第五章 利率期限結(jié)構(gòu)

第五章利率期限結(jié)構(gòu)利率期限結(jié)構(gòu)概覽收益率曲線(xiàn)的認(rèn)識(shí)：依據(jù)不同期限的金融工具的到期收益率高低繪制的圖形（衡量到期收益率與到期期限之間的變化關(guān)系。不同類(lèi)型的債券都有自身的到期收益率曲線(xiàn)，其中無(wú)風(fēng)險(xiǎn)零息債券的到期收益率曲線(xiàn)最為重要。通常意義上的到期收益率曲線(xiàn)專(zhuān)指不同期限的零息債券的到期收益率曲線(xiàn)，又稱(chēng)為即期利率（SpotRate）曲線(xiàn)或利率期限結(jié)構(gòu)（TermStructureofInterestRates）。在美國(guó)等國(guó)家的金融市場(chǎng)上，到期收益率曲線(xiàn)通常以當(dāng)期新發(fā)（on-the-run）國(guó)債的拍賣(mài)利率（即期利率）為基礎(chǔ)，通過(guò)插值法等算出相應(yīng)年份的即期利率，從而繪制出收益率曲線(xiàn)。利率期限結(jié)構(gòu)概覽利率期限結(jié)構(gòu)的基本作用為其他債券定價(jià)給無(wú)風(fēng)險(xiǎn)的其他證券定價(jià)給有風(fēng)險(xiǎn)的其他證券定價(jià)給固定收益證券的衍生產(chǎn)品定價(jià)尋找套利機(jī)會(huì)預(yù)測(cè)未來(lái)即期利率利率期限結(jié)構(gòu)的理論解釋傳統(tǒng)理論市場(chǎng)分割理論純預(yù)期理論/無(wú)偏預(yù)期理論流動(dòng)偏好理論期限偏好理論市場(chǎng)分割理論該理論認(rèn)為：不同的金融工具和市場(chǎng)體之間是不完全流動(dòng)的，相互間因制度、空間、信息流等的限制而存在一定程度的分隔，從而并不存在一個(gè)統(tǒng)一的、相互完全一致的市場(chǎng)收益率。市場(chǎng)上任何期限的債券與其他期限的債券是完全分隔的，任何期限債券的利率僅由該期限債券的供求因素決定，很少受其他期限債券的影響，即短期利率僅由短期資金的供求決定，長(zhǎng)期利率僅由長(zhǎng)期資金的供求決定。利率反轉(zhuǎn)效應(yīng)的解釋純預(yù)期理論純預(yù)期理論認(rèn)為即期利率已經(jīng)對(duì)未來(lái)可能出現(xiàn)的任何情況做出客觀的、完全的預(yù)期。即若投資者預(yù)期未來(lái)的短期利率會(huì)上升，那么長(zhǎng)期利率就會(huì)高于短期利率，此時(shí)收益率曲線(xiàn)就會(huì)向上傾斜；若投資者預(yù)期未來(lái)的短期利率會(huì)下降，那么長(zhǎng)期利率就會(huì)低于短期利率，這時(shí)收益率曲線(xiàn)就會(huì)向下傾斜；若預(yù)期未來(lái)的短期利率會(huì)保持不變，那么收益率曲線(xiàn)就會(huì)保持水平。定價(jià)均衡時(shí)，該理論相信持有至到期策略得到的預(yù)期收益等于滾動(dòng)策略得到的預(yù)期收益，即目前進(jìn)行一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)期的投資結(jié)果，與進(jìn)行多個(gè)期限的滾動(dòng)投資收益相同。純預(yù)期理論純預(yù)期理論的出發(fā)點(diǎn)，是長(zhǎng)期證券的到期收益率等于當(dāng)期短期利率以及預(yù)期短期利率的幾何平均。這也意味著到期收益曲線(xiàn)所暗含的遠(yuǎn)期利率等于未來(lái)該時(shí)段的即期利率。該理論基于以下假定：市場(chǎng)上的各種證券均沒(méi)有違約風(fēng)險(xiǎn)；所有投資者都是風(fēng)險(xiǎn)中立者，并且以利潤(rùn)最大化原則/不考慮風(fēng)險(xiǎn)；證券買(mǎi)賣(mài)沒(méi)有交易成本；投資者都能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)未來(lái)的利率/即預(yù)期都可以實(shí)現(xiàn)；投資者對(duì)證券不存在期限偏好/不同期限的證券之間可以互換替代純預(yù)期理論認(rèn)為：在一定的持有期間內(nèi)，持有人投資任何證券都會(huì)獲得相同的收益，而與證券的期限無(wú)關(guān)。純預(yù)期理論

