第九章歐氏空間

第九章

歐氏空間內(nèi)容摘要1

內(nèi)積和歐幾里得空間(1)

設(shè)V

是實(shí)數(shù)域R上一個(gè)線性空間，如果對(duì)V中任意兩個(gè)元素,有一個(gè)確定的實(shí)數(shù)(,)與它們對(duì)應(yīng)，且滿足：1)

(,)=

(

,

)；2)

(k,)=k(,)；3)

(+,)=

(

,

)+(

,

)；4)

(,

)0，當(dāng)且僅當(dāng)

=0時(shí)(,

)=0.則稱(,)為與的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的實(shí)線性空間稱為歐幾里得空間，簡稱為歐氏空間.(,

)=a1b1+a2b2+…+anbn=T.(2)

一些常見的歐氏空間：

1)Rn——對(duì)于實(shí)向量

=(a1,a2,…,an),

=(b1,b2,…,bn),內(nèi)積為

2)Rs×n——對(duì)于實(shí)矩陣A=(aij)s×n,B=(bij)s×n,內(nèi)積為

3)P[x]——對(duì)于實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式f(x),g(x),內(nèi)積為(3)

內(nèi)積具有如下性質(zhì)：

設(shè)V是歐氏空間，

,,

,

i,j

V;k,ki,liR,則

1

)

(,k)=

(k,)=

k(

,

)=

k(,

)；2

)

(,+)=

(+,)=

(

,

)+(,)=

(

,

)+(,).3

)

(,0

)=

(0

,)=

0；5

)

|(,

)||||

|，當(dāng)且僅當(dāng),線性相關(guān)時(shí)，等號(hào)才成立.

2

長度、夾角與正交(1)設(shè)V是歐氏空間，對(duì)任意V，非負(fù)實(shí)數(shù)稱為向量的長度，記為||.即，長度為1的向量稱為單位向量.如果≠0，則是單位向量，稱為將單位化.(2)非零向量,的夾角<,>規(guī)定為(3)如果向量,的內(nèi)積為零，即(,)=0，那么,稱為正交或互相垂直，記為

.(4)長度具有如下性質(zhì)(設(shè)V是歐氏空間，

,V;kR)：1)(非負(fù)性)||≥0，當(dāng)且僅當(dāng)=0時(shí)||=0；2)(齊次性)|k|=|k|||；3)(三角不等式)|+|||+|

|.(5)正交向量組的性質(zhì)(設(shè)V是歐氏空間，

,,iV)：1)當(dāng)

時(shí),|+

|2=|

|2+|

|2；2)如果1,2,…,s兩兩正交,則|1+2+…+s

|2=|1

|2+|2

|2+…+|s

|2

；3)兩兩正交的非零向量組是線性無關(guān)的.3

度量矩陣(1)設(shè)V是n維歐氏空間，1,2,…,n是

V

的一組基，稱矩陣為基1,2,…,n的度量矩陣.(2)度量矩陣有如下的性質(zhì)：1)設(shè),V在基1,2,…,n下的坐標(biāo)分別為x=(x1,

x2,…,

xn)T，y=(y1,

y2,…,

yn)T，則(,)=xTAy

，其中A是基1,2,…,n的度量矩陣，這表明任意兩個(gè)向量的內(nèi)積可以通過坐標(biāo)和度量矩陣的乘積表示出來，即度量矩陣完全確定了內(nèi)積；2)基的度量矩陣是對(duì)稱正定的；3)設(shè)1,2,…,n是歐氏空間V的另外一組基，而由1,2,…,n到1,2,…,n的過渡矩陣為C,

即(1,2,…,n)=(1,2,…,n)C.則基1,2,…,n的度量矩陣A和基

1,2,…,n的度量矩陣B滿足B=CTAC，即不同基的度量矩陣是合同的，且合同變換矩陣是兩組基之間的過渡矩陣.4

標(biāo)準(zhǔn)正交基(1)設(shè)1,2,…,n是

n維歐氏空間V

的一組基，如果它們兩兩正交，則稱之為V的正交基；由單位向量組組成的正交基稱為標(biāo)準(zhǔn)正交基.(2)n維歐氏空間V必存在正交基與標(biāo)準(zhǔn)正交基.對(duì)n維歐氏空間V的任一組基

1,2,…,n都可以用施密特(Schmidt)正交化過程化為正交基1,2,…,n.施密特正交化過程如下：如果再把每個(gè)i單位化，即得到V的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.(3)標(biāo)準(zhǔn)正交基的有關(guān)結(jié)果如下：設(shè)V是n維歐氏空間，1,2,…,n是

V

的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則1)標(biāo)準(zhǔn)正交基的度量矩陣是單位矩陣；2)設(shè),V，且,在基1,2,…,n下的坐標(biāo)分別為x=(x1,

x2,…,

xn)T，y=(y1,

y2,…,

yn)T，則(,)=x1y1+

x2

y2+…+

xn

yn=xTy

3)V中任一向量在基1,2,…,n下的坐標(biāo)為((,1

),

(,2

),…,

(,n

))T.

