第1章計算方法的一般概念

計算方法數(shù)值計算方法能做什么？研究使用計算機(jī)求解各種科學(xué)與工程計算問題的數(shù)值方法（近似方法），對求得的解的精度進(jìn)行評估，以及如何在計算機(jī)上實(shí)現(xiàn)求解等。數(shù)值計算課程中所講述的各種數(shù)值方法在科學(xué)與工程計算、信息科學(xué)、管理科學(xué)、生命科學(xué)等交叉學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用…………應(yīng)用問題舉例1、一個兩千年前的例子今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實(shí)三十斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，實(shí)三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實(shí)二十六斗。問上、中、下禾實(shí)一秉各幾何？答曰：上禾一秉九斗四分斗之一。中禾一秉四斗四分斗之一。下禾一秉二斗四分斗之三?！毒耪滤阈g(shù)》本課程第二章的內(nèi)容：線性方程組的數(shù)值方法！2、已經(jīng)測得在某處海洋不同深度處的水溫如下：深度（M）46674195014221634水溫（oC）7.044.283.402.542.13根據(jù)這些數(shù)據(jù)，希望合理地估計出其它深度（如500米，600米，1000米…）處的水溫本課程第三章的內(nèi)容：插值法用比較簡單的函數(shù)代替復(fù)雜的函數(shù)誤差為最小，即距離為最?。ㄔ诓煌亩攘恳饬x下）本課程第四章的內(nèi)容：函數(shù)最優(yōu)逼近法3、人口預(yù)測

下面給出的是中國1900年到2000年的人口數(shù)，我們的目標(biāo)是預(yù)測未來的人口數(shù)（數(shù)據(jù)量較大時）195055196196066207197082992198098705199011433320001267434、鋁制波紋瓦的長度問題建筑上用的一種鋁制波紋瓦是用一種機(jī)器將一塊平整的鋁板壓制而成的.假若要求波紋瓦長4英尺,每個波紋的高度(從中心線)為1英寸,且每個波紋以近似2π英寸為一個周期.求制做一塊波紋瓦所需鋁板的長度L.這個問題就是要求由函數(shù)f(x)=sinx給定的曲線從x=0到x=48英寸間的弧長L.由微積分學(xué)我們知道,所求的弧長可表示為:上述積分稱為第二類橢圓積分,它不能用普通方法來計算.本課程第五章的內(nèi)容：數(shù)值微積分5、天體力學(xué)中的Kepler方程x是行星運(yùn)動的軌道，它是時間t的函數(shù)本課程第六章的內(nèi)容：非線性方程的數(shù)值解法全球定位系統(tǒng)：在地球的任何一個位置，至少可以同時收到4顆以上衛(wèi)星發(fā)射的信號

6、全球定位系統(tǒng)（GlobalPositioningSystem,GPS)表示地球上一個接收點(diǎn)R的當(dāng)前位置，衛(wèi)星Si的位置為，則得到下列非線性方程組本課程第六章的內(nèi)容：

非線性方程組的數(shù)值方法記為其中G:GoogleMatrix,“theworld’slargestmatrixcomputation”.4,300,000,000x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”7、Google搜索引擎London,England:Millennium('Wobbly')Bridge(1998-2002,NormanFosterandPartnersandArupAssociates)…thenaturalmodesandfrequenciesofastructurearethesolutionofaneigenvalueproblemthatisquadraticwhendampingeffectsareincludedinthemodel.(F.Tisseur,K.Meerbergen,ThequadraticEigenvalueProblem,SiREV43,2000,pp.235-286)本課程第七章的內(nèi)容：矩陣特征值問題的數(shù)值方法8、生物化學(xué)反應(yīng)的例子A，B，C是三種蛋白質(zhì)，其反應(yīng)如下：我們通過建?？梢缘玫饺缦路匠探M

A：B：C：

本課程第八章的內(nèi)容：常微分方程的數(shù)值解法用計算機(jī)解決實(shí)際問題的步驟建立數(shù)學(xué)模型選擇數(shù)值方法編寫程序上機(jī)計算結(jié)果數(shù)值計算方法的主要任務(wù)：數(shù)值求解各類數(shù)值問題，并提出最有效的算法。（包括誤差分析，算法的穩(wěn)定性及收斂性）第1章計算方法的一般概念算法誤差1.1算法由基本運(yùn)算（算術(shù)運(yùn)算及一些邏輯運(yùn)算）及運(yùn)算順序的規(guī)定構(gòu)成的完整的解題步驟。例如：運(yùn)算量：8次乘除，2次加減.運(yùn)算量：4次乘法，2次減法縮減冪級數(shù)法（第四章）：其中，運(yùn)算量：4次乘法，2次減法.誤差|R|<=0.0000030.何為最有效算法？運(yùn)算量少，應(yīng)用廣泛，存儲單元少；邏輯結(jié)構(gòu)簡單，便于計算機(jī)編程；計算結(jié)果可靠.(誤差估計、收斂性和穩(wěn)定性)注意：沒有一種算法處處最有效！1.2誤差誤差的來源與分類誤差與有效數(shù)字誤差估計機(jī)器數(shù)與舍入誤差算法的穩(wěn)定性1.2.1誤差的分類模型誤差觀測誤差（數(shù)據(jù)誤差、參量誤差）截斷誤差（方法誤差）舍入誤差（計算誤差）1.2.2誤差與有效數(shù)字絕對誤差：

