2020年湖南衡陽數學中考及答案

湖南省衡陽市2020年中考數學試題一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，滿分36分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.－3相反數是（）A.3 B.－3 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據相反數的定義可得答案．【詳解】解：的相反數是故選A．【點睛】本題考查的是相反數的定義，掌握相反數的定義是解題的關鍵．2.下列各式中，計算正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據合并同類項法則，冪的乘方法則、同底數冪的乘方法則依次判斷即可【詳解】A．和不是同類項，不能合并，此選項錯誤；B．和不是同類項，不能合并，此選項錯誤；C．，此選項錯誤；D．，此選項正確，故選：D．【點睛】本題考查同類項合并、同底數冪的乘法、冪的乘方，根據法則計算是解答的關鍵．3.2019年12月12日，國務院新聞辦公室發(fā)布，南水北調工程全面通水5周年來，直接受益人口超過1.2億人，其中1.2億用科學記數法表示為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】科學記數法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值＜1時，n是負數．【詳解】1.2億=120000000=1.2×108．

故選：A．【點睛】本題考查了科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4.下列各式中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據絕對值、算術平方根、立方根、零次冪的知識對逐項排除即可．【詳解】解：A.，故A選項錯誤；B.，故B選項錯誤；C，故B選項錯誤；D.，故D選項正確．故選：D．【點睛】本題考查了絕對值、算術平方根、立方根、零次冪的相關知識，掌握這些基礎知識是解答本題的關鍵．5.下面的圖形是用數學家名字命名的，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據把一個圖形繞某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做對稱中心；如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸進行分析即可．【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤；B、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；C、是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項正確；D、不是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；故選：C．【點睛】此題主要考查了軸對稱圖形和中心對稱圖形，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后兩部分重合．6.要使分式有意義，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據分式有意義的條件即可解答．【詳解】根據題意可知，，即．故選：B．【點睛】本題考查了分式有意義的條件，熟知分式有意義，分母不為0是解決問題的關鍵．7.如圖,在四邊形ABCD中,AC與BD相交于點O,下列條件不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）A.AB∥DC,AB=DC B.AB=DC,AD=BCC.AB∥DC,AD=BC D.OA=OC,OB=OD【答案】C【解析】【分析】根據平行四邊形的判定方法逐項分析即可.【詳解】A.∵AB∥DC,AB=DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；B.∵AB=DC,AD=BC，∴四邊形ABCD平行四邊形；C.等腰梯形ABCD滿足AB∥DC,AD=BC，但四邊形ABCD是平行四邊形；D.OA=OC,OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形；故選C.【點睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，平行四邊形的判定方法有：①兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；②一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；③兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；④對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；⑤.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形.8.下列不是三棱柱展開圖的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據三棱柱的兩底展開是三角形，側面展開是三個四邊形，可得答案．