第3章-導(dǎo)熱問題的與計(jì)算

第三章導(dǎo)熱問題的分析與計(jì)算§3-1一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-2通過(guò)肋片的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-3對(duì)流邊界條件下的一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-4集總參數(shù)分析法§3-5半無(wú)限大物體的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3-6井筒周圍的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱第三章導(dǎo)熱問題的分析與計(jì)算第一部分穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱本節(jié)將針對(duì)一維、穩(wěn)態(tài)、常物性情況，考察平板和圓柱內(nèi)的導(dǎo)熱。直角坐標(biāo)系：§3-1一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱3.1.1通過(guò)平壁的導(dǎo)熱平壁的長(zhǎng)度和寬度都遠(yuǎn)大于其厚度，因而平板兩側(cè)保持均勻邊界條件的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱就可以歸納為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。平板可分為單層壁，多層壁和復(fù)合壁等類型。a.單層壁導(dǎo)熱b.多層壁導(dǎo)熱c.復(fù)合壁導(dǎo)熱1、單層平壁的導(dǎo)熱a幾何條件：?jiǎn)螌悠桨澹籦物理?xiàng)l件：、c、

已知；

無(wú)內(nèi)熱源c時(shí)間條件：d邊界條件：第一類類似于滲流力學(xué)中單相流體的平面平行流的滲流過(guò)程根據(jù)上面的條件可得：定解條件：控制方程第一類邊界直接積分，得：帶入邊界條件：帶入Fourier定律熱阻分析法適用于一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源的情況線性分布2、多層平壁的導(dǎo)熱

多層平壁：由幾層不同材料組成例：鍋爐的爐墻—耐火磚層、隔熱磚層、保溫層層、金屬護(hù)板組成假設(shè)各層之間接觸良好，可以近似地認(rèn)為接合面上各處的溫度相等t2t3t4t1qt2t3t4t1q由和分比關(guān)系

t1r1t2r2t3r3t4推廣到n層壁的情況:

在推導(dǎo)多層壁導(dǎo)熱的公式時(shí)，假定了兩層壁面之間是保持了良好的接觸，要求層間保持同一溫度。而在工程實(shí)際中這個(gè)假定并不存在。因?yàn)槿魏喂腆w表面之間的接觸都不可能是緊密的。t1t2Δtxt

在這種情況下，兩壁面之間只有接觸的地方才直接導(dǎo)熱，在不接觸處存在空隙。

熱量是通過(guò)充滿空隙的流體的導(dǎo)熱、對(duì)流和輻射的方式傳遞的，因而存在傳熱阻力，稱為接觸熱阻。

3、接觸熱阻

接觸熱阻是普遍存在的，而目前對(duì)其研究又不充分，往往采用一些實(shí)際測(cè)定的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)。通常，對(duì)于導(dǎo)熱系數(shù)較小的多層壁導(dǎo)熱問題接觸熱阻多不予考慮；但是對(duì)于金屬材料之間的接觸熱阻就是不容忽視的問題。例3-1有一磚砌墻壁，厚為0.25m。已知內(nèi)外壁面的溫度分別為25℃和30℃。試計(jì)算墻壁內(nèi)的溫度分布和通過(guò)的熱流密度。代入已知數(shù)據(jù)可以得出墻壁內(nèi)的溫度分布解：由平壁導(dǎo)熱的溫度分布從附錄查得紅磚的λ=0.87W/(m·K),于是可以計(jì)算出通過(guò)墻壁的熱流密度例3-2由三層材料組成的加熱爐爐墻。第一層為耐火磚。第二層為硅藻土絕熱層，第三層為紅磚，各層的厚度及導(dǎo)熱系數(shù)分別為1＝240mm，1=1.04W/(mK)，2＝50mm,2=0.15W/(mK)，3＝115mm,3=0.63W/(mK)。爐墻內(nèi)側(cè)耐火磚的表面溫度為1000℃。爐墻外側(cè)紅磚的表面溫度為60℃。試計(jì)算硅藻土層的平均溫度及通過(guò)爐墻的導(dǎo)熱熱流密度。解：已知1＝0.24m,1=1.04W/(mK)

2＝0.05m,2=0.15W/(mK)

3＝0.115m,3=0.63W/(mK)tw1=1000℃，tw4=60℃tw2tw3tw4tw1q

tw1

r1

tw2

r2

tw3

r3

tw4硅藻土層的平均溫度為

例題3-3假設(shè)厚度為δ平壁左側(cè)表面絕熱，右側(cè)與某種低溫流體進(jìn)行對(duì)流換熱，表面對(duì)流傳熱系數(shù)為hc，溫度為tf。平壁內(nèi)具有均勻分布的內(nèi)熱源,強(qiáng)度為,平壁材料的熱導(dǎo)率為常數(shù),試分析平壁內(nèi)的溫度分布規(guī)律及溫度極值點(diǎn)的位置。解：平壁一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱微分方程式為邊界條件與無(wú)內(nèi)熱源時(shí)相同:x=0,x=,(a)(b)(c)tw1hctf0xt有內(nèi)熱源的問題對(duì)微分方程式(a)進(jìn)行積分,得(d)將邊界條件(b)代入上式,當(dāng)x=0，q=0，可求得積分常數(shù)c1

