第五章 利率期限結(jié)構(gòu)

第五章利率期限結(jié)構(gòu)利率期限結(jié)構(gòu)概覽收益率曲線的認(rèn)識：依據(jù)不同期限的金融工具的到期收益率高低繪制的圖形（衡量到期收益率與到期期限之間的變化關(guān)系。不同類型的債券都有自身的到期收益率曲線，其中無風(fēng)險(xiǎn)零息債券的到期收益率曲線最為重要。通常意義上的到期收益率曲線專指不同期限的零息債券的到期收益率曲線，又稱為即期利率（SpotRate）曲線或利率期限結(jié)構(gòu)（TermStructureofInterestRates）。在美國等國家的金融市場上，到期收益率曲線通常以當(dāng)期新發(fā)（on-the-run）國債的拍賣利率（即期利率）為基礎(chǔ)，通過插值法等算出相應(yīng)年份的即期利率，從而繪制出收益率曲線。利率期限結(jié)構(gòu)概覽利率期限結(jié)構(gòu)的基本作用為其他債券定價(jià)給無風(fēng)險(xiǎn)的其他證券定價(jià)給有風(fēng)險(xiǎn)的其他證券定價(jià)給固定收益證券的衍生產(chǎn)品定價(jià)尋找套利機(jī)會預(yù)測未來即期利率利率期限結(jié)構(gòu)的理論解釋傳統(tǒng)理論市場分割理論純預(yù)期理論/無偏預(yù)期理論流動偏好理論期限偏好理論市場分割理論該理論認(rèn)為：不同的金融工具和市場體之間是不完全流動的，相互間因制度、空間、信息流等的限制而存在一定程度的分隔，從而并不存在一個統(tǒng)一的、相互完全一致的市場收益率。市場上任何期限的債券與其他期限的債券是完全分隔的，任何期限債券的利率僅由該期限債券的供求因素決定，很少受其他期限債券的影響，即短期利率僅由短期資金的供求決定，長期利率僅由長期資金的供求決定。利率反轉(zhuǎn)效應(yīng)的解釋純預(yù)期理論純預(yù)期理論認(rèn)為即期利率已經(jīng)對未來可能出現(xiàn)的任何情況做出客觀的、完全的預(yù)期。即若投資者預(yù)期未來的短期利率會上升，那么長期利率就會高于短期利率，此時收益率曲線就會向上傾斜；若投資者預(yù)期未來的短期利率會下降，那么長期利率就會低于短期利率，這時收益率曲線就會向下傾斜；若預(yù)期未來的短期利率會保持不變，那么收益率曲線就會保持水平。定價(jià)均衡時，該理論相信持有至到期策略得到的預(yù)期收益等于滾動策略得到的預(yù)期收益，即目前進(jìn)行一個較長時期的投資結(jié)果，與進(jìn)行多個期限的滾動投資收益相同。純預(yù)期理論純預(yù)期理論的出發(fā)點(diǎn)，是長期證券的到期收益率等于當(dāng)期短期利率以及預(yù)期短期利率的幾何平均。這也意味著到期收益曲線所暗含的遠(yuǎn)期利率等于未來該時段的即期利率。該理論基于以下假定：市場上的各種證券均沒有違約風(fēng)險(xiǎn)；所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中立者，并且以利潤最大化原則/不考慮風(fēng)險(xiǎn)；證券買賣沒有交易成本；投資者都能準(zhǔn)確預(yù)測未來的利率/即預(yù)期都可以實(shí)現(xiàn)；投資者對證券不存在期限偏好/不同期限的證券之間可以互換替代純預(yù)期理論認(rèn)為：在一定的持有期間內(nèi)，持有人投資任何證券都會獲得相同的收益，而與證券的期限無關(guān)。純預(yù)期理論