【詳解】解：A、B、D中間三個長方形能圍成三棱柱的側面，兩個三角形圍成三棱柱的上、下兩底面，故均能圍成三棱柱，均是三棱柱的表面展開圖．C圍成三棱柱時，兩個三角形重合為同一底面，而另一底面沒有．故C不能圍成三棱柱．故選C．【點睛】本題考查了幾何體的展開圖，注意兩底面是對面，展開是兩個全等的三角形，側面展開是三個矩形．9.不等式組的解集在數軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】首先解不等式組，然后在數軸上表示出來即可判斷．【詳解】解：，解①得：x≤1，解②得：x＞-2，則不等式組的解集是：?2＜x≤1．在數軸上表示為：故選：C．【點睛】本題考查一元一次不等式組的解集和在數軸上表示解集，分別求出每個不等式的解，根據“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了”找出解集．在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．10.反比例函數經過點，則下列說法錯誤的是（）A. B.函數圖象分布在第一、三象限C.當時，隨的增大而增大 D.當時，隨的增大而減小【答案】C【解析】【分析】將點（2,1）代入中求出k值，再根據反比例函數的性質對四個選項逐一分析即可．【詳解】將點（2,1）代入中，解得：k=2，A．k=2，此說法正確，不符合題意；B．k=2﹥0,反比例函數圖象分布在第一、三象限，此書說法正確，不符合題意；C．k=2﹥0且x﹥0，函數圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法錯誤，符合題意；D．k=2﹥0且x﹥0，函數圖象位于第一象限，且y隨x的增大而減小，此說法正確，不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了反比例函數的性質，熟練掌握反比例函數的性質，理解函數圖象上的點與解析式的關系是解答的關鍵．11.如圖，學校課外生物小組的試驗園地的形狀是長35米、寬20米的矩形．為便于管理，要在中間開辟一橫兩縱共三條等寬的小道，使種植面積為600平方米，則小道的寬為多少米？若設小道的寬為米，則根據題意，列方程為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】把陰影部分分別移到矩形的上邊和左邊，可得種植面積為一個矩形，根據種植的面積為600列出方程即可．【詳解】解：如圖，設小道的寬為，則種植部分的長為，寬為由題意得：．故選C．【點睛】考查一元二次方程的應用；利用平移的知識得到種植面積的形狀是解決本題的突破點；得到種植面積的長與寬是解決本題的關鍵．12.如圖1，在平面直角坐標系中，在第一象限，且軸．直線從原點出發(fā)沿軸正方向平移．在平移過程中，直線被截得的線段長度與直線在軸上平移的距離的函數圖象如圖2所示．那么的面積為（）A.3 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】根據圖象可以得到當移動的距離是4時，直線經過點A；當移動距離是6時，直線經過B，在移動距離是7時經過D，則AD=7-4=3，當直線經過D點，設交BC與N.則DN=2，作DM⊥AB于點M.利用三角函數即可求得DM即平行四邊形的高，然后利用平行四邊形的面積公式即可求解．【詳解】解：根據圖象可以得到當移動的距離是4時，直線經過點A當移動距離是6時，直線經過B當移動距離是7時經過D，則AD=7-4=3如圖：設交BC與N，則DN=2，作DM⊥AB于點M，∵移動直線為y=x∴∠NDM=45°∴DM=cos∠NDM·ND=∴的面積為AD×DM=3×=3．故答案為B．【點睛】本題考查了平移變換、解直角三角形等知識，其中根據平移變換確定AD的長是解答本題的關鍵．二、填空題（本大題共6個小題，每小題3分，滿分18分．）13.因式分解：__________．【答案】a(a+1)【解析】【分析】提取a即可因式分解.【詳解】a(a+1)故填：a(a+1).【點睛】此題主要考查因式分解，解題的關鍵是熟知提取公因式法因式分解.14.計算：_________．【答案】1【解析】【分析】根據分式的四則混合運算法則計算即可．【詳解】解：．故答案為1．【點睛】本題考查了分式的四則混合運算的法則，掌握分式四則混合運算法則是解答本題的關鍵．15.已知一個邊形的每一個外角都為30°，則等于_________．【答案】12【解析】【分析】根據多邊形的外角和是360°求出多邊形的邊數即可．【詳解】解：360°÷30°=12．故答案為12．【點睛】本題考查了多邊形外角和特征，掌握多邊形外角和為360°是解答本題的關鍵．16.一副三角板如圖擺放，且，則∠1的度數為_________．【答案】【解析】【分析】如圖，把頂點標注字母，由平行線的性質求解,再利用三角形的外角的性質可得答案．【詳解】解：如圖，把頂點標注字母，故答案為：【點睛】本題考查的是平行線的性質，三角形的外角的性質，掌握以上知識是解題的關鍵．17.某班有52名學生，其中男生人數是女生人數的2倍少17人，則女生有_________名．【答案】23【解析】【分析】關系式為：男生人數+女生人數=52，男生人數=2×女生人數-17．把相關數值代入即可求解．【詳解】設男生人數為x人，女生人數為y人．由此可得方程組．解得，所以，男生有29人，女生有23人，