=

0對(duì)式(e)再進(jìn)行積分,得(e)(f)將式(e)、（f）都帶入（c）得(g)tw1hctf0xt這樣可求出C2于是，壁內(nèi)的溫度分布為平壁內(nèi)部溫度具有最大值的位置可由下式求出:最大值tmax為：變導(dǎo)熱系數(shù)問題求解導(dǎo)熱問題的主要途徑分兩步：求解導(dǎo)熱微分方程，獲得溫度場(chǎng)；根據(jù)Fourier定律和已獲得的溫度場(chǎng)計(jì)算熱流量；對(duì)于穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、第一類邊界條件下的一維導(dǎo)熱問題，可以不通過(guò)溫度場(chǎng)而直接獲得熱流量。此時(shí)，一維Fourier定律：當(dāng)＝(t)(隨溫度變化)時(shí)，分離變量后積分，并注意到熱流量Φ與x無(wú)關(guān)(穩(wěn)態(tài))，得當(dāng)隨溫度呈線性分布時(shí)，即＝0＋at，則實(shí)際上，不論如何變化，只要能計(jì)算出平均導(dǎo)熱系數(shù)，就可以利用前面講過(guò)的所有定導(dǎo)熱系數(shù)公式，只是需要將換成平均溫度下的平均導(dǎo)熱系數(shù)m。如果取直線關(guān)系時(shí)(λ=λ0+bt，λ0>0)，此時(shí)溫度分布曲線的性質(zhì)與b的正負(fù)和數(shù)值有關(guān)。tw1tw20xtb>0b<0當(dāng)b>0時(shí)，曲線上凸；當(dāng)平壁穩(wěn)態(tài)傳熱時(shí)，q=常數(shù)，dq/dx=0當(dāng)b<0時(shí)，曲線下凹；當(dāng)b=0時(shí)，為直線。穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱柱坐標(biāo)系：

圓筒壁就是圓管的壁面。當(dāng)管子的壁面相對(duì)于管長(zhǎng)而言非常小，且管子的內(nèi)外壁面又保持均勻的溫度時(shí)，通過(guò)管壁的導(dǎo)熱就是圓柱坐標(biāo)系上的一維導(dǎo)熱問題。3.1.2通過(guò)圓筒壁導(dǎo)熱1、單層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一維、穩(wěn)態(tài)、無(wú)內(nèi)熱源、常物性：第一類邊界條件：(a)tw1

r1

tw2

rr2對(duì)上述方程(a)積分兩次:第一次積分第二次積分應(yīng)用邊界條件獲得兩個(gè)系數(shù)將系數(shù)帶入第二次積分結(jié)果顯然，溫度呈對(duì)數(shù)曲線分布下面來(lái)看一下圓筒壁內(nèi)部的熱流密度和熱流分布情況雖然是穩(wěn)態(tài)情況，但熱流密度q與半徑r成反比！求導(dǎo)根據(jù)熱阻的定義，通過(guò)整個(gè)圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻為：恒定值熱流密度熱流量單位長(zhǎng)度圓筒壁的熱流量（亦稱為線熱流密度）：?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度圓筒壁的導(dǎo)熱熱阻，m·K/W2、通過(guò)多層圓筒壁的導(dǎo)熱由不同材料構(gòu)成的多層圓筒壁帶有保溫層的熱力管道、嵌套的金屬管道和結(jié)垢、積灰的輸送管道等由不同材料制作的圓筒同心緊密結(jié)合而構(gòu)成多層圓筒壁，如果管子的壁厚遠(yuǎn)小于管子的長(zhǎng)度，且管壁內(nèi)外邊界條件均勻一致，那么在管子的徑向方向構(gòu)成一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。單位管長(zhǎng)的熱流量

