北京市朝陽區(qū)2025屆高三下學(xué)期一模試題 數(shù)學(xué) 含答案

2025北京朝陽高三一模數(shù)學(xué)2025.3（考試時間120分鐘滿分150分）本試卷分為選擇題40分和非選擇題110分第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，集合，則（A） （B）（C） （D）（2）設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則（A） （B）（C） （D）（3）在的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（A） （B）（C） （D）（4）為得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（A）向右平移個單位長度 （B）向左平移個單位長度（C）向右平移個單位長度 （D）向左平移個單位長度（5）已知是等比數(shù)列，，，則（A） （B）（C） （D）（6）已知曲線，則“”是“為焦點(diǎn)在軸上的雙曲線”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）已知，則（A） （B）（C） （D）（8）某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示．這條河兩岸所在直線互相平行，橋與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個入口分別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)處，其中入口（定點(diǎn)）在橋上，且到直線的距離分別為（為定值），入口分別在直線上，公園的一邊與直線所成的銳角為，另一邊與垂直．設(shè)該休閑公園的面積為，當(dāng)變化時，下列說法正確的是（A）函數(shù)的最大值為（B）函數(shù)的最小值為（C）若且，則（D）若且，則（9）在中，，，點(diǎn)為所在平面內(nèi)一點(diǎn)且，則的最小值為（A） （B）（C） （D）（10）位同學(xué)參加學(xué)校組織的某棋類單循環(huán)制比賽，即任意兩位參賽者之間恰好進(jìn)行一場比賽．每場比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝者計(jì)3分，負(fù)者計(jì)0分，平局各計(jì)1分．所有比賽結(jié)束后，若這位同學(xué)的得分總和為分，且平局總場數(shù)不超過比賽總場數(shù)的一半，則平局總場數(shù)為（A） （B）（C） （D）

第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）函數(shù)的定義域?yàn)開_______．（12）已知點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為________；以為圓心，為半徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是________．（填“相交”“相切”或“相離”）（13）已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則________；若存在，使得，則的一個取值為_______．（14）干支紀(jì)年法是我國古代一種紀(jì)年方式，它以十天干和十二地支（）的組合來表示年份，循環(huán)紀(jì)年．比如某一年為甲子年，則下一年為乙丑年，再下一年為丙寅年，以此類推，排列到癸酉年后，天干回到“甲”，即甲戌年，下一年為乙亥年，之后地支回到“子”，即丙子年，以此類推．已知2025年是乙巳年，則2025年之后的首個己巳年是__________年．（用數(shù)字作答）（15）在棱長為的正方體中，點(diǎn)是底面內(nèi)的動點(diǎn)，給出下列四個結(jié)論：①的最小值為；②的最小值為；③的最大值為；④的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號是________．

三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）如圖，在四棱柱中，平面，在四邊形中，，，，為線段的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面平面，，求平面與平面夾角的余弦值．（17）（本小題13分）在中，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得存在且唯一，求的周長．條件①：；條件②：邊上的高為；條件③：.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計(jì)分．

（18）（本小題14分）某高中組織學(xué)生研學(xué)旅行．現(xiàn)有A，B兩地可供選擇，學(xué)生按照自愿的原則選擇一地進(jìn)行研學(xué)旅行．研學(xué)旅行結(jié)束后，學(xué)校從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行滿意度調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下表：高一高二高三A地B地A地B地A地B地滿意122183156一般226568不滿意116232假設(shè)所有學(xué)生的研學(xué)旅行地點(diǎn)選擇相互獨(dú)立.用頻率估計(jì)概率.（Ⅰ）估計(jì)該校學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的概率；（Ⅱ）分別從高一、高二、高三三個年級中各隨機(jī)抽取人，估計(jì)這人中至少有人選擇去B地的概率；（Ⅲ）對于上述樣本，在三個年級去A地研學(xué)旅行的學(xué)生中，調(diào)查結(jié)果為滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，調(diào)查結(jié)果為不滿意的學(xué)生人數(shù)的方差為，寫出和的大小關(guān)系．（結(jié)論不要求證明）（19）（本小題15分）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點(diǎn)作直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)．設(shè),直線與直線交于點(diǎn)，求證：直線的斜率為定值．（20）（本小題15分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）若，求證：當(dāng)時，；（Ⅲ）若函數(shù)有個不同的零點(diǎn)，求的取值范圍．