故答案為：23．【點睛】本題考查了由實際問題抽象二元一次方程組的知識，解答本題的關鍵是仔細審題得到等量關系，根據等量關系建立方程．18.如圖，在平面直角坐標系中，點的坐標，將線段繞點按順時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為的2倍，得到線段；又將線段繞點按順時針方向旋轉45°，長度伸長為的2倍，得到線段；如此下去，得到線段、，……，（為正整數），則點的坐標是_________．【答案】（0，-22019）【解析】【分析】根據題意得出OP1=1，OP2=2，OP3=4，如此下去，得到線段OP3=4=22，OP4=8=23…，OPn=2n-1，再利用旋轉角度得出點P2020的坐標與點P4的坐標在同一直線上，進而得出答案．【詳解】解：∵點P1的坐標為，將線段OP1繞點O按順時針方向旋轉45°，再將其長度伸長為OP1的2倍，得到線段OP1；∴OP1=1，OP2=2，∴OP3=4，如此下去，得到線段OP4=23，OP5=24…，∴OPn=2n-1，由題意可得出線段每旋轉8次旋轉一周，∵2020÷8=252…4，∴點P2020的坐標與點P4的坐標在同一直線上，正好在y軸負半軸上，∴點P2020的坐標是（0，-22019）．故答案為：（0，-22019）．【點睛】此題主要考查了點的變化規(guī)律，根據題意得出點P2014的坐標與點P6的坐標在同一直線上是解題關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，19~20題每題6分，21-24題每題8分，25題10分，26題12分，滿分66分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）19.化簡：．【答案】【解析】【分析】根據整式的四則混合運算法則以及平方差公式解答即可．【詳解】解：==．【點睛】本題考查了整式的四則混合運算、平方差公式等知識，靈活運用整式的四則混合運算法則是解答本題的關鍵．20.一個不透明的盒子里裝有除顏色外其余均相同的2個黑球和個白球，攪勻后從盒子里隨機摸出一個球，摸到白球的概率為．（1）求的值；（2）所有球放入盒中，攪勻后隨機從中摸出1個球，放回攪勻，再隨機摸出第2個球，求兩次摸球摸到一個白球和一個黑球的概率，請用畫樹狀圖或列表的方法進行說明．【答案】（1）1；（2）．【解析】【分析】（1）根據概率公式列方程求解即可；（2）先畫出樹狀圖確定所有情況數和所求情況數，然后再運用概率公式求解即可．【詳解】解：（1）由題意得，解得n=1；（2）根據題意畫出樹狀圖如下：所以共有9種情況，其中兩次摸球摸到一個白球和一個黑球有4種情況，則兩次摸球摸到一個白球和一個黑球的概率．【點睛】本題考查了概率公式的運用和利用樹狀圖求概率，根據概率公式列方程和正確畫出樹狀圖是解答本題的關鍵．21.如圖，在中，，過的中點作，，垂足分別為點、．（1）求證：；（2）若，求的度數．【答案】（1）證明見解析；（2）=80°【解析】【分析】（1）利用已知條件和等腰三角形的性質證明，根據全等三角形的性質即可證明；（2）根據三角形內角和定理得∠B=50°，所以∠C=50°，在△ABC中利用三角形內角和定理即可求解．【詳解】解：（1）證明：∵點D為BC的中點，∴BD=CD，∵，，∴∠DEB=∠DFC=90°在△BDE和△CDF中，∴，∴．（2）∵∴∠B=180°-（∠BDE+∠BED）=50°，∴∠C=50°，在△ABC中，=180°-（∠B+∠C）=80°，故=80°．【點睛】本題考查等腰三角形的性質、全等三角形的判定與性質和三角形內角和定理，熟練掌握等腰三角形的性質并靈活應用是解題的關鍵．22.病毒雖無情，人間有大愛．2020年，在湖北省抗擊新冠病毒的戰(zhàn)“疫”中，全國（除湖北省外）共有30個省（區(qū)、市）及軍隊的醫(yī)務人員在黨中央全面部署下，白衣執(zhí)甲，前赴后繼支援湖北?。珖?0個?。▍^(qū)、市）各派出支援武漢的醫(yī)務人員頻數分布直方圖（不完整）和扇形統計圖如下：（數據分成6組：，，，，，．）根據以上信息回答問題：（1）補全頻數分布直方圖．（2）求扇形統計圖中派出人數大于等于100小于500所占圓心角度數．據新華網報道在支援湖北省的醫(yī)務人員大軍中，有“90后”也有“00后”，他們是青春的力量，時代的脊梁．小華在收集支援湖北省抗疫宣傳資料時得到這樣一組有關“90后”醫(yī)務人員的數據：市派出的1614名醫(yī)護人員中有404人是“90后”；市派出的338名醫(yī)護人員中有103人是“90后”；市某醫(yī)院派出的148名醫(yī)護人員中有83人是“90后”．（3）請你根據小華得到的這些數據估計在支援湖北省的全體醫(yī)務人員（按4.2萬人計）中，“90后”大約有多少萬人？（寫出計算過程，結果精確到0.1萬人）【答案】（1）補圖見解析；（2）；（3）1.2萬人．【解析】【分析】（1）根據總數等于各組頻數之和即可求出“”組得頻數，進而補全頻數分布直方圖；（2）由頻數直方圖可得“”的頻數為3，再將360°乘以該組所占比例即可；（3）根據樣本估計總體，可得到90后”大約有1.2萬人．【詳解】解：（1）“”組得頻數為：30-3-10-10-2-1=4，補全頻數分布直方圖如圖．（2）由頻數直方圖可知支援武漢的醫(yī)務人員在“”之間的有3個，所占百分比為：，故其所占圓心角度數=．（3）支援湖北省的全體醫(yī)務人員“90后”大約有（萬人），故：支援湖北省的全體醫(yī)務人員“90后”大約有1.萬人．【點睛】本題考查了頻數（率）分布直方圖和扇形統計圖的綜合運用及樣本估計總體．讀懂統計圖，從不同的統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．頻數分布直方圖可以清楚地看出落在各組的頻數，各組的頻數和等于總數．23.小華同學將筆記本電腦水平放置在桌子上，當是示屏的邊緣線與底板的邊緣線所在水平線的夾角為120°時，感覺最舒適（如圖①）．