例3－5某管道外經(jīng)為2r，外壁溫度為tw1，如外包兩層厚度均為r（即2＝3＝r）、導(dǎo)熱系數(shù)分別為2和3（2/3=2）的保溫材料，外層外表面溫度為tw2。如將兩層保溫材料的位置對(duì)調(diào)，其他條件不變，保溫情況變化如何？由此能得出什么結(jié)論？解：設(shè)兩層保溫層直徑分別為d2、d3和d4，則d3/d2=2，d4/d3=3/2。導(dǎo)熱系數(shù)大的在里面：導(dǎo)熱系數(shù)大的在外面：兩種情況散熱量之比為：結(jié)論：導(dǎo)熱系數(shù)大的材料在外面，導(dǎo)熱系數(shù)小的材料放在里層對(duì)保溫更有利。例題3-6電廠中有一直徑為0.2m的過(guò)熱蒸汽管道，鋼管壁厚為0.8mm,鋼材的熱導(dǎo)率為λ1=45W/(m·K)，管外包有厚度為δ=0.12m的保溫層，保溫材料導(dǎo)熱系數(shù)為λ2=0.1W/(m·K)，管內(nèi)壁面溫度為tw1=300℃，保溫層外壁面溫度為tw3=50℃。試求單位管長(zhǎng)的散熱損失。解：這是一個(gè)通過(guò)二層圓筒壁的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。根據(jù)前面的計(jì)算式或者熱阻串聯(lián)關(guān)系，有W/m從以上計(jì)算過(guò)程可以看出，鋼管壁的導(dǎo)熱熱阻與保溫層的導(dǎo)熱熱阻相比非常小，可以忽略。若題中給出的是第三類邊界條件，即管內(nèi)蒸汽溫度為tf1=300℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h1=150W/(m2·K)，周圍空氣溫度為tf2=20℃，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h2=W/(m2·K)，試計(jì)算單位管長(zhǎng)的散熱損失及鋼管內(nèi)壁面和保溫層外壁面溫度，并比較各熱阻的大小。對(duì)于內(nèi)、外表面維持均勻衡定溫度的空心球壁的導(dǎo)熱，在球坐標(biāo)系中也是一個(gè)一維導(dǎo)熱問題。相應(yīng)計(jì)算公式為：溫度分布：熱流量：熱阻：3、通過(guò)球殼的導(dǎo)熱§3-2通過(guò)肋片的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題：如何增強(qiáng)傳熱能力？如何用玻璃溫度計(jì)測(cè)量管內(nèi)流體的溫度？分析：h1↑，h2↑:一般比較困難，改善小的一側(cè)Δt↑：困難

A↑：延伸體一、基本概念

1、肋片：指依附于基礎(chǔ)表面上的擴(kuò)展表面。一般由金屬材料制成，熱導(dǎo)率大工程上和自然界常見到一些帶有突出表面的物體。增大對(duì)流換熱面積，以強(qiáng)化換熱總在對(duì)流換熱系數(shù)較小的一側(cè)２、肋片的作用3、常見肋片的結(jié)構(gòu)：直肋環(huán)肋針肋直肋環(huán)肋針肋肋高H肋寬b肋厚δ周長(zhǎng)P橫截面積A肋基肋端肋片的基本尺寸和術(shù)語(yǔ)b二、等截面直肋的導(dǎo)熱已知：矩形直肋，δ、A、b均保持不變肋基溫度為t0，且t0>tf肋片與環(huán)境的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為常量h導(dǎo)熱系數(shù)，保持不變無(wú)內(nèi)熱源求：溫度場(chǎng)t

和散熱量0xdxΦxΦx+dxδΦc分析：肋寬b方向：肋片寬度遠(yuǎn)大于肋片的厚度b>>δ,不考慮溫度沿該方向的變化于是我們可以把通過(guò)肋片的導(dǎo)熱問題視為沿肋片方向上的一維導(dǎo)熱問題。肋厚δ方向：沿肋厚方向的導(dǎo)熱熱阻一般遠(yuǎn)小于它與環(huán)境的換熱熱阻。把沿δ方向的散熱視為負(fù)的虛擬內(nèi)熱源1/hδ/λ1/htｆt1t2tｆ0xdxΦxΦx+dxδΦc假設(shè)：1）導(dǎo)熱系數(shù)λ及表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h均為常數(shù)；2）肋片寬度遠(yuǎn)大于肋片的厚度，不考慮溫度沿該方向的變化；

3）表面上的換熱熱阻1/h，遠(yuǎn)大于肋片的導(dǎo)熱熱阻δ/λ，即肋片上沿肋厚方向上的溫度均勻不變；

4）肋端視為絕熱，即dt/dx=0；

在上述假設(shè)條件下，把復(fù)雜的肋片導(dǎo)熱問題轉(zhuǎn)化為一維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱,并將沿程散熱量視為負(fù)的內(nèi)熱源，則導(dǎo)熱微分方程式簡(jiǎn)化為0xdxΦxΦx+dxδΦc虛擬內(nèi)熱源強(qiáng)度單位時(shí)間肋片單位體積的對(duì)流散熱量如圖，在距肋基ｘ處取一長(zhǎng)度為dx的微元段，該段的對(duì)流換熱量為：因此該微元段的內(nèi)熱源強(qiáng)度為：0xdxΦxΦx+dxδΦc導(dǎo)熱微分方程：引入過(guò)余溫度。并令邊界條件：導(dǎo)熱微分方程：二階齊次線性常微分方程絕熱邊界求解得肋片內(nèi)的溫度分布：雙曲余弦函數(shù)θx0θ0θLH肋片表面的散熱量雙曲正切函數(shù)0xdxΦxΦx+dxbδΦc穩(wěn)態(tài)條件下肋片表面的散熱量=通過(guò)肋基導(dǎo)入肋片的熱量2肋片效率