例:某投資者擬進(jìn)行一個兩年期的投資，以下幾種投資方案給投資者將帶來相同的預(yù)期收益：方案1：先購買1年期證券，到期后再投資于另一個1年期證券并持有至到期；方案2：直接購買一個2年期證券；方案3：購買一個5年期證券，在第2年末賣出。純預(yù)期理論應(yīng)用：“無套利”總收益思路：利用到期收益曲線所暗含的遠(yuǎn)期利率來估計(jì)總收益。純預(yù)期理論例：資于3年期，票面利率6%（半年付息）的債券，價(jià)格為947.58元（其面值為1000元），給定市場利率期限結(jié)構(gòu)，如下表第2列所示。若投資者計(jì)劃1年后售出該債券，那么投資者期望的無套利總收益是多少呢？

時點(diǎn)即期收益率曲線單期遠(yuǎn)期利率

16.50%6.50%27.00%7.50%37.40%8.20%48.00%9.81%58.40%10.01%68.60%9.60%表：市場上的利率期限結(jié)構(gòu)（6個月，有效利率）解答：第一步，求解債券的到期收益率第二步，估算債券在第1年末的價(jià)值，將投資者收益分解為三部分，即資本利得、利息、利息的利息。1年后債券的價(jià)值應(yīng)當(dāng)為第3期至第6期不同時點(diǎn)的現(xiàn)金流在時點(diǎn)2的現(xiàn)值:

投資者預(yù)期資本利得為-8.07元，即：

（元）利息及利息的利息為61.125元，即（元）投資者1年末的總預(yù)期收益為53.055元，即進(jìn)一步的，投資者持有期間收益率為：

持有期收益率低于8%的到期收益率很多，為什么?前期的再投資收益率較低預(yù)期理論與經(jīng)濟(jì)周期分析觀察在經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張一開始，到期收益曲線斜率趨于增大，而在經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張的末尾到期收益曲線斜率趨于降低需求方在擴(kuò)張期投資大，貨幣需求的期望增大，促使真實(shí)利率抬高如果預(yù)期經(jīng)濟(jì)走向低谷，預(yù)期遠(yuǎn)期利率下降，因?yàn)橥顿Y需求將趨緩。供給方人們更愿意均衡消費(fèi)。如果預(yù)期經(jīng)濟(jì)衰退，人們將更不愿意花錢，這也促使利率走低。流動偏好理論又稱為流動性升水理論（liquiditypremiumtheory），該理論基本上承認(rèn)利率期限結(jié)構(gòu)的純預(yù)期理論，但對它有一個重大的修正，該理論認(rèn)為長期債券比短期債券的流動性差，必須要給予投資者更高的期望收益才能使他們愿意持有長期債券。換言之，期限較長的利率，一定會高于期限較短的利率，因?yàn)檩^長的期限要求較高的流動性溢價(jià)。流動偏好理論即期利率期限收益曲線流動性升水到期收益率流動性偏好理論對收益曲線的解釋期限偏好理論該理論認(rèn)為投資者對特定期限都有很強(qiáng)的偏好，因而收益曲線不會嚴(yán)格地服從純預(yù)期理論和流動性偏好理論的預(yù)測。投資者有如此特定期限的偏好是由于在債券投資過程中，投資者的資產(chǎn)周期和負(fù)債周期有效匹配會使其處于最低風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)。如銀行和貨幣市場基金一般購買短期債券，而人壽保險(xiǎn)公司則偏好于購買長期債券投資者雖對投資期限有一定的偏好，但若預(yù)期收益之間的差別特別大，他們也會改變偏好期限偏好理論以實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償觀念為基礎(chǔ)，即投資者為預(yù)期的額外收益而承擔(dān)額外的風(fēng)險(xiǎn)。在接受市場分隔理論和純預(yù)期理論部分觀點(diǎn)的同時，也剔除了二者極端的觀點(diǎn)。該理論能較近似地解釋現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象。傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論的比較純預(yù)期理論流動性偏好理論市場分割理論期限偏好理論長、短期利率替代性完全替代不完全替代完全不替代部分替代收益率曲線向上傾斜的原因未來短期利率上升也許利率上升，也許風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償加大長期資金融資需求較強(qiáng)，或者投資需求弱長期資金融資需求較強(qiáng)，或者長期投資的偏好轉(zhuǎn)移到短期投資解釋收益率曲線變化的能力強(qiáng)較弱較強(qiáng)較強(qiáng)利差分析絕對利差、相對利差、收益率比率→均是與基準(zhǔn)收益率比較市場間利差與市場內(nèi)利差→不同子市場間VS子市場不同品種信用利差→因信用風(fēng)險(xiǎn)或違約風(fēng)險(xiǎn)引起的利差稅后收益率與等稅收益率→稅前收益率×(1-邊際稅率)