側面示意圖為圖②；使用時為了散熱，他在底板下面墊入散熱架，如圖③，點、、在同一直線上，，，．（1）求的長；（2）如圖④，墊入散熱架后，要使顯示屏的邊緣線與水平線的夾角仍保持120°，求點到的距離．（結果保留根號）【答案】（1）12cm；（2）點到的距離為（12+12）cm．【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中，由30度角所對的直角邊長度是斜邊的一半求解即可；（2）過點O作OM∥AC，過點B′作B′E⊥AC交AC的延長線于點E，交OM于點D，B′E即為點到的距離，根據題意求出∠OB′D=30°，四邊形OCED為矩形，根據B′E=B′D+DE求解即可．【詳解】解：（1）∵，，∴．即OC的長度為12cm．（2）如圖，過點O作OM∥AC，過點B′作B′E⊥AC交AC的延長線于點E，交OM于點D，B′E即為點到的距離，∵OM∥AC，B′E⊥AC，∴B′E⊥OD，∵MN∥AC，∴∠NOA=∠OAC=30°，∵∠AOB=120°，∴∠NOB=90°，∵∠NOB′=120°，∴∠BOB′=120°-90°=30°，∵BC⊥AC，B′E⊥AE，MN∥AE，∴BC∥B′E，四邊形OCED矩形，∴∠OB′D=∠BOB′=30°，DE=OC=12cm，在Rt△B′OD中，∵∠OB′D=30°，B′O=BO=24cm，∴B′D=，B′E=B′D+DE=，答：點到的距離為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用、矩形的判定和性質和直角三角形中30度角所對的直角邊長度是斜邊的一半，解題的關鍵是靈活應用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．24.如圖，在中，，平分交于點，過點和點的圓，圓心在線段上，交于點，交于點．（1）判斷與的位置關系，并說明理由；（2）若，，求長．【答案】（1）與相切．證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）利用角平分線的定義證明結合等腰三角形的性質證明從而證明結合可得答案；（2）連接，先利用勾股定理求解的長，再證明利用相似三角形的性質列方程組求解即可得到答案．【詳解】解：（1）與相切．理由如下：如圖，連接，平分，在上，是的切線．（2）連接為的直徑，，，解得：所以：的長為：【點睛】本題考查的切線的判定與性質，圓的基本性質，圓周角定理，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．25.在平面直角坐標系中，關于的二次函數的圖象過點，．（1）求這個二次函數的表達式；（2）求當時，的最大值與最小值的差；（3）一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別是和，且，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】【分析】（1）利用待定系數法將點，代入解析式中解方程組即可；（2）根據（1）中函數關系式得到對稱軸，從而知在中，當x=-2時，y有最大值，當時，y有最小值，求之相減即可；（3）根據兩函數相交可得出x與m的函數關系式，根據有兩個交點可得出>0，根據根與系數的關系可得出a，b的值，然后根據，整理得出m的取值范圍．【詳解】解：（1）∵的圖象過點，，∴解得∴（2）由（1）得，二次函數對稱軸為∴當時，y的最大值為(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值為∴的最大值與最小值的差為；（3）由題意及（1）得整理得即∵一次函數的圖象與二次函數的圖象交點的橫坐標分別是和，∴化簡得即解得m≠5∴a，b為方程的兩個解又∵∴a=-1，b=4-m即4-m>3∴m<1綜上所述，m的取值范圍為．【點睛】本題考查了利用待定系數法求二次函數解析式，二次函數圖象的性質，根與系數的關系等知識．解題的關鍵是熟記二次函數圖象的性質．26.如圖1，平面直角坐標系中，等腰的底邊在軸上，，頂點在的正半軸上，，一動點從出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿向左運動，到達的中點停止．另一動點從點出發(fā)，以相同的速度沿向左運動，到達點停止．已知點、同時出發(fā)，以為邊作正方形，使正方形和在的同側．設運動的時間為秒（）．（1）當點落在邊上時，求的值；（2）設正方形與重疊面積為，請問是存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，取的中點，連結，當點、開始運動時，點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿運動，到達點停止運動．請問在點的整個運動過程中，點可能在正方形內（含邊界）嗎？如果可能，求出點在正方形內（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由．【答案】（1）t=1；（2）存在，，理由見解析；（3）可能，或或理由見解析【解析】【分析】（1）用待定系數法求出直線AC的解析式，根據題意用t表示出點H的坐標，代入求解即可；（2）根據已知，當點F運動到點O停止運動前，重疊最大面積是邊長為1的正方形的面積，即不存在t，使重疊面積為，故t﹥4,用待定系數法求出直線AB的解析式，求出點H落在BC邊上時的t值，求出此時重疊面積為﹤，進一步求出重疊面積關于t的表達式，代入解t的方程即可解得t值；（3）由已知求得點D（2，1），AC=，OD=OC=OA=,結合圖形分情況討論