第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性

第五章力學(xué)量隨時(shí)間的演化與對(duì)稱性5.1対易力學(xué)量完全集一、力學(xué)量完全集合1、定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組相互對(duì)易的力學(xué)量算符的最小（數(shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。設(shè)有一組彼此對(duì)易，且函數(shù)獨(dú)立的厄米算符?(?1,?2,...)，它們的共同本征函數(shù)記為k（假定?的本征值是分立的），k是一組量子數(shù)的籠統(tǒng)記號(hào)。設(shè)給定k之后就能夠確定體系的一個(gè)可能狀態(tài)，則稱(?1,?2,...)構(gòu)成體系的一組力學(xué)量完全集。按照態(tài)疊加原理，體系的任何一個(gè)狀態(tài)均可以用k

來(lái)展開，即=∑ak

k若k是歸一化的，則（，）=∑|ak|2=1，式中|ak|2代表在態(tài)下測(cè)量A的概率。對(duì)于?連續(xù)譜的情況，本征值為λ連續(xù)取值，本征函數(shù)為(λ),則=∫cλ(λ)dλ例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：任何一個(gè)函數(shù)都可以按動(dòng)量的本征函數(shù)展開：例2：一維諧振子，只需要一個(gè)力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：2、力學(xué)量完全集中力學(xué)量的個(gè)數(shù)并不一定等于自由度的數(shù)目。一般說(shuō)來(lái)，力學(xué)量完全集中力學(xué)量的個(gè)數(shù)大于或等于體系的自由度數(shù)目。3、體系的任何態(tài)總可以用包含?在內(nèi)的一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)來(lái)展開。5.2力學(xué)量隨時(shí)間的變化5.2.1守恒量1.力學(xué)量的平均值隨時(shí)間的變化關(guān)系力學(xué)量A在(r,t)中的平均值為:因?yàn)槭菚r(shí)間的函數(shù)?也可能顯含時(shí)間，所以ā通常是時(shí)間t的函數(shù)。為了求出ā隨時(shí)間的變化，上式兩邊對(duì)t求導(dǎo)

(5-4)

(5-3)由薛定諤方程，

(5-5)

(5-6)這就是力學(xué)量平均值隨時(shí)間變化的公式。若?不顯含t，即，則有如果?既不顯含時(shí)間，又與?對(duì)易（[?,?]=0），則由上式有

即這種力學(xué)量在任何態(tài)之下的平均值都不隨時(shí)間改變。可以證明：在任意態(tài)下A的概率分布也不隨時(shí)間改變。概括起來(lái)講，對(duì)于Hamilton量?不含時(shí)的量子體系，如果力學(xué)量A與?對(duì)易，則無(wú)論體系處于什么狀態(tài)（定態(tài)或非定態(tài)），A的平均值及其測(cè)量的概率分布均不隨時(shí)間改變。所以把A稱為量子體系的一個(gè)守恒量。即A的平均值不隨時(shí)間改變，我們稱力學(xué)量A為運(yùn)動(dòng)恒量或守恒量。守恒量有兩個(gè)特點(diǎn)：(1).在任何態(tài)(t)之下的平均值都不隨時(shí)間改變；(2).在任意態(tài)(t)下A的概率分布不隨時(shí)間改變。舉例1、自由粒子動(dòng)量守恒，自由粒子的哈密頓算符，所以自由粒子的動(dòng)量是守恒量。2、粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)：角動(dòng)量守恒皆不顯含時(shí)間，，又，所以粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，角動(dòng)量平方和角動(dòng)量分量都是守恒量。