例:某投資者擬進(jìn)行一個(gè)兩年期的投資，以下幾種投資方案給投資者將帶來(lái)相同的預(yù)期收益：方案1：先購(gòu)買(mǎi)1年期證券，到期后再投資于另一個(gè)1年期證券并持有至到期；方案2：直接購(gòu)買(mǎi)一個(gè)2年期證券；方案3：購(gòu)買(mǎi)一個(gè)5年期證券，在第2年末賣(mài)出。純預(yù)期理論應(yīng)用：“無(wú)套利”總收益思路：利用到期收益曲線(xiàn)所暗含的遠(yuǎn)期利率來(lái)估計(jì)總收益。純預(yù)期理論例：資于3年期，票面利率6%（半年付息）的債券，價(jià)格為947.58元（其面值為1000元），給定市場(chǎng)利率期限結(jié)構(gòu)，如下表第2列所示。若投資者計(jì)劃1年后售出該債券，那么投資者期望的無(wú)套利總收益是多少呢？

時(shí)點(diǎn)即期收益率曲線(xiàn)單期遠(yuǎn)期利率

16.50%6.50%27.00%7.50%37.40%8.20%48.00%9.81%58.40%10.01%68.60%9.60%表：市場(chǎng)上的利率期限結(jié)構(gòu)（6個(gè)月，有效利率）解答：第一步，求解債券的到期收益率第二步，估算債券在第1年末的價(jià)值，將投資者收益分解為三部分，即資本利得、利息、利息的利息。1年后債券的價(jià)值應(yīng)當(dāng)為第3期至第6期不同時(shí)點(diǎn)的現(xiàn)金流在時(shí)點(diǎn)2的現(xiàn)值:

