通常情況下，合振幅介于和之間。討論：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成例15-4

N個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，它們的振幅相等，初相分別為0,a,2a,...,依次差一個(gè)恒量a，振動(dòng)表達(dá)式可寫(xiě)成求它們的合振動(dòng)的振幅和初相。

解:采用旋轉(zhuǎn)矢量法可使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化，從而避開(kāi)煩瑣的三角函數(shù)運(yùn)算。根據(jù)矢量合成法則，N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量的合成如下圖所示：同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成因各個(gè)振動(dòng)的振幅相同且相差依次恒為

a，上圖中各個(gè)矢量的起點(diǎn)和終點(diǎn)都在以C為圓心的圓周上，根據(jù)簡(jiǎn)單的幾何關(guān)系，可得同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

在三角形DOCM中,OM的長(zhǎng)度就是和振動(dòng)位移矢量的位移,角度就是和振動(dòng)的初相，據(jù)此得考慮到當(dāng)時(shí)(同相合成)，有同方向同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成2.同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成得：當(dāng)兩個(gè)同方向簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率不同時(shí)，在旋轉(zhuǎn)矢量圖示法中兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矢量的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度不相同，二者的相位差與時(shí)間有關(guān)，合矢量的長(zhǎng)度和角速度都將隨時(shí)間變化。兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的頻率和很接近，且x=x1+

x2同方向不同頻率的兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成拍因或有

在兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的位移合成表達(dá)式中，第一項(xiàng)隨時(shí)間作緩慢變化,第二項(xiàng)是角頻率近于

的簡(jiǎn)諧函數(shù)。合振動(dòng)可視為是角頻率為

、振幅為的簡(jiǎn)諧振動(dòng)?；?/p>

合振動(dòng)的振幅隨時(shí)間作緩慢的周期性的