，，3、哈密頓不顯含時(shí)間的體系能量守恒5.2.2量子力學(xué)中的守恒量與經(jīng)典力學(xué)中守恒量的區(qū)別1.守恒量不一定取確定值。與經(jīng)典力學(xué)守恒量不同，量子體系的守恒量并不一定取確定值，即體系的狀態(tài)并不一定就是某個(gè)守恒量的本征態(tài)。一個(gè)體系在某時(shí)刻t是否處于某守恒量的本征態(tài)，要根據(jù)初條件決定。若在初始時(shí)刻(t=0)，守恒量A具有確定值，則以后任何時(shí)刻它都具有確定值，即體系將保持在?的同一個(gè)本征態(tài)。由于守恒量具有此特點(diǎn)，它的量子數(shù)稱為好量子數(shù)。但是，若初始時(shí)刻A并不具有確定值（這與經(jīng)典力學(xué)不同），即(0)并非?的本征態(tài)，則以后的狀態(tài)也不是?的本征態(tài)，即A也不會(huì)具有確定值，但幾率分布仍不隨時(shí)間改變，其平均值也不隨時(shí)間改變。2.量子體系的各守恒量并不一定都可以同時(shí)取確定值。例如中心力場(chǎng)中的粒子，l的三個(gè)分量都守性，但由于不對(duì)易，一般說(shuō)來(lái)它們并不能同時(shí)取確定值（角動(dòng)量l=0的態(tài)除外）3.守恒量與定態(tài)的異同1）概念不一樣。定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)；守恒量是特殊的力學(xué)量，要滿足一定的條件。2）性質(zhì)不一樣。在定態(tài)下，一切不含時(shí)間的力學(xué)量，不管是不是守恒量，其平均值，測(cè)量值概率分布都不隨時(shí)間改變。守恒量對(duì)一切狀態(tài)，不管是否定態(tài)，其平均值，測(cè)量值概率分布都不隨時(shí)間改變。5.2.3能級(jí)簡(jiǎn)并與守恒量的關(guān)系——守恒量在能量本征值問題中的應(yīng)用1.定理：如果體系有兩個(gè)彼此不對(duì)易的守恒量F和G，即，則體系的能級(jí)一般是簡(jiǎn)并的。證明：因?yàn)?，和可有共同的本征態(tài)ψ，所以

(5-15)又因?yàn)樗杂?/p>

(5-16)即也是的屬于同一本征值E的本征態(tài)。但由于,ψ與一般不是同一本征態(tài)。因?yàn)?/p>

(5-17)即不是的本征態(tài)，但ψ是的本征態(tài)，故ψ與是不同的量子態(tài)。但它們是的同一能級(jí)的態(tài)，故能級(jí)簡(jiǎn)并。還可以證明：此時(shí)至少有些能級(jí)是簡(jiǎn)并的。證明（用反證法）：設(shè)所以同理，由于故也是的屬于同一本征值En的本征態(tài)，即設(shè)體系的能級(jí)En不簡(jiǎn)并，則、與為同一量子態(tài)，即式中Fn,Gn為常數(shù)。于是有即也是的屬于同一本征值En的本征態(tài)，設(shè)ψ為體系的任意量子態(tài)，按態(tài)疊加原理得又設(shè)所有能級(jí)都不簡(jiǎn)并，則由于設(shè)ψ任意量子態(tài)，則，即対易，與題設(shè)矛盾。所以不可能所有能級(jí)都簡(jiǎn)并，即至少有些能級(jí)是簡(jiǎn)并的。2.推論：若體系有一個(gè)守恒量，而體系的某個(gè)能級(jí)不簡(jiǎn)并（即相應(yīng)的能級(jí)E只有一個(gè)本征態(tài)ψE），則ψE必為的本征態(tài)，即非簡(jiǎn)并本征態(tài)必為某一個(gè)守恒量的本征態(tài)。證明：因?yàn)闉轶w系有一個(gè)守恒量，則可見，均為的屬于同一本征值E的本征態(tài)。但能級(jí)E并不簡(jiǎn)并，所以，即ψE必為的本征態(tài)。3.宇稱：.宇稱算符（空間反演算符）：作用在一個(gè)函數(shù)上，使的運(yùn)算符號(hào)。即容易證明：,所以能量的本征態(tài)必為的本征態(tài)。設(shè)，做空間反演所以的本征值為，P=1時(shí)，稱為偶宇稱；P=-1時(shí)，稱為奇宇稱。5.3守恒量與對(duì)稱性的關(guān)系物理學(xué)中存在兩類不同性質(zhì)的對(duì)稱性，一類是某個(gè)系統(tǒng)或某件具體事物的對(duì)稱性，常見的有轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱、鏡像對(duì)稱、時(shí)間對(duì)稱、控件對(duì)稱、點(diǎn)對(duì)稱、軸對(duì)稱等；另一類是物理規(guī)律的對(duì)稱性。物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律對(duì)于時(shí)間平移、空間平移具有不變性。物理學(xué)家認(rèn)為，某規(guī)律在某種變換之后，若仍能保持不變，就稱為具有對(duì)稱性，而這種變換稱為一種對(duì)稱變換。5.3.1對(duì)稱性與守恒量設(shè)體系的狀態(tài)用ψ描述，則薛定諤方程為