投資者預(yù)期資本利得為-8.07元，即：

（元）利息及利息的利息為61.125元，即（元）投資者1年末的總預(yù)期收益為53.055元，即進(jìn)一步的，投資者持有期間收益率為：

持有期收益率低于8%的到期收益率很多，為什么?前期的再投資收益率較低預(yù)期理論與經(jīng)濟(jì)周期分析觀察在經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張一開(kāi)始，到期收益曲線(xiàn)斜率趨于增大，而在經(jīng)濟(jì)擴(kuò)張的末尾到期收益曲線(xiàn)斜率趨于降低需求方在擴(kuò)張期投資大，貨幣需求的期望增大，促使真實(shí)利率抬高如果預(yù)期經(jīng)濟(jì)走向低谷，預(yù)期遠(yuǎn)期利率下降，因?yàn)橥顿Y需求將趨緩。供給方人們更愿意均衡消費(fèi)。如果預(yù)期經(jīng)濟(jì)衰退，人們將更不愿意花錢(qián)，這也促使利率走低。流動(dòng)偏好理論又稱(chēng)為流動(dòng)性升水理論（liquiditypremiumtheory），該理論基本上承認(rèn)利率期限結(jié)構(gòu)的純預(yù)期理論，但對(duì)它有一個(gè)重大的修正，該理論認(rèn)為長(zhǎng)期債券比短期債券的流動(dòng)性差，必須要給予投資者更高的期望收益才能使他們?cè)敢獬钟虚L(zhǎng)期債券。換言之，期限較長(zhǎng)的利率，一定會(huì)高于期限較短的利率，因?yàn)檩^長(zhǎng)的期限要求較高的流動(dòng)性溢價(jià)。流動(dòng)偏好理論即期利率期限收益曲線(xiàn)流動(dòng)性升水到期收益率流動(dòng)性偏好理論對(duì)收益曲線(xiàn)的解釋期限偏好理論該理論認(rèn)為投資者對(duì)特定期限都有很強(qiáng)的偏好，因而收益曲線(xiàn)不會(huì)嚴(yán)格地服從純預(yù)期理論和流動(dòng)性偏好理論的預(yù)測(cè)。投資者有如此特定期限的偏好是由于在債券投資過(guò)程中，投資者的資產(chǎn)周期和負(fù)債周期有效匹配會(huì)使其處于最低風(fēng)險(xiǎn)狀態(tài)。如銀行和貨幣市場(chǎng)基金一般購(gòu)買(mǎi)短期債券，而人壽保險(xiǎn)公司則偏好于購(gòu)買(mǎi)長(zhǎng)期債券投資者雖對(duì)投資期限有一定的偏好，但若預(yù)期收益之間的差別特別大，他們也會(huì)改變偏好期限偏好理論以實(shí)際的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償觀念為基礎(chǔ)，即投資者為預(yù)期的額外收益而承擔(dān)額外的風(fēng)險(xiǎn)。在接受市場(chǎng)分隔理論和純預(yù)期理論部分觀點(diǎn)的同時(shí)，也剔除了二者極端的觀點(diǎn)。該理論能較近似地解釋現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象。傳統(tǒng)利率期限結(jié)構(gòu)理論的比較純預(yù)期理論流動(dòng)性偏好理論市場(chǎng)分割理論期限偏好理論長(zhǎng)、短期利率替代性完全替代不完全替代完全不替代部分替代收益率曲線(xiàn)向上傾斜的原因未來(lái)短期利率上升也許利率上升，也許風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償加大長(zhǎng)期資金融資需求較強(qiáng)，或者投資需求弱長(zhǎng)期資金融資需求較強(qiáng)，或者長(zhǎng)期投資的偏好轉(zhuǎn)移到短期投資解釋收益率曲線(xiàn)變化的能力強(qiáng)較弱較強(qiáng)較強(qiáng)利差分析絕對(duì)利差、相對(duì)利差、收益率比率→均是與基準(zhǔn)收益率比較市場(chǎng)間利差與市場(chǎng)內(nèi)利差→不同子市場(chǎng)間VS子市場(chǎng)不同品種信用利差→因信用風(fēng)險(xiǎn)或違約風(fēng)險(xiǎn)引起的利差稅后收益率與等稅收益率→稅前收益率×(1-邊際稅率)