為了從散熱的角度評(píng)價(jià)加裝肋片后換熱效果，引進(jìn)肋片效率

表示整個(gè)肋片均處于肋基溫度時(shí)傳遞的熱流量，也就是肋片傳導(dǎo)熱阻為零時(shí)向環(huán)境散失的熱流量。3.肋片的工程計(jì)算

肋片的散熱量:如果肋片的效率能夠順利計(jì)算出來(lái)的話，肋片的實(shí)際散熱量也就可以求得。mH這個(gè)無(wú)因次數(shù)在肋片效率計(jì)算中有重要作用。肋片的縱剖面積影響肋片效率的因素：肋片材料的熱導(dǎo)率、肋片表面與周圍介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、肋片的幾何形狀和尺寸（P、A、H）可見，與參量有關(guān)，其關(guān)系曲線如圖所示。這樣，矩形直肋的散熱量可以不用公式計(jì)算，而直接用圖查出，散熱量

4.通過(guò)環(huán)肋及三角形截面直肋的導(dǎo)熱

為了減輕肋片重量、節(jié)省材料，并保持散熱量基本不變，需要采用變截面肋片，環(huán)肋及三角形截面直肋是其中的兩種。對(duì)于變截面肋片來(lái)講，由于從導(dǎo)熱微分方程求得的肋片散熱量計(jì)算公式相當(dāng)復(fù)雜，因此，人們仿照等截面直肋。利用肋片效率曲線來(lái)計(jì)算方便多了，書中圖2－14和2－15分別給出了三角形直肋和矩形剖面環(huán)肋的效率曲線。工程上采用的肋片幾何形狀是十分復(fù)雜的。r0xy0矩形環(huán)肋片三角形肋片

計(jì)算m值帶來(lái)一定的困難，但mh值是可以確定的。對(duì)直肋工程上，往往采用肋效率ηf和為坐標(biāo)的曲線，表示理論界的結(jié)果。矩形和三角形肋片的效率矩形截面環(huán)肋的效率3.幾點(diǎn)考慮

1)肋端散熱的考慮P40推導(dǎo)中忽略了肋端的散熱（認(rèn)為肋端絕熱）。對(duì)于一般工程計(jì)算，尤其高而薄的肋片，足夠精確。若必須考慮肋端散熱，?。篐c=H+/2b2)換熱系數(shù)為常數(shù)的假定

為了推導(dǎo)和求解的方便，我們將h、均假定為常數(shù)。但實(shí)際上換熱系數(shù)h并不是常數(shù)，而是隨肋高而變化的。而在自然對(duì)流環(huán)境下?lián)Q熱系數(shù)還是溫度的函數(shù)。因此，我們?cè)诶咂嵊?jì)算中也應(yīng)注意由此引起的誤差。實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，并非任何情況下加肋片都能使傳熱增加，有時(shí)反而減少。3)何時(shí)加肋片對(duì)傳熱有利

實(shí)際工程中，由于h在肋高上不相等，且肋片內(nèi)部的溫度場(chǎng)并不是一維的，肋端的hH與h也存在差異，此時(shí)采用下式判斷：例3－7為了測(cè)量管道內(nèi)的熱空氣溫度和保護(hù)測(cè)溫元件—熱電偶，采用金屬測(cè)溫套管，熱電偶端點(diǎn)鑲嵌在套管的端部，如圖。套管長(zhǎng)H=100mm，外徑d=15mm，壁厚δ=1mm，套管材料的導(dǎo)熱系數(shù)λ=45W/(m·K)。已知熱電偶的指示溫度為200℃，套管根部的溫度t0=50℃，套管外表面與空氣之間對(duì)流換熱的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=40W/(m2·K)。試分析產(chǎn)生測(cè)溫誤差的原因并求出測(cè)溫誤差。解：由于熱電偶是鑲嵌在套管的端部，所以熱電偶指示的是測(cè)溫套管端部的溫度tH。測(cè)溫套管與周圍環(huán)境的的熱量交換情況如下：熱量以對(duì)流換熱的方式由熱空氣傳給測(cè)溫套管，測(cè)溫套管再通過(guò)熱輻射和導(dǎo)熱將熱量傳給空氣管道壁面。在穩(wěn)態(tài)情況下，測(cè)溫套管熱平衡的結(jié)果使測(cè)溫套管端部的溫度不等于空氣的溫度，測(cè)溫誤差就是套管端部的過(guò)余溫度。