VS免稅收益率/(1-邊際稅率)靜態(tài)利差→又稱零利差，即波動率為零的利差選擇權(quán)調(diào)整后利差→利用模型計(jì)算的含權(quán)債券價(jià)值與其市場價(jià)格相等時的收益率之差利差的影響因素及與利差的關(guān)系因素相關(guān)性釋義違約風(fēng)險(xiǎn)＋違約風(fēng)險(xiǎn)越大，利差就會越大。如AAA債券相對于國債的利差，一定會小于AA債券相對于國債的利差流動性－流動性越強(qiáng)，利差就會越小。由于剛剛發(fā)行的債券的流動性最強(qiáng)，而已經(jīng)發(fā)行的債券的流動性降低，因此，已發(fā)行債券相對于剛剛發(fā)行的債券就會有利差。假定公司債券與國債的違約風(fēng)險(xiǎn)相同，但由于公司債券的流動性不如國債，因此，公司債券相對于國債而言，也會有利差。稅收待遇－稅收待遇越低，利差會越大，因?yàn)橥顿Y者關(guān)心的是扣除稅收之后的收益率市場利率＋一般情況下，市場利率水平較高，絕對利差就會加大。而市場利率處于低位時時，絕對利差就會比較低。此時，相對利差的概念就會說明一定的問題償還期限＋在一般情況下，到期收益曲線向右上方傾斜，因此，債券的償還期越長，到期收益率越高，利差就會越大。第二節(jié)利率期限結(jié)構(gòu)與折現(xiàn)方程折現(xiàn)因子/折現(xiàn)方程折現(xiàn)因子的計(jì)算函數(shù)估計(jì)法線性插值法樣條函數(shù)法迭代法(Bootstrapping)統(tǒng)計(jì)方法折現(xiàn)因子定義折現(xiàn)因子表示未來某一特定時點(diǎn)的1元錢,相當(dāng)于期初（或0時點(diǎn)）的價(jià)值，一般用表示。通常

用年來表示（例如，3個月為0.25,10天為10/365=0.0274）。用表示期限為

的到期收益率（或年有效收益率），則有：到期收益率與折現(xiàn)因子

圖給定的到期收益率曲線及對應(yīng)折現(xiàn)因子隨到期期限變化的趨勢折現(xiàn)因子即期收益率可以用來給風(fēng)險(xiǎn)和稅收狀況相似的現(xiàn)金流量定價(jià)

利用折現(xiàn)因子計(jì)算應(yīng)用債券的復(fù)制和套利中易于識別定價(jià)的相對高低

折現(xiàn)因子的求取-函數(shù)估計(jì)法假定折現(xiàn)曲線具有某種函數(shù)形式，然后根據(jù)折現(xiàn)因子的數(shù)據(jù)，估計(jì)出函數(shù)的參數(shù)。例如，假定折現(xiàn)曲線為三次多項(xiàng)式，即：這類函數(shù)必須滿足一個常識性的條件，即例：假設(shè)市場上有四種零息債券，期限分別為1年、3年、4年、6年，即期利率分別為4.5056%、4.8377%、4.9927%、5.2807%，則其對應(yīng)的折現(xiàn)因子分別0.9569、0.8679、0.8229、0.7344。若市場上有一只期限為5年的附息債券，票面利率為5%，面值為100元，每年付息1次，那么該債券定價(jià)多少比較合理？折現(xiàn)因子的求取-函數(shù)估計(jì)法折現(xiàn)因子的求取-線性插值法例