VS免稅收益率/(1-邊際稅率)靜態(tài)利差→又稱(chēng)零利差，即波動(dòng)率為零的利差選擇權(quán)調(diào)整后利差→利用模型計(jì)算的含權(quán)債券價(jià)值與其市場(chǎng)價(jià)格相等時(shí)的收益率之差利差的影響因素及與利差的關(guān)系因素相關(guān)性釋義違約風(fēng)險(xiǎn)＋違約風(fēng)險(xiǎn)越大，利差就會(huì)越大。如AAA債券相對(duì)于國(guó)債的利差，一定會(huì)小于AA債券相對(duì)于國(guó)債的利差流動(dòng)性－流動(dòng)性越強(qiáng)，利差就會(huì)越小。由于剛剛發(fā)行的債券的流動(dòng)性最強(qiáng)，而已經(jīng)發(fā)行的債券的流動(dòng)性降低，因此，已發(fā)行債券相對(duì)于剛剛發(fā)行的債券就會(huì)有利差。假定公司債券與國(guó)債的違約風(fēng)險(xiǎn)相同，但由于公司債券的流動(dòng)性不如國(guó)債，因此，公司債券相對(duì)于國(guó)債而言，也會(huì)有利差。稅收待遇－稅收待遇越低，利差會(huì)越大，因?yàn)橥顿Y者關(guān)心的是扣除稅收之后的收益率市場(chǎng)利率＋一般情況下，市場(chǎng)利率水平較高，絕對(duì)利差就會(huì)加大。而市場(chǎng)利率處于低位時(shí)時(shí)，絕對(duì)利差就會(huì)比較低。此時(shí)，相對(duì)利差的概念就會(huì)說(shuō)明一定的問(wèn)題償還期限＋在一般情況下，到期收益曲線(xiàn)向右上方傾斜，因此，債券的償還期越長(zhǎng)，到期收益率越高，利差就會(huì)越大。第二節(jié)利率期限結(jié)構(gòu)與折現(xiàn)方程折現(xiàn)因子/折現(xiàn)方程折現(xiàn)因子的計(jì)算函數(shù)估計(jì)法線(xiàn)性插值法樣條函數(shù)法迭代法(Bootstrapping)統(tǒng)計(jì)方法折現(xiàn)因子定義折現(xiàn)因子表示未來(lái)某一特定時(shí)點(diǎn)的1元錢(qián),相當(dāng)于期初（或0時(shí)點(diǎn)）的價(jià)值，一般用表示。通常

用年來(lái)表示（例如，3個(gè)月為0.25,10天為10/365=0.0274）。用表示期限為

的到期收益率（或年有效收益率），則有：到期收益率與折現(xiàn)因子

圖給定的到期收益率曲線(xiàn)及對(duì)應(yīng)折現(xiàn)因子隨到期期限變化的趨勢(shì)折現(xiàn)因子即期收益率可以用來(lái)給風(fēng)險(xiǎn)和稅收狀況相似的現(xiàn)金流量定價(jià)

利用折現(xiàn)因子計(jì)算應(yīng)用債券的復(fù)制和套利中易于識(shí)別定價(jià)的相對(duì)高低

折現(xiàn)因子的求取-函數(shù)估計(jì)法假定折現(xiàn)曲線(xiàn)具有某種函數(shù)形式，然后根據(jù)折現(xiàn)因子的數(shù)據(jù)，估計(jì)出函數(shù)的參數(shù)。例如，假定折現(xiàn)曲線(xiàn)為三次多項(xiàng)式，即：這類(lèi)函數(shù)必須滿(mǎn)足一個(gè)常識(shí)性的條件，即例：假設(shè)市場(chǎng)上有四種零息債券，期限分別為1年、3年、4年、6年，即期利率分別為4.5056%、4.8377%、4.9927%、5.2807%，則其對(duì)應(yīng)的折現(xiàn)因子分別0.9569、0.8679、0.8229、0.7344。若市場(chǎng)上有一只期限為5年的附息債券，票面利率為5%，面值為100元，每年付息1次，那么該債券定價(jià)多少比較合理？折現(xiàn)因子的求取-函數(shù)估計(jì)法折現(xiàn)因子的求取-線(xiàn)性插值法例

假設(shè)市場(chǎng)上有6只債券在進(jìn)行交易，這6只債券的基本信息如表5.10所示。假設(shè)市場(chǎng)上債券的票面利息為半年支付1次，試分別利用連續(xù)復(fù)利、復(fù)利和單利計(jì)算不同到期期限時(shí)點(diǎn)上的即期利率。債券本金(元)到期期限(年)年息票(元)債券價(jià)格(元)1000.25097.51000.50094.51001.00090.01001.50896.01002.0012101.61002.751099.8若為復(fù)利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系所以：若為復(fù)利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系線(xiàn)性插值若為單利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系所以：若為單利計(jì)息債券價(jià)格與即期利率關(guān)系線(xiàn)性插值折現(xiàn)因子的求取-樣條函數(shù)法多項(xiàng)式樣條法指數(shù)樣條法多項(xiàng)式樣條法由McCulloch提出，它的主要思想是將貼現(xiàn)函數(shù)用分段的多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)表示。在實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式樣條函數(shù)的階數(shù)一般取為3，從而保證貼現(xiàn)函數(shù)及其一階和二階導(dǎo)數(shù)都是連續(xù)的。期限為