解：如果忽略測(cè)溫套管橫截面上的溫度變化，并認(rèn)為套管端部絕熱，則套管可以看成是等截面直肋，根據(jù)式（a）R1R2R3T∞TftHt0§補(bǔ)充：多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題自學(xué)S為導(dǎo)熱形狀因子，單位m。取決于導(dǎo)熱體的形狀和大小，純粹是一個(gè)集合參量。P77表3-1第三章導(dǎo)熱問題的分析與計(jì)算第二部分非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱１、重點(diǎn)內(nèi)容：

①非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)；②集總參數(shù)法的基本原理及應(yīng)用。2、掌握內(nèi)容：

①確定瞬時(shí)溫度場(chǎng)的方法；②一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題。

3、了解內(nèi)容：

二維和三維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱§3.3.1概述一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程及其特點(diǎn)導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)溫度場(chǎng)隨時(shí)間變化的導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。溫度隨時(shí)間變化，熱流也隨時(shí)間變化。自然界和工程上許多導(dǎo)熱過(guò)程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內(nèi)燃機(jī)等裝置起動(dòng)、停機(jī)、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過(guò)程中墻內(nèi)與室內(nèi)空氣溫度1、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱：物體的溫度隨時(shí)間而作周期性的變化

非周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱（瞬態(tài)導(dǎo)熱）：物體的溫度隨時(shí)間不斷地升高（加熱過(guò)程）或降低（冷卻過(guò)程），在經(jīng)歷相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質(zhì)溫度，最終達(dá)到熱平衡，物體的溫度隨時(shí)間的推移逐漸趨近于恒定的值。300℃的鐵塊在冷水中的冷卻2、溫度分布（瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱）：一初始溫度場(chǎng)均勻并為t0的無(wú)限大平壁，突然投入到溫度為t∞的流體中加熱。分析溫度、熱流量隨時(shí)間變化平壁剛投入到流體中時(shí)，表面溫度tw立即發(fā)生變化，而溫度隨時(shí)間的變化率逐漸減小，并趨近于t∞；表面溫度tw變化后，溫度變化逐漸深入物體內(nèi)部，但要到τ2時(shí)刻，其中心溫度tm才開始變化，tm隨時(shí)間的變化率開始較小，以后增大又減小，最后，tm→t∞3、熱量變化物體投入到流體中后，由于開始時(shí)表面的傳熱溫差最大，表面熱流量立即達(dá)到最大值，以后隨著tw的增大而減小，最后趨于0，陰影部分面積表示總的吸熱量Q。4、學(xué)習(xí)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的目的：物體某一部分加熱（冷卻）到某一確定溫度所需的時(shí)間物體在非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中的溫度分布，熱應(yīng)力、熱變形分析、溫度變化率某一時(shí)刻物體表面的熱流量及經(jīng)過(guò)一段時(shí)間總的吸熱量5、求解方法：分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：

集總參數(shù)法、積分法數(shù)值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動(dòng)力學(xué)模擬3.3.2對(duì)流邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱一、無(wú)限大平板加熱（冷卻）過(guò)程分析厚度2

的無(wú)限大平壁，、a為已知常數(shù)；=0時(shí)溫度為t0;突然把兩側(cè)介質(zhì)溫度降低為t并保持不變；壁表面與介質(zhì)之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h。兩側(cè)冷卻情況相同、溫度分布對(duì)稱。中心為原點(diǎn)。導(dǎo)熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)由于是軸對(duì)稱問題，可以取平板一般分析：引入過(guò)余溫度對(duì)上述模型采用分離變量法求解，得：傅里葉準(zhǔn)則令μn稱為特征值，是以下超越方程的根：—無(wú)量綱距離可見，大平壁中離中心平面任一距離x處的無(wú)量綱過(guò)余溫度是Bi，F(xiàn)o和無(wú)量綱距離的函數(shù)。由于式中含有無(wú)窮級(jí)數(shù)，計(jì)算工作量很大計(jì)算表明，式中的指數(shù)項(xiàng)衰減很快當(dāng)Fo>0.2時(shí)，取無(wú)窮級(jí)數(shù)的首項(xiàng)而舍棄其他項(xiàng)，所得結(jié)果的誤差小于1％當(dāng)Fo>0.2時(shí)，取無(wú)窮級(jí)數(shù)的首項(xiàng)而舍棄其他項(xiàng)，相當(dāng)于將無(wú)窮級(jí)數(shù)中的Cn（n≥2）取為零于是在Fo>0.2后，有當(dāng)Fo>0.2后平壁內(nèi)任意位置處的過(guò)余溫度與平壁對(duì)稱面（中心面）的過(guò)余溫度θ(0,τ)之比為它表明：當(dāng)Fo>0.2后，雖然θ(x,τ)與θ(0,τ)各自均與τ相關(guān)，但它們的比值卻與τ無(wú)關(guān)而僅取決于平壁的幾何位置（x/δ）和Bi數(shù)這意味著初始條件的影響已經(jīng)消失，這就是正規(guī)狀況階段計(jì)算正規(guī)狀況階段的溫度需要根據(jù)Bi數(shù)確定相應(yīng)的特征值，使用時(shí)不甚方便工程上常采用兩種簡(jiǎn)化的計(jì)算方法，由海斯勒(Heisler)提出的諾模圖(nomogram)方法和由Campo提出的近似擬合公式關(guān)于海斯勒?qǐng)D的使用方法以及擬合公式的具體表達(dá)式可參閱文獻(xiàn)根據(jù)溫度分布，可以計(jì)算出一段時(shí)間內(nèi)平壁在非穩(wěn)態(tài)過(guò)程中所傳遞的熱量對(duì)雙面對(duì)稱加熱的平壁而言，平壁從流體中吸收的熱量完全被平壁用來(lái)升高其自身溫度顯然，從平壁放入流體的時(shí)刻起到平壁與流體處于熱平衡狀態(tài)，平壁所吸收熱量為吸熱量