假設(shè)市場上有6只債券在進(jìn)行交易，這6只債券的基本信息如表5.10所示。假設(shè)市場上債券的票面利息為半年支付1次，試分別利用連續(xù)復(fù)利、復(fù)利和單利計(jì)算不同到期期限時點(diǎn)上的即期利率。債券本金(元)到期期限(年)年息票(元)債券價(jià)格(元)1000.25097.51000.50094.51001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8若為復(fù)利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系所以：若為復(fù)利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系線性插值若為單利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系所以：若為單利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系線性插值折現(xiàn)因子的求取-樣條函數(shù)法多項(xiàng)式樣條法指數(shù)樣條法多項(xiàng)式樣條法由McCulloch提出，它的主要思想是將貼現(xiàn)函數(shù)用分段的多項(xiàng)式函數(shù)來表示。在實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式樣條函數(shù)的階數(shù)一般取為3，從而保證貼現(xiàn)函數(shù)及其一階和二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。期限為

的貼現(xiàn)函數(shù)

可表示為：其中,是樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)折現(xiàn)因子的求取-自助法當(dāng)零息債券無法得到，或者這些債券的流動性特別差，致使到期收益率難以成為其他債券的定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)時，使用迭代法得到到期收益率曲線是最常用的方法。迭代法是把附息債券轉(zhuǎn)化為各期現(xiàn)金流，把各個現(xiàn)金流看成是不同期限的債券，并需要確定一個最短期限的收益率，然后以此最短收益率為基礎(chǔ)，對不同時間間隔的時間點(diǎn)開始進(jìn)行迭代，最后推出所有時點(diǎn)的收益率。該種方法一般分為兩步：第一，搜集關(guān)于6個月、12個月、18個月等債券價(jià)格與票面利率的信息；第二步，計(jì)算到期收益率，期限從最短到最長。折現(xiàn)因子的求取-自助法例：假設(shè)市場上有四只附息債券A、B、C、D，距離到期的期限分別為6個月、12個月、18個月和24個月，面值均為100元且均為半年付息一次，相關(guān)債券的價(jià)格及票面利率如下表所示，請計(jì)算半年期的到期收益率。到期時間（月）票面利率）價(jià)格（元）A65%98.24B125.8%100.05C186.5%99.53D247.5%102.86折現(xiàn)因子的求取-自助法解答：可得：第三節(jié)利率期限結(jié)構(gòu)模型利率波動的一般模型Ho-Lee模型所羅門兄弟模型BDT模型Vasicek模型利率波動的一般模型最簡單情況下的利率模型假定利率為連續(xù)利率，其波動服從下面的規(guī)律：其中，表示利率在一個很短的時間內(nèi)的波動；為利率在一年內(nèi)波動多少個基點(diǎn)；表示一個隨機(jī)變量，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為

?？紤]到利率趨勢與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)情況下的利率模型Ho-Lee模型在Ho-Lee模型中趨勢變量

是時間依賴的，即在不同的時段，漂移項(xiàng)是時變的。比如在前一個月，趨勢變量

的取值可能是10個基點(diǎn)；而在第二個月，

的取值也許是15個基點(diǎn)；在第三個月，

的取值也許為負(fù)的5個基點(diǎn)。所羅門兄弟模型假設(shè)市場利率呈對數(shù)正態(tài)分布，利率演變過程是比例性，而不是加減性的。其模型結(jié)構(gòu)為BDT模型布萊克（Black）、德曼（Derman）、托伊（Toy）于1990年提出的BDT模型除了給予波動率參數(shù)時變的特性外，還假設(shè)瞬時利率服從對數(shù)正態(tài)分布，以保證利率始終為正。由于BDT模型最初是以離散形式提出的，后來被赫爾（Hull）和懷特（White）給出了連續(xù)的形式，該模型假定利率服從這樣的過程其中，

代