的貼現(xiàn)函數(shù)

可表示為：其中,是樣條函數(shù)的節(jié)點(diǎn)折現(xiàn)因子的求取-自助法當(dāng)零息債券無(wú)法得到，或者這些債券的流動(dòng)性特別差，致使到期收益率難以成為其他債券的定價(jià)標(biāo)準(zhǔn)時(shí)，使用迭代法得到到期收益率曲線(xiàn)是最常用的方法。迭代法是把附息債券轉(zhuǎn)化為各期現(xiàn)金流，把各個(gè)現(xiàn)金流看成是不同期限的債券，并需要確定一個(gè)最短期限的收益率，然后以此最短收益率為基礎(chǔ)，對(duì)不同時(shí)間間隔的時(shí)間點(diǎn)開(kāi)始進(jìn)行迭代，最后推出所有時(shí)點(diǎn)的收益率。該種方法一般分為兩步：第一，搜集關(guān)于6個(gè)月、12個(gè)月、18個(gè)月等債券價(jià)格與票面利率的信息；第二步，計(jì)算到期收益率，期限從最短到最長(zhǎng)。折現(xiàn)因子的求取-自助法例：假設(shè)市場(chǎng)上有四只附息債券A、B、C、D，距離到期的期限分別為6個(gè)月、12個(gè)月、18個(gè)月和24個(gè)月，面值均為100元且均為半年付息一次，相關(guān)債券的價(jià)格及票面利率如下表所示，請(qǐng)計(jì)算半年期的到期收益率。到期時(shí)間（月）票面利率）價(jià)格（元）A65%98.24B125.8%100.05C186.5%99.53D247.5%102.86折現(xiàn)因子的求取-自助法解答：可得：第三節(jié)利率期限結(jié)構(gòu)模型利率波動(dòng)的一般模型Ho-Lee模型所羅門(mén)兄弟模型BDT模型Vasicek模型利率波動(dòng)的一般模型最簡(jiǎn)單情況下的利率模型假定利率為連續(xù)利率，其波動(dòng)服從下面的規(guī)律：其中，表示利率在一個(gè)很短的時(shí)間內(nèi)的波動(dòng)；為利率在一年內(nèi)波動(dòng)多少個(gè)基點(diǎn)；表示一個(gè)隨機(jī)變量，其均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為

?？紤]到利率趨勢(shì)與風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)情況下的利率模型Ho-Lee模型在Ho-Lee模型中趨勢(shì)變量

是時(shí)間依賴(lài)的，即在不同的時(shí)段，漂移項(xiàng)是時(shí)變的。比如在前一個(gè)月，趨勢(shì)變量

的取值可能是10個(gè)基點(diǎn)；而在第二個(gè)月，

的取值也許是15個(gè)基點(diǎn)；在第三個(gè)月，

的取值也許為負(fù)的5個(gè)基點(diǎn)。所羅門(mén)兄弟模型假設(shè)市場(chǎng)利率呈對(duì)數(shù)正態(tài)分布，利率演變過(guò)程是比例性，而不是加減性的。其模型結(jié)構(gòu)為BDT模型布萊克（Black）、德曼（Derman）、托伊（Toy）于1990年提出的BDT模型除了給予波動(dòng)率參數(shù)時(shí)變的特性外，還假設(shè)瞬時(shí)利率服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，以保證利率始終為正。由于BDT模型最初是以離散形式提出的，后來(lái)被赫爾（Hull）和懷特（White）給出了連續(xù)的形式，該模型假定利率服從這樣的過(guò)程其中，

代