大學(xué)高數(shù)吉米多維奇

PAGEPAGE162016年數(shù)學(xué)一試題分析、詳解和評(píng)注填空題：1－6小題，每小題4分，共24分.把答案填在題中橫線上.（1）【分析】本題為未定式極限的求解，利用等價(jià)無窮小代換即可.【詳解】.【評(píng)注】本題為求未定式極限的基本題型，應(yīng)充分利用等價(jià)無窮小代換來簡(jiǎn)化計(jì)算.（2）微分方程的通解是【分析】本方程為可分離變量型，先分離變量，然后兩邊積分即可【詳解】原方程等價(jià)為，兩邊積分得，整理得.（）【評(píng)注】本題屬基本題型.（3）設(shè)是錐面的下側(cè)，則.【分析】本題不是封閉曲面，首先想到加一曲面：，取上側(cè)，使構(gòu)成封閉曲面，然后利用高斯公式轉(zhuǎn)化為三重積分，再用球面（或柱面）坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】設(shè)：，取上側(cè)，則.而＝，.所以.【評(píng)注】本題屬基本題型，不論是用球面坐標(biāo)還是用柱面坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，均應(yīng)特別注意計(jì)算的準(zhǔn)確性，主要考查基本的計(jì)算能力.（4）點(diǎn)到平面的距離.【分析】本題直接利用點(diǎn)到平面距離公式進(jìn)行計(jì)算即可.其中為點(diǎn)的坐標(biāo)，為平面方程.【詳解】..【評(píng)注】本題屬基本題型，要熟記空間解析幾何中的概念和公式.（5）設(shè)矩陣，為2階單位矩陣，矩陣滿足，則2.【分析】將矩陣方程改寫為的形式，再用方陣相乘的行列式性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題設(shè)，有于是有，而，所以.【評(píng)注】本題關(guān)鍵是將其轉(zhuǎn)化為用矩陣乘積形式表示.類似題2005年考過.（6）設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，且均服從區(qū)間上的均勻分布，則.【分析】利用的獨(dú)立性及分布計(jì)算.【詳解】由題設(shè)知，具有相同的概率密度.則.【評(píng)注】本題屬幾何概型，也可如下計(jì)算，如下圖：則.二、選擇題：7－14小題，每小題4分，共32分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（7）設(shè)函數(shù)具有二階導(dǎo)數(shù)，且，為自變量在點(diǎn)處的增量，分別為在點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的增量與微分，若，則(A).(B).(C).(D).[Ａ]【分析】題設(shè)條件有明顯的幾何意義，用圖示法求解.【詳解】由知，函數(shù)單調(diào)增加，曲線凹向，作函數(shù)的圖形如右圖所示，顯然當(dāng)時(shí)，，故應(yīng)選(Ａ).【評(píng)注】對(duì)于題設(shè)條件有明顯的幾何意義或所給函數(shù)圖形容易繪出時(shí)，圖示法是求解此題的首選方法.本題還可用拉格朗日定理求解：因?yàn)椋詥握{(diào)增加，即，又，則，即.（8）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，則等于（Ａ）.（B）.(C).(D).[Ｃ]【分析】本題首先由題設(shè)畫出積分區(qū)域的圖形，然后化為直角坐標(biāo)系下累次積分即可.【詳解】由題設(shè)可知積分區(qū)域如右圖所示，顯然是型域，則原式.故選（Ｃ）.【評(píng)注】本題為基本題型，關(guān)鍵是首先畫出積分區(qū)域的圖形.（9）若級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)(A)收斂.（B）收斂.(C)收斂.(D)收斂.[Ｄ]【分析】可以通過舉反例及級(jí)數(shù)的性質(zhì)來判定.【詳解】由收斂知收斂，所以級(jí)數(shù)收斂，故應(yīng)選(Ｄ).或利用排除法：取，則可排除選項(xiàng)（Ａ），（Ｂ）；取，則可排除選項(xiàng)（Ｃ）.故（Ｄ）項(xiàng)正確.【評(píng)注】本題主要考查級(jí)數(shù)收斂的性質(zhì)和判別法，屬基本題型.（10）設(shè)均為可微函數(shù)，且，已知是在約束條件下的一個(gè)極值點(diǎn)，下列選項(xiàng)正確的是(A)若，則.(B)若，則.(C)若，則.(D)若，則.[Ｄ]【分析】利用拉格朗日函數(shù)在（是對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值）取到極值的必要條件即可.【詳解】作拉格朗日函數(shù)，并記對(duì)應(yīng)的參數(shù)的值為，則，即.消去，得,整理得.（因?yàn)椋?，若，則.故選（Ｄ）.【評(píng)注】本題考查了二元函數(shù)極值的必要條件和拉格朗日乘數(shù)法.（11）設(shè)均為維列向量，為矩陣，下列選項(xiàng)正確的是若線性相關(guān)，則線性相關(guān).若線性相關(guān)，則線性無關(guān).