（5-30）作某種線性變換,其中不依賴于時(shí)間，存在逆變換，如果，即系統(tǒng)的哈密頓量在變換下保持不變，那么有

（5-31）由概率守恒條件，即

（5-31）得即為幺正算符。對(duì)于連續(xù)變換，考慮無(wú)窮小變換，令，則（5-33）即要求,則是厄米算符，一般稱為變換的無(wú)窮小生成元。它可以用來(lái)定義一個(gè)與變換相聯(lián)系的可觀測(cè)量。由于，得，即，觀測(cè)量就是體系的一個(gè)守恒量。5.3.2時(shí)空對(duì)稱性及其應(yīng)用1.時(shí)間平移對(duì)稱和能量守恒定律當(dāng)所研究的體系的哈密頓量與時(shí)間無(wú)關(guān)時(shí)，在無(wú)窮小時(shí)間平移變換下，根據(jù)體系的狀態(tài)波函數(shù)，在時(shí)間平移變換下的變化規(guī)律?？梢詫?dǎo)出時(shí)間平移算符。由

（5-34）式中（5-35）利用泰勒級(jí)數(shù)展開，得

（5-36）這里的，由于，則是體系的一個(gè)守恒量。實(shí)際上在時(shí)間平移變換下，體系的能量守恒。上面討論了體系作無(wú)窮小的時(shí)間平移變換，對(duì)于有限的小的時(shí)間平陰變換，即

（5-37）2.空間平移對(duì)稱性和動(dòng)量守恒定律自由運(yùn)動(dòng)的哈密頓量為

（5-38）顯然做空間平移變換時(shí)，哈密頓量不會(huì)改變，考慮坐標(biāo)系沿x方向作無(wú)窮小平移變換，即

（5-39）從狀態(tài)波函數(shù)在空間平移變換下的變化規(guī)律，可導(dǎo)出空間平移算符。

（5-40）空間平移算符為（5-41）這里，由于，是體系的一個(gè)守恒量。實(shí)際上在空間平移變換下，體系的動(dòng)量守恒。

對(duì)有限大小的空間平移可以認(rèn)為通過(guò)連續(xù)作無(wú)限多次無(wú)窮小平移而得到，即

（5-42）如果體系沿空間任意方向作平移，其空間平移算符為

（5-43）對(duì)于自由粒子，其哈密頓量其哈密頓量沿空間任意方向作平移均保持不變，所以空間平移不變性導(dǎo)致動(dòng)量守恒。3.空間轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱性和角動(dòng)量守恒定律無(wú)論是自由粒子，還是在中心力場(chǎng)中的哈密頓量在空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換下都保持不變?？紤]繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)dθ,轉(zhuǎn)動(dòng)后的坐標(biāo)為因?yàn)閐θ→0，所以從在空間轉(zhuǎn)動(dòng)變換下的變化規(guī)律，可導(dǎo)出空間轉(zhuǎn)動(dòng)算符（5-44）空間轉(zhuǎn)動(dòng)算符為（5-45）這里，由于，是體系的一個(gè)守恒量。實(shí)際上在空間平移變換下，體系的角動(dòng)量守恒。對(duì)有限大小的空間轉(zhuǎn)動(dòng)可以認(rèn)為通過(guò)連續(xù)作無(wú)限多次無(wú)窮小轉(zhuǎn)動(dòng)而得到，即

（5-46）繞任意軸轉(zhuǎn)θ角的轉(zhuǎn)動(dòng)算符為

（5-47）5.4全同性原理1.全同粒子1)定義：在量子力學(xué)中，人們把固有性質(zhì)如電何、質(zhì)量、磁矩、自旋等內(nèi)稟屬性完全相同的粒子，稱為全同粒子。2)全同粒子特點(diǎn)：全同粒子在本質(zhì)上是不可區(qū)分的。3）全同性原理在全同粒子體系中，兩全同粒子相互代換，不引起體系狀態(tài)的改變。a.全同粒子體系的哈密頓算符具有交換不變性。由N個(gè)全同粒子組成的體系，第i個(gè)粒子的坐標(biāo)和自旋用表示，體系的哈密頓算符為將i和j對(duì)換，體系的哈密頓算符保持不變。即體系的薛定諤方程為：

（5-49）（5-48）

b.交換算符Pij。交換算符Pij表示第i個(gè)粒子和第j個(gè)粒子相互代換的運(yùn)算。即（5-50）式中ψ是任意波函數(shù)，哈密頓量具有交換不變性。得（5-51）Pij與H対易，Pij不顯含時(shí)間，Pij是守恒量，并且與H有共同的本征函數(shù)，交換后的波函數(shù)，與交換前的波函數(shù)只能相差一個(gè)常數(shù)，因此