4)由標(biāo)準(zhǔn)正交基到標(biāo)準(zhǔn)正交基的過渡矩陣是正交矩陣(即滿足ATA=E的n級(jí)實(shí)矩陣).

又若兩組基之間的過渡矩陣是正交矩陣，且其中一組基是標(biāo)準(zhǔn)正交基，則另一組基也是標(biāo)準(zhǔn)正交基.5

正交矩陣(1)如果n級(jí)實(shí)矩陣A滿足ATA=E(或AAT=E,或A-1A=E),則稱A為正交矩陣.(2)正交矩陣具有如下性質(zhì)：1)如果A是正交矩陣，則|A|=±1；2)如果A是正交矩陣，則AT，A-1，A*，Ak均是正交矩陣；而lA是正交矩陣的充要條件是l=±1；3)如果A,B是n級(jí)正交矩陣，則AB也是正交矩陣；4)n級(jí)實(shí)矩陣A是正交矩陣的充要條件是A的n個(gè)列(或行)向量是兩兩正交的單位向量.(1)

設(shè)V與V是兩個(gè)歐氏空間，如果存在由V到V有一個(gè)雙射,且對(duì)任意

,V;kR有1)

(+

)=(

)+(

)；2)

(k

)=k(

),則稱是

V到V的同構(gòu)映射，此時(shí)稱V與V同構(gòu).6歐氏空間的同構(gòu)3)

((),

(

))=(,

).(2)同構(gòu)歐氏空間的有關(guān)結(jié)論如下：1)同構(gòu)的歐氏空間具有反身性、對(duì)稱性與傳遞性;3)

兩個(gè)有限維歐氏空間同構(gòu)的充分必要條件是它們有相同的維數(shù).2)任一個(gè)n維歐氏空間都與Rn同構(gòu);7正交變換(1)

歐氏空間V的線性變換/A稱為正交變換，如果它保持向量的內(nèi)積不變，即對(duì)于任意的,V，都有(/A,/A

)=(,

).(2)設(shè)/A是n維歐氏空間V的一個(gè)線性變換，于是下面四個(gè)命題是相互等價(jià)的：1)

/A是正交變換；

2)

/A保持向量的長度不變，即對(duì)于V，|/A|=||；

3)

如果1,2,…,n

是標(biāo)準(zhǔn)正交基，那么/A1,/A2,…,/An也是標(biāo)準(zhǔn)正交基;4)

/A在任一組標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣.8正交子空間與正交補(bǔ)(1)

設(shè)V1,V2是歐氏空間V中兩個(gè)子空間，如果對(duì)于任意的V1，V2，

恒有(,)

=0.

則稱V1,V2為正交的，記為V1

V2.一個(gè)向量，如果對(duì)于任意的V1，恒有(,)

=0.

則稱與子空間V1正交，記為

V1.如果V1

V2，且V=V1

+

V2，則稱V2為V1的正交補(bǔ)，記為V1.(2)正交子空間有下列結(jié)果：1)設(shè)V是歐氏空間，,i,j

V，則

L(1,2,…,t)

等價(jià)于

j(j=1,2,...,t);

L(1,2,…,s)

L(1,2,…,t)等價(jià)于i

j(i=1,2,...,s;j=1,2,...,t).2)如果歐氏空間V的子空間

V1,V2,…,Vs

兩兩正交，則V1+V2+…+Vs

是直和.3)

n維歐氏空間V的每一個(gè)子空間V1都有唯一的正交補(bǔ).且V1恰由所有與V1

正交的向量組成.4)在n維歐氏空間V的子空間W中取一組正交基(或標(biāo)準(zhǔn)正交基)1,2,…,r(0<r<n)，將其擴(kuò)充成V的正交基(或標(biāo)準(zhǔn)正交基)1,2,…,r,r+1,…,n，則W=L(r+1,…,n)

.5)設(shè)W是歐氏空間V的子空間，則維(V)=維(W)+維(W).9實(shí)對(duì)稱矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形(1)實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).(2)實(shí)對(duì)稱矩陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量必正交.(3)對(duì)于任意一個(gè)n級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣A，都存在一個(gè)n級(jí)正交矩陣T，使得T'AT=T-1AT為對(duì)角矩陣.(4)實(shí)對(duì)稱矩陣正交相似于對(duì)角矩陣的計(jì)算：第一步求實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量.設(shè)1,2,...,s是A的全部互異特征值，其重?cái)?shù)分別為r1,r2,...,rs，且r1+r2+...+rs=n.又設(shè)對(duì)應(yīng)特征值i的ri個(gè)線性無關(guān)的特征向量為第二步如果ri>1，將對(duì)應(yīng)i的特征向量用施密特正交化過程正交化，再單位化得如果ri=1，直接將pi1單位化得qi1.第三步構(gòu)造正交矩陣則有：10對(duì)稱變換(1)設(shè)V是歐氏空間，/A為V的線性變換，如果對(duì)任意

,