（21）（本小題15分）已知為有窮正整數(shù)數(shù)列，若存在，使得，其中，則稱為連續(xù)可歸零數(shù)列．（Ⅰ）判斷和是否為連續(xù)可歸零數(shù)列？并說明理由；（Ⅱ）對任意的正整數(shù)，記，其中表示數(shù)集中最大的數(shù).令，求證：數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列；（Ⅲ）若的每一項(xiàng)均為不大于的正整數(shù)，求證：當(dāng)時，是連續(xù)可歸零數(shù)列．（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）C （3）D （4）D （5）A（6）A （7）B （8）D （9）C (10)B二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（11） （12）；相切 （13）；（答案不唯一）（14）2049 （15）①②④三、解答題（共6小題，共85分）（16）（本小題13分）解：（Ⅰ）連接．因?yàn)?為的中點(diǎn)，所以．又，所以四邊形為平行四邊形．所以．又因?yàn)?，所以．所以四邊形為平行四邊形．所以．又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面?6分（Ⅱ）因?yàn)槠矫?，所?．又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?平面，所以平面．所以．所以兩兩垂直．如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，．所以，，．因?yàn)槠矫?，所以是平面的法向量．設(shè)平面的法向量為，則即令，則．于是．設(shè)平面與平面夾角為，則． 13分（17）（本小題13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及得．所以．所以．又因?yàn)椋裕裕?5分（Ⅱ）選條件①：因?yàn)?，，，且，所以．因?yàn)?，所以．所以．又因?yàn)?，所以．所以．又，所以．所以的周長為． 13分選條件②：因?yàn)椋吷系母邽?，所以．又因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，所以．?）當(dāng)時，由，得．又，所以．所以．所以的周長為．（2）當(dāng)時，由，得．又，所以，不符合題意．綜上，的周長為． 13分（18）（本小題14分）解：（Ⅰ）從表格數(shù)據(jù)可知，隨機(jī)抽取的名學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的人數(shù)為．因此該校學(xué)生對本次研學(xué)旅行滿意的概率可估計(jì)為． 4分（Ⅱ）設(shè)事件：抽取的高一學(xué)生選擇去B地；事件：抽取的高二學(xué)生選擇去B地；事件：抽取的高三學(xué)生選擇去B地；事件：抽取的人中恰有人選擇去B地，；事件：抽取的人中至少有人選擇去B地．從數(shù)據(jù)表格可知，抽取的名學(xué)生中高一年級學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；抽取的名學(xué)生中高二年級學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；抽取的名學(xué)生中高三年級學(xué)生總數(shù)為，選擇去B地的總數(shù)為，所以可估計(jì)為；因?yàn)?，所以所以抽取的人中至少有人選擇去B地的概率可估計(jì)為． 11分（Ⅲ）． 14分（19）（本小題15分）解：（Ⅰ）由題意得解得所以橢圓的方程是． 4分（Ⅱ）由題可知直線的斜率存在.設(shè)直線．由得．由，得，即．設(shè)，則．直線的方程為．令，得的縱坐標(biāo)為．因?yàn)椋裕郑?，即．所以直線的斜率為定值． 15分（20）（本小題15分）解：（Ⅰ）當(dāng)時，，所以，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即． 4分（Ⅱ）由題設(shè)知．設(shè)函數(shù)．當(dāng)時，因?yàn)?，所以，即．所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以．所以當(dāng)且時，． 9分（Ⅲ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?1\*GB3①當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)至多一個零點(diǎn)，不合題意．=2\*GB3②當(dāng)時，由（Ⅱ）可知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，函數(shù)至多一個零點(diǎn)，不合題意．=3\*GB3③當(dāng)時，對于函數(shù)，因?yàn)?，所以方程有兩個實(shí)數(shù)根，滿足．不妨設(shè)，則．變化的情況如下：↗↘↗所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是．因?yàn)?，所以為的一個零點(diǎn)．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．又，，且，所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得．所以函數(shù)有個不同的零點(diǎn)．綜上，的取值范圍為． 15分（21）（本小題15分）解：（Ⅰ）數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：取，，，則，所以數(shù)列是連續(xù)可歸零數(shù)列．?dāng)?shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列，理由如下：當(dāng)時，，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．當(dāng)時，，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．當(dāng)時，，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故是奇數(shù)，所以．所以數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列． 4分（Ⅱ）因?yàn)槭瞧鏀?shù)，故，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．所以?shù)列．因?yàn)?，所以與奇偶性相同．當(dāng)或時，因?yàn)橹?，為奇?shù)，其余各項(xiàng)均為偶數(shù)，所以為奇數(shù)．所以．當(dāng)取時，由（Ⅰ）可知，綜上，數(shù)列不是連續(xù)可歸零數(shù)列． 9分（Ⅲ）設(shè)，，則是整數(shù)數(shù)列．下面證明對任意，均有．顯然滿足．假設(shè)