高中數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)一輪復(fù)習(xí) 第四節(jié) 直線平面垂直的判定與性質(zhì)

課時作業(yè)(四十一)直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1．若l，m為兩條不同的直線，α為平面，且l⊥α，則“m∥α”是“m⊥l”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件A[由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，則m∥α或者m?α，必要性不成立．因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要條件，故選A．]2．如圖，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則C1在底面ABC上的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部A[由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1，因為AC?平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上．]3．(多選)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，則下列命題中正確的是()A．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，則α⊥βB．若m?α，α∥β，則m∥βC．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，則m∥lD．若m⊥n，m⊥α，n∥β，則α⊥βABC[由α，β是兩個平面，m，n是兩條直線知，在A中，m⊥n，m⊥α，n⊥β，由面面垂直的判定得α⊥β，故A正確；在B中，m?α，α∥β，由面面平行的性質(zhì)得m∥β，故B正確；在C中，α∩β＝l，m∥α，m∥β，由線面平行的性質(zhì)得m∥l，故C正確；在D中，m⊥n，m⊥α，n∥β，得α與β相交或平行，故D錯誤．故選ABC.]4．(多選)PA垂直于正方形ABCD所在平面，連接PB，PC，PD，AC，BD，則下列垂直關(guān)系正確的是()A．平面PAB⊥平面PBCB．平面PAB⊥平面PADC．平面PAB⊥平面PCDD．平面PAB⊥平面PACAB[由PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD得PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，則BC⊥平面PAB，又BC?平面PBC，得平面PAB⊥平面PBC，故A正確，同理可證B正確．]5．(多選)如圖所示，AB為圓O的直徑，點C在圓周上(異于點A，B)，直線PA垂直于圓O所在的平面，點M為線段PB的中點，以下四個命題正確的是()A．PA∥平面MOB B．MO∥平面PACC．OC⊥平面PAC D．平面PAC⊥平面PBCBD[∵PA?平面MOB，故A錯誤；∵OM是△PAB的中位線，∴OM∥PA，又OM?平面PAC，PA?平面PAC，∴OM∥平面PAC，故B正確；∵AB是直徑，∴BC⊥AC，∴又PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故C錯誤；又BC?平面PBC，∴平面PAC⊥平面PBC，故D正確．故選BD.]6．(開放型)(2023·北京卷)已知l，m是平面α外的兩條不同直線．給出下列三個論斷：①l⊥m；②m∥α；③l⊥α.以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：________．解析：若l⊥α，l⊥m，則m∥α，顯然①③?②正確；若l⊥m，m∥α，則l∥α，l與α相交但不垂直都可以，故①②?③不正確；若l⊥α，m∥α，則l垂直于α內(nèi)所有直線，在α內(nèi)必存在與m平行的直線，所以可推出l⊥m，故②③?①正確．答案：若l⊥m，l⊥α，則m∥α(答案不唯一)7.如圖，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，則在△ABC，△PAC的邊所在的直線中，與PC垂直的直線有__________；與AP垂直的直線有________．解析：∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直線AB，BC，AC.∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AP，即與AP垂直的直線是AB.答案：AB，BC，AC；AB8．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，∠BAC＝60°，PC⊥平面ABC，PC＝4，M是