這是該非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程所吸收的總熱量

從初始時(shí)刻起到某一時(shí)刻τ的這段時(shí)間內(nèi)，平壁所吸收的熱量為：平壁內(nèi)溫度分布表達(dá)式中含有Fo數(shù)和Bi數(shù)，這說(shuō)明非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的物理過(guò)程和特征要受到這兩個(gè)量綱一的量的影響傳熱學(xué)中，通常將表示某一物理現(xiàn)象或物理過(guò)程特征的量綱一的量，稱為特征數(shù)或準(zhǔn)則數(shù)Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響

出現(xiàn)在特征數(shù)中的幾何尺度稱為特征長(zhǎng)度，用符號(hào)l表示，characteristiclength對(duì)兩邊對(duì)稱加熱的厚為2δ的平壁非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題，用平壁的半厚度δ作為其特征長(zhǎng)度掌握特征數(shù)的定義及其物理意義是傳熱學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響

Fo數(shù)和Bi數(shù)的意義及對(duì)非穩(wěn)態(tài)過(guò)程的影響

將Fo數(shù)的定義式改寫為：式中，τ和δ2/a都具有時(shí)間的量綱——分子τ表示：邊界上發(fā)生熱擾動(dòng)時(shí)刻算起到計(jì)算時(shí)刻為止的時(shí)間——分母δ2/a表示：熱擾動(dòng)經(jīng)過(guò)一定厚度的固體層傳播到面積δ2上所需要的時(shí)間Fo數(shù)可以看成是反應(yīng)非穩(wěn)態(tài)進(jìn)程的無(wú)量綱時(shí)間。Fo數(shù)越大，邊界上的熱擾動(dòng)就能更深入地傳播到物體內(nèi)部，非穩(wěn)態(tài)過(guò)程進(jìn)行得越充分1）畢渥數(shù)的定義：畢渥數(shù)屬特征數(shù)（準(zhǔn)則數(shù)）。

2）Bi物理意義：

Bi特征數(shù)反映了內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻與外部(表面)對(duì)流傳熱熱阻的相對(duì)大小。3）特征長(zhǎng)度：是指特征數(shù)定義式中的幾何尺度。對(duì)解的討論1.Fo準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響Fo0.2時(shí)，進(jìn)入正規(guī)狀況階段，平壁內(nèi)所有各點(diǎn)過(guò)余溫度的對(duì)數(shù)都隨時(shí)間按線性規(guī)律變化，變化曲線的斜率都相等。θm/θ0隨F0增大而減小Fo<0.2時(shí)是瞬態(tài)溫度變化的初始階段，各點(diǎn)溫度變化速率不同初始階段2.Bi準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響B(tài)i（Bi=α/）表征了給定導(dǎo)熱系統(tǒng)內(nèi)的導(dǎo)熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對(duì)比關(guān)系。當(dāng)Bi時(shí)，意味著表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)α，對(duì)流換熱熱阻趨于0。平壁的表面溫度幾乎從冷卻過(guò)程一開始，就立刻降到流體溫度t。二、討論在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數(shù)的關(guān)系。

已知：平板厚、初溫、表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h、平板導(dǎo)熱系數(shù)，將其突然置于溫度為的流體中冷卻。由于單位面積導(dǎo)熱熱阻與外部對(duì)流熱阻的相對(duì)大小不同，平板中溫度場(chǎng)的變化會(huì)出現(xiàn)以下三種情形：

由于表面對(duì)流換熱熱阻幾乎可以忽略，因而過(guò)程一開始平板的表面溫度就被冷卻到。并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。（1）（3）與的數(shù)值比較接近

