高中數(shù)學(xué)人教A版5柯西不等式與排序不等式 全國公開課

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊?？记斑^關(guān)訓(xùn)練(三)柯西不等式、排序不等式與數(shù)學(xué)歸納法(35分鐘60分)一、選擇題(每小題3分,共18分)1.函數(shù)y=21-x+2A.33【解析】選=2·2-2x+1·≤[(2當且僅當22-2x=12.已知實數(shù)a,b,c,d滿足a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,則a的最大值是() B.2 【解題指南】利用柯西不等式構(gòu)建關(guān)于a的不等式求解.【解析】選B.由柯西不等式,得(2b2+3c2+6d2)12+1即2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,當且僅當2b12=3又b+c+d=3-a,2b2+3c2+6d2=5-a2,故5-a2≥(3-a)2,解得1≤a≤2,即a的最大值是2.3.一組實數(shù)為a1,a2,a3,設(shè)c1,c2,c3是另一組數(shù)b1,b2,b3的任意一個排列,則a1c1+a2c2+a3A.最大值為a1b1+a2b2+a3b3,最小值為a1b3+a2b2+a3b1B.最大值為a1b2+a2b3+a3b1,最小值為a1b3+a2b1+a3b2C.最大值與最小值相等為a1b1+a2b2+a3b3D.以上答案都不對【解析】選,a2,a3與b1,b2,b3的大小順序不知,無法確定其最值.4.對于正整數(shù)n,下列說法不正確的是()≥1+2n 【解析】選C.由貝努利不等式知,選項C不正確.5.(2023·菏澤高二檢測)已知x+y+z=1,則2x2+3y2+z2的最小值為()A.211 B.311 C.511 【解析】選D.由柯西不等式得,(2x2+3y2+z2)12+1所以(2x2+3y2+z2)≥6116.(2023·蘇州高二檢測)已知x,y,z∈R+,且1x+2y+3z=1,則x+y() B.6 C.8 【解析】選D.由柯西不等式,知1x+2因為1x+2y+3z=1,所以x+y即x+y2+z二、填空題(每小題4分,共12分)7.已知點P是邊長為23的等邊三角形內(nèi)一點,它到三邊的距離分別為x,y,z,則x,y,z所滿足的關(guān)系式為________,x2+y2+z2的最小值是______.【解析】利用三角形面積相等,得12×23(x+y+z)=34×(23)由(1+1+1)(x2+y2+z2)≥(x+y+z)2=9,得x2+y2+z2≥3,當且僅當x=y=z=1時取等號.答案:x+y+z=338.如圖所示,矩形OPAQ中,a1≤a2,b1≤b2,則陰影部分的矩形的面積之和________空白部分的矩形的面積之和.【解析】由題干圖可知,陰影部分的面積=a1b1+a2b2,而空白部分的面積=a1b2+a2b1,根據(jù)順序和≥逆序和可知,a1b1+a2b2≥a1b2+a2b1.答案:≥9.(2023·聊城高二檢測)凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形對角線條數(shù)f(n+1)與f(n)的遞推關(guān)系為________.【解析】凸n+1邊形比凸n邊形對角線條數(shù)多n-1,所以凸n邊形有f(n)條對角線,則凸n+1邊形對角線條數(shù)f(n+1)與f(n)的遞推關(guān)系為f(n+1)=f(n)+n-1.答案:f(n+1)=f(n)+n-1三、解答題(每小題10分,共30分)10.已知a,b,c∈R+,求證:a12bc+b12ca+c12ab≥a10【解題指南】可以發(fā)現(xiàn)左右兩邊的次數(shù)相等,因此,應(yīng)該進行適當?shù)钠礈?使其成為積的形式.【證明】不妨設(shè)a≥b≥c>0,則1bc≥1ca≥1ab>0且a12≥b12則a12bc+b12ca+c12ab=a11b+b11c+c11a≥a11a+b11,a2,…,an是互不相等的正數(shù),其中ai∈[1,+∞),且i∈{1,2,3,…,n},n≥2.證明:(1)a22a1+a1(2)a12a2+a2【證明】(1)因為a1>0,a2>0,且a1≠a2,所以a22a1+a12a2-a1-a2=a12((2)不妨設(shè)1≤a1<a2<…<an,則a12<a22<…<an2,且由排序不等式知,亂序和不小于反序和,又等號均不成立,所以a12a2+a22a3+…+an-12an+an即a12a2+a22a3+…+an-12a12.(2023·廈門高二檢測)設(shè)an=1+12+13+…+1n(n∈N+),是否存在n的整式g(n),使得等式a1+a2+a3+…+an-1【解析】假設(shè)g(n)存在,那么當n=2時,由a1=g(2)(a2-1),即1=g(2)1+所以g(2)=2;當n=3時,由a1+a2=g(3)(a3-1),即1+1+12當n=4時,由a1+a2+a3=g(4)(a4-1),即1+1+1=g(4)1+由此猜想g(n)=n(n≥2,n∈N+).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:當n≥2,n∈N+時,等式a1+a2+a3+…+an-1=n(an-1)成立.(1)當n=2時,a1=1,g(2)(a2-1)=2×1+(2)假設(shè)當n=k(k≥2,k∈N+)時結(jié)論成立,即a1+a2+a3+…+ak-1=k(ak-1)成立,那么當n=k+1時,a1+a2+…+ak-1+ak=k(ak-1)+ak=(k+1)ak-k=