（5-52）

（5-53）

因此，可見，全同粒子波函數(shù)滿足下列條件之一c全同粒子體系波函數(shù)的對(duì)稱性不隨時(shí)間變化。結(jié)論：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對(duì)稱的或反對(duì)稱的，其對(duì)稱性不隨時(shí)間改變。如果體系在某一時(shí)刻處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上，則它將永遠(yuǎn)處于對(duì)稱（或反對(duì)稱）態(tài)上?！ê瘮?shù)的特性。2.全同粒子的分類全同粒子的分為：Fermi（費(fèi)密子）子和Bose（玻色）子（1）Bose子凡自旋為?整數(shù)倍（s=0，1，2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換兩個(gè)粒子總是對(duì)稱的，遵從Bose統(tǒng)計(jì)，故稱為Bose子。如光子（自旋為1），處于基態(tài)的氦原子（自旋為零），

粒子（自旋為0）；由玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對(duì)稱的。如：g光子（s=1）；介子（s=0）。（2）Fermi子凡自旋為?半奇數(shù)倍（s=1/2，3/2，……)的粒子，其多粒子波函數(shù)對(duì)于交換兩個(gè)粒子總是反對(duì)稱的，遵從費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)，故稱為Fermi子。如電子、質(zhì)子、中子~；由費(fèi)密子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱的。例如：電子、質(zhì)子、中子（s=1/2）等粒子。5.4.2全同粒子組成的體系波函數(shù)的構(gòu)造1.兩個(gè)全同粒子組成的體系兩個(gè)全同粒子體系對(duì)稱和反對(duì)稱波函數(shù)的構(gòu)成(1)、兩個(gè)全同粒子（忽略它們的相互作用）Hamilton量表示為

(5-55)

h(q)表示單粒子的Hamilton量。h(q1)與h(q2)形式上完全相同，只不過(guò)q1q2互換而已。顯然

(2)、單粒子波函數(shù)

h(q)的本征方程為

（5-56）k為單粒子能量，k(q)

為相應(yīng)的歸一化單粒子波函數(shù)，k代表一組完備的量子數(shù)。(3)、交換簡(jiǎn)并設(shè)兩個(gè)粒子中有一個(gè)處于k1態(tài)，另一個(gè)處于k2態(tài)，則k1(q1)k2(q2)與k1(q2)k2(q1)對(duì)應(yīng)的能量都是k1+k2。這種與交換相聯(lián)系的簡(jiǎn)并，稱為交換簡(jiǎn)并。但這兩個(gè)波函數(shù)還不一定具有交換對(duì)稱性。(4)、滿足對(duì)稱條件波函數(shù)的構(gòu)成對(duì)于Bose子，要求波函數(shù)對(duì)于交換是對(duì)稱的。這里要分兩種情況：(a)，歸一化的對(duì)稱波函數(shù)可如下構(gòu)成：

(5-57)(b)，歸一化波函數(shù)為：

(5-58)是歸一化因子。(5)、對(duì)于Fermi子，要求波函數(shù)對(duì)于交換是反對(duì)稱的。歸一化的波函數(shù)可如下構(gòu)成：

(5-59)由上式可以看出，若，則，即這樣的狀態(tài)是不存在的。這就是著名的Pauli不相容原理。*注：兩個(gè)函數(shù)的和差可以構(gòu)成對(duì)稱或反對(duì)稱波函數(shù)。討論：(1)、若兩個(gè)Fermior所處狀態(tài)相同，則，即這樣的狀態(tài)是不存在的。說(shuō)明兩個(gè)全同費(fèi)米子不能處于同一狀態(tài)，這就是著名的Pauli不相容原理在兩個(gè)費(fèi)米子組成的體系中的表述，可以證明這一原理對(duì)于由多個(gè)全同費(fèi)米子組成的體系也是成立的。它可以表述為：不允許有兩個(gè)全同的Fermi子處于同一個(gè)單粒子態(tài)。在全同費(fèi)米子組成的體系內(nèi)，不可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子處于同一狀態(tài)。(2)、k1(q1)k2(q2)與k1(q2)k2(q1)本來(lái)是屬于二重簡(jiǎn)并能級(jí)k1+k2的兩個(gè)態(tài)，但是，由于波函數(shù)的對(duì)稱性的要求限制了只能用或，因而消除了簡(jiǎn)并；*注：由于對(duì)稱性的要求，消除了交換簡(jiǎn)并。2.N個(gè)全同粒子組成的體系N個(gè)全同粒子組成的體系，粒子間的相互作用忽略，體系的哈密頓算符為

(5-60)單個(gè)粒子的薛定諤方程為

(5-61)………體系的薛定諤方程為(5-62)體系的能級(jí)和波函數(shù)為(5-63)