這時(shí)，平板中不同時(shí)刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。

這時(shí)，平板內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻幾乎可以忽略，因而任一時(shí)刻平板中各點(diǎn)的溫度接近均勻，并隨著時(shí)間的推移，整體地下降，逐漸趨近于。（2）§3.4集總參數(shù)法的簡(jiǎn)化分析

忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻、認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法。此時(shí)，，溫度分布只與時(shí)間有關(guān)，即，與空間位置無(wú)關(guān)，因此，也稱為零維問題。定義：由于物體內(nèi)溫度相差不大，而近似認(rèn)為這種非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程中物體內(nèi)的溫度分布與坐標(biāo)無(wú)關(guān)，僅隨時(shí)間變化，因此物體溫度可用任一點(diǎn)的溫度表示，而將物體的質(zhì)量和熱容量等視為集中這一點(diǎn)，這種方法——集總參數(shù)法。一、集總參數(shù)法分析

h,t∞AQcΔΕρ,c,V,t0一個(gè)集總參數(shù)系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數(shù)為h的環(huán)境中。

熱平衡關(guān)系為：內(nèi)熱能隨時(shí)間的變化率ΔΕ＝通過(guò)表面與外界交換的熱流量Qc

當(dāng)物體被冷卻時(shí)（t>t）,由能量守恒可知方程式改寫為：，則有初始條件控制方程

積分過(guò)余溫度比其中的指數(shù)：

是傅立葉數(shù)物體中的溫度呈指數(shù)分布方程中指數(shù)的量綱：即與的量綱相同，當(dāng)時(shí)，則此時(shí)，上式表明：當(dāng)傳熱時(shí)間等于時(shí)，物體的過(guò)余溫度已經(jīng)達(dá)到了初始過(guò)余溫度的36.8％。稱為時(shí)間常數(shù)，用表示。時(shí)間常數(shù)

稱為系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)，記為r，也稱弛豫時(shí)間。

如果導(dǎo)熱體的熱容量（Vc）小、換熱條件好（hA大），那么單位時(shí)間所傳遞的熱量大、導(dǎo)熱體的溫度變化快，時(shí)間常數(shù)(Vc/h

A)小熱電偶測(cè)溫時(shí)，r越小越能反映被測(cè)流體溫度的變化反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來(lái)的傳熱動(dòng)態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關(guān)，還與環(huán)境的換熱情況相關(guān)?？梢?，同一物質(zhì)不同的形狀其時(shí)間常數(shù)不同，同一物體在不同的環(huán)境下時(shí)間常數(shù)也是不相同。θ/θ0τ/τr0.386101當(dāng)物體冷卻或加熱過(guò)程所經(jīng)歷的時(shí)間等于其時(shí)間常數(shù)時(shí)，即τ=τr，τ=4τr，工程上認(rèn)為=4τr時(shí)導(dǎo)熱體已達(dá)到熱平衡狀態(tài)瞬態(tài)熱流量：導(dǎo)熱體在時(shí)間0~

內(nèi)傳給流體的總熱量：當(dāng)物體被加熱時(shí)(t<t)，計(jì)算式相同（為什么？）總熱量：物理意義無(wú)量綱熱阻無(wú)量綱時(shí)間Fo越大，熱擾動(dòng)就能越深入地傳播到物體內(nèi)部，因而，物體各點(diǎn)地溫度就越接近周圍介質(zhì)的溫度。集總參數(shù)法的判定依據(jù)

如何去判定一個(gè)任意的系統(tǒng)是集總參數(shù)系統(tǒng)？V/A具有長(zhǎng)度的因次，稱為集總參數(shù)系統(tǒng)的特征尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數(shù)系統(tǒng)，M為形狀修正系數(shù)。

采用此判據(jù)時(shí)，物體中各點(diǎn)過(guò)余溫度的差別小于5%對(duì)厚為2δ的無(wú)限大平板對(duì)半徑為R的無(wú)限長(zhǎng)圓柱對(duì)半徑為R的球是與物體幾何形狀有關(guān)的無(wú)量綱常數(shù)例題3-2將一個(gè)初始溫度為20℃、直徑為100mm的鋼球投入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)為h=50W/(m2·K)。已知鋼球的密度為7790kg/m3，比熱容為470J/(kg·K)，導(dǎo)熱系數(shù)為43.3W/(m·K)。試求鋼球中心溫度達(dá)到800℃所需要的時(shí)間。解：首先判斷能否用集總參數(shù)法求解：畢渥數(shù)為可以用集總參數(shù)法求解。

可解得Fov=83.6當(dāng)Bi0時(shí)，意味著物體的熱導(dǎo)率很大、導(dǎo)熱熱阻0（Bi=α/）。物體內(nèi)的溫度分布趨于均勻一致。可用集總參數(shù)法求解.井筒是打開油氣藏、采出油氣資源的必由通道，無(wú)論是在鉆井、注入或采出過(guò)程中，井筒內(nèi)流體的溫度變化規(guī)律始終是石油工程所關(guān)注的問題井筒內(nèi)流體的溫度變化源自地層加熱或冷卻作用

鉆井工程中：地層加熱作用使鉆井液、水泥漿的溫度在鉆進(jìn)過(guò)程中逐漸升高，特別是對(duì)深井、超深井，進(jìn)而影響到它們的性能，對(duì)鉆井過(guò)程、固井質(zhì)量產(chǎn)生影響3.5井筒周圍地層內(nèi)的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱／工程背景注蒸汽開發(fā)稠油油藏時(shí)，高溫高壓的濕蒸汽與地層間存在的熱損失使蒸汽沿井筒流動(dòng)時(shí)干度逐漸降低而影響到注汽加熱的效果采油過(guò)程中高溫產(chǎn)液在舉升因散熱使產(chǎn)液溫度降低，粘度增加，使稠油機(jī)采井的生產(chǎn)狀況惡化，能耗增加采用加熱措施（如電加熱、電伴熱、井筒熱流體循環(huán)等）開發(fā)稠油、高凝油時(shí)，都存在因地層與流體間的熱量傳遞使流體溫度發(fā)生變化而影響生產(chǎn)過(guò)程的問題地?zé)衢_發(fā)利用過(guò)程中，為計(jì)算井口處熱流體溫度，也需要計(jì)算流體在從井底沿井筒向上流動(dòng)時(shí)與地層之間的傳熱量上述各問題中：——計(jì)算目的：確定井筒內(nèi)流體溫度沿井深的變化——計(jì)算關(guān)鍵：井筒內(nèi)流體與地層之間的傳熱量——計(jì)算困難：具體的工藝不同，井筒結(jié)構(gòu)不同，井筒內(nèi)流體與地層之間的熱量傳遞過(guò)程中涉及到的熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)也不盡相同直接研究井筒內(nèi)流體與地層間的熱量傳遞過(guò)程有困難

工程上為了便于分析，通常將整個(gè)熱量傳遞過(guò)程分為：——地層內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程（簡(jiǎn)稱“地層內(nèi)”），熱量傳遞為導(dǎo)熱——井筒內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程（簡(jiǎn)稱“井筒內(nèi)”），熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)取決于具體工藝過(guò)程工藝不同，二者的分界面不同——鉆井、固井等工藝中，分界面是裸露的井壁——采油、注氣、壓裂等工藝中，分界面是水泥環(huán)外緣不同工藝中熱量傳遞過(guò)程的差別體現(xiàn)在井筒內(nèi)，而地層內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程是相同的本節(jié)主要分析地層內(nèi)的熱量傳遞過(guò)程－導(dǎo)熱過(guò)程分析井筒周圍地層內(nèi)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問題的方法很多，如理論分析法、數(shù)值分析方法等，應(yīng)用最多的是半解析法，這里主要介紹這種方法自地表至油層的井筒（這里只考慮直井）是聯(lián)系地面與油層的通道當(dāng)與地層溫度不同的流體突然通過(guò)井筒時(shí)，地層內(nèi)將會(huì)產(chǎn)生熱量傳遞過(guò)程地層通常是由致密的巖石組成，因此熱量在地層內(nèi)傳遞方式為導(dǎo)熱

物理模型井筒周圍地層內(nèi)的導(dǎo)熱過(guò)程是復(fù)雜的，體現(xiàn)在：1）自井筒向外的地層無(wú)限大，過(guò)程永遠(yuǎn)也達(dá)不到穩(wěn)定狀態(tài)2）受地質(zhì)成因與構(gòu)造的影響，自地面到油層，地層的非均質(zhì)性較強(qiáng)，相關(guān)物性是變化的3）受地核的加熱作用，地層溫度向地心方向不斷增加4）井筒結(jié)構(gòu)不同，地層和井筒的交界面不同，交界面處的邊界條件難以給出

物理模型在數(shù)千米深的地層內(nèi)全面考慮上述因素直接求解其導(dǎo)熱問題是復(fù)雜和困難的，結(jié)果也不利于工程計(jì)算實(shí)際計(jì)算時(shí)通常將井筒和地層分成若干小段，在每小段內(nèi)可做如下假設(shè)：1）地層是均質(zhì)的，各物性均為常數(shù)2）地層的初始溫度均勻，以該段中間位置處的原始地層溫度作為其初始溫度物理模型3）為了便于和井筒內(nèi)的計(jì)算相耦合，設(shè)地層和井筒的交界面處于第二類邊界條件下4）忽略周向的導(dǎo)熱5）小段內(nèi)忽略軸向?qū)?）地層內(nèi)不存在內(nèi)