絕對誤差界：注意：絕對誤差或絕對誤差界常常稱為誤差！絕對誤差可取正也可取負(fù)，越小越有參考價值.相對誤差：

相對誤差界：注意：相對誤差界有時簡稱為相對誤差，并常用百分?jǐn)?shù)表示！哪個更精確呢?準(zhǔn)確數(shù)字與有效數(shù)字例如：準(zhǔn)確到4位小數(shù)，具有5位有效數(shù)字；準(zhǔn)確到2位小數(shù)，具有3位有效數(shù)字；準(zhǔn)確到6位小數(shù)，具有7位有效數(shù)字；再說有效數(shù)字用科學(xué)計數(shù)法，記（其中）。若（即的截取按四舍五入規(guī)則），則稱為有n位有效數(shù)字，精確到。注:0.2300有4位有效數(shù)字,而0.0023只有2位有效字.12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！相對誤差與有效數(shù)字

有效數(shù)字

相對誤差限設(shè)近似值已知有n位有效數(shù)字，則其相對誤差限為相對誤差限有效數(shù)字已知的相對誤差限可寫為則可見

至少有n位有效數(shù)字。總之：近似值的絕對誤差界為0.5*10-n時，其準(zhǔn)確到n位小數(shù)；近似值的相對誤差界為0.5*10-t時，至少具有t位有效數(shù)字。1.2.3數(shù)據(jù)誤差影響的估計一元函數(shù)的情形；多元函數(shù)的情形；幾個常見的誤差估計式.1、一元函數(shù)情形

問題：對于y=f(x)，若用x*

取代x，將對y

產(chǎn)生什么影響？分析：Δy=f(x)f(x*)Δx=xx*=f'()(xx*)x*與x非常接近時，可認(rèn)為f'()

f'(x*)，則有：|Δ

y||f'(x*)|·|Δ

x|即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f'(x*)|倍。故稱|f'(x*)|為放大因子

/*amplificationfactor*/

或絕對條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.相對誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點(diǎn)是小\大，則稱f在該點(diǎn)是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。2.多元函數(shù)的情形絕對值為相對誤差條件數(shù)絕對值為絕對誤差條件數(shù)當(dāng)時，相對誤差條件數(shù)一般很大，問題往往是病態(tài)的！避免相近的數(shù)相減：兩個相近的數(shù)相減,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴(yán)重?fù)p失例如：設(shè)x>>1例：解方程解:而如果在字長為8,基底為10的計算機(jī)上利用求根公式機(jī)器吃了因此在計算機(jī)上上式是解二次方程的數(shù)值公式幾個簡單的估計公式設(shè)1.2.4機(jī)器數(shù)與舍入誤差在計算機(jī)中，一般實(shí)數(shù)x均按舍入原則表示成:(b進(jìn)制浮點(diǎn)數(shù))其中b稱為基數(shù)，m為階碼，為尾數(shù)或數(shù)碼時fl(x)稱為規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)，t為計算機(jī)的位數(shù).一定型號的計算機(jī)，t是固定的，L<=m<=U.避免大數(shù)吃掉小數(shù)例如：在4位的10進(jìn)制的計算機(jī)上31.97+2.456+0.1352（=34.5612）(2)(31.97+2.456)+0.1352=34.43+0.1352=34.57(3)31.97+(2.456+0.1352)=31.97+2.591=34.56(4)一般來說，若干數(shù)相加最好先加絕對值較小的數(shù)！簡化計算步驟，盡量減少運(yùn)算次數(shù)15次乘法運(yùn)算而不是255次！例如：又如：例如，計算多項式

通常運(yùn)算的乘法次數(shù)為

采用秦九韶算法：n次乘法，n加法！解由分部積分可得因此有遞推公式1.2.5算法的穩(wěn)定性例如：計算積分表1-1 0.367879 0.264242 0.207274 0.170904 0.145480 0.127120 0.110160 0.118720-0.068480用上面的遞推公式，在字長為6，基底為10的計算機(jī)上，從E1出發(fā)計算前幾個積分值，其結(jié)果如上表1-1。被積函數(shù)在積分限（0,1）區(qū)間內(nèi)都是正值，積分值E9取三位有效數(shù)字的精確結(jié)果為0.0916，但上表中E9=-0.068480卻是負(fù)值，與0.0916相差很大。怎么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象？可分析如下。由于在計算時有舍入誤差約為且考慮以后的計算都不再另有舍入誤差。此對后面各項計算的影響為53

這樣，算到E9時產(chǎn)生的誤差為這就是一個不小的數(shù)值了?？梢愿倪M(jìn)算法來提高此例的數(shù)值穩(wěn)定性，即將遞推公式改寫為從后向前遞推計算時，En的誤差下降為原來的1/n，因此只要n取得足夠大，誤差逐次下降，其影響就會越來越小。由

可知：當(dāng)時。因此可取E20作為初始值進(jìn)行遞推計算。由于，故E20=0的誤差約為1/21。在計算時誤差下降到到計算E15時誤差已下降到，結(jié)果如表1-2。200.0000000190.0500000180.0500000170.0527778160.0557190150.0669477140.0627322130.0669477120.0717733110.0773523100.083877190.0916123表1-4nInnIn00.1823215590.01705662410.088392216100.01471687620.058039818110.01732471030.04313874212-0.00329021940.03430628713-0.09337417250.02846856014-0.39544229060.024323864152