(C)若線性無關(guān)，則線性相關(guān).(D)若線性無關(guān)，則線性無關(guān).[C]【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性問題，利用定義或性質(zhì)進(jìn)行判定.【詳解】記，則.所以，若向量組線性相關(guān)，則，從而，向量組也線性相關(guān)，故應(yīng)選(Ａ).【評(píng)注】對(duì)于向量組的線性相關(guān)問題，可用定義，秩，也可轉(zhuǎn)化為齊次線性方程組有無非零解進(jìn)行討論.（12）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（Ａ）.（Ｂ）.（Ｃ）.（Ｄ）.［Ｂ］【分析】利用矩陣的初等變換與初等矩陣的關(guān)系以及初等矩陣的性質(zhì)可得.【詳解】由題設(shè)可得，而，則有.故應(yīng)選（Ｂ）.【評(píng)注】（１）每一個(gè)初等變換都對(duì)應(yīng)一個(gè)初等矩陣，并且對(duì)矩陣施行一個(gè)初等行（列）變換，相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣.（２）牢記三種初等矩陣的轉(zhuǎn)置和逆矩陣與初等矩陣的關(guān)系.（13）設(shè)為隨機(jī)事件，且，則必有(B)(C)(D)[B]【分析】利用事件和的運(yùn)算和條件概率的概念即可.【詳解】由題設(shè)，知，即.又.故應(yīng)選(Ｃ).【評(píng)注】本題考查隨機(jī)事件的運(yùn)算和關(guān)系的概念，應(yīng)牢記.（14）設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，服從正態(tài)分布，且則必有(B)(C)(D)[D]【分析】利用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度曲線的幾何意義可得.【詳解】由題設(shè)可得，則，即.其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù).又是單調(diào)不減函數(shù)，則，即.故選(A).【評(píng)注】對(duì)于服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，在考慮它的概率時(shí)，一般先將標(biāo)準(zhǔn)化，即.三、解答題：15－23小題，共94分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（15）（本題滿分10分）設(shè)區(qū)域，計(jì)算二重積分【分析】由于積分區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，故可先利用二重積分的對(duì)稱性結(jié)論簡(jiǎn)化所求積分，又積分區(qū)域?yàn)閳A域的一部分，則將其化為極坐標(biāo)系下累次積分即可.【詳解】積分區(qū)域如右圖所示.因?yàn)閰^(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，函數(shù)是變量的偶函數(shù)，函數(shù)是變量的奇函數(shù).則，故.【評(píng)注】只要見到積分區(qū)域具有對(duì)稱性的二重積分計(jì)算問題，就要想到考查被積函數(shù)或其代數(shù)和的每一部分是否具有奇偶性，以便簡(jiǎn)化計(jì)算.（16）（本題滿分12分）設(shè)數(shù)列滿足（Ⅰ）證明存在，并求該極限；（Ⅱ）計(jì)算.【分析】一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在.（Ⅱ）的計(jì)算需利用（Ⅰ）的結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，則.可推得，則數(shù)列有界.于是，（因當(dāng)），則有，可見數(shù)列單調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限存在.設(shè)，在兩邊令，得，解得，即.（Ⅱ）因，由（Ⅰ）知該極限為型，令，則，而，又.（利用了的麥克勞林展開式）故.【評(píng)注】對(duì)于有遞推關(guān)系的數(shù)列極限的證明問題，一般利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限準(zhǔn)則來證明.（17）（本題滿分12分）將函數(shù)展成的冪級(jí)數(shù).【分析】利用常見函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.【詳解】，比較兩邊系數(shù)可得，即.而，，故.【評(píng)注】分式函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開一般采用間接法.要熟記常用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開公式：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）.（18）（本題滿分12分）設(shè)函數(shù)在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足等式.（=1\*ROMANI）驗(yàn)證；（=2\*ROMANII）若，求函數(shù)的表達(dá)式.【分析】利用復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算方法求出代入即可得（=1\*ROMANI）.按常規(guī)方法解（=2\*ROMANII）即可.【詳解】（=1\*ROMANI）設(shè)，則.，.將代入得.（=2\*ROMANII）令，則，兩邊積分得，即，亦即.由可得.所以有，兩邊積分得，由可得，故.【評(píng)注】本題為基礎(chǔ)題型，著重考查多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及可降階方程的求解.（19）（本題滿分12分）設(shè)在上半平面內(nèi)，函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的都有.證明：對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有.【分析】利用曲線積分與路徑無關(guān)的條件.【詳解】?jī)蛇厡?duì)求導(dǎo)得.令，則.①設(shè)，則.則由①可得.故由曲線積分與路徑無關(guān)的定理可知，對(duì)內(nèi)的任意分段光滑的有向簡(jiǎn)單閉曲線，都有.【評(píng)注】本題難度較大，關(guān)鍵是如何將待求解的問題轉(zhuǎn)化為可利用已知條件的情形.（20）（本題滿分9分）已知非齊次線性方程組有3個(gè)線性無關(guān)的解.（Ⅰ）證明方程組系數(shù)矩陣的秩；（Ⅱ）求的值及方程組的通解.【分析】（=1\*ROMANI）根據(jù)系數(shù)矩陣的秩與基礎(chǔ)解系的關(guān)系證明；（=2\*ROMANII）利用初等變換求矩陣的秩確定參數(shù)，然后解方程組.【詳解】（=1\*ROMANI）設(shè)是方程組的3個(gè)線性無關(guān)的解，其中.則有.則是對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的解，且線性無關(guān).（否則，易推出線性相關(guān)，矛盾）.所以，即.又矩陣中有一個(gè)2階子式，所以.因此.（=2\*ROMANII）因?yàn)?又，則.對(duì)原方程組的增廣矩陣施行初等行變換，，故原方程組與下面的方程組同解..選為自由變量，則.故所求通解為，為任意常數(shù).【評(píng)注】本題綜合考查矩陣的秩，初等變換，方程組系數(shù)矩陣的秩和基礎(chǔ)解系的關(guān)系以及方程組求解等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，特別是第一部分比較新穎.這是考查綜合思維能力的一種重要表現(xiàn)形式，今后類似問題將會(huì)越來越多.（21）（本題滿分9分）設(shè)3階實(shí)對(duì)稱矩陣的各行元素之和均為3,向量是線性方程組的兩個(gè)解.(Ⅰ)求的特征值與特征向量；(Ⅱ)求正交矩陣和對(duì)角矩陣,使得.【分析】由矩陣的各行元素之和均為3及矩陣乘法可得矩陣的一個(gè)特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；由齊次線性方程組有非零解可知必有零特征值，其非零解是0特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量.將的線性無關(guān)的特征向量正交化可得正交矩陣.【詳解】(Ⅰ)因?yàn)榫仃嚨母餍性刂途鶠?，所以，則由特征值和特征向量的定義知，是矩陣的特征值，是對(duì)應(yīng)的特征向量.對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中為不為零的常數(shù).又由題設(shè)知，即，而且線性無關(guān)，所以是矩陣的二重特征值，是其對(duì)應(yīng)的特征向量，對(duì)應(yīng)的全部特征向量為，其中為不全為零的常數(shù).(Ⅱ)因?yàn)槭菍?shí)對(duì)稱矩陣，所以與正交，所以只需將正交.取，.再將單位化，得，令，則，由是實(shí)對(duì)稱矩陣必可相似對(duì)角化，得.【評(píng)注】本題主要考查求抽象矩陣的特征值和特征向量，此類問題一般用定義求解，則要想方設(shè)法將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為的形式.（22）（本題滿分9分）設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為，令為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù).(Ⅰ)求的概率密度(Ⅱ).【分析】求一維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度一般先求分布，然后求導(dǎo)得相應(yīng)的概率密度或利用公式計(jì)算.【詳解】（=1\*ROMANI）設(shè)的分布函數(shù)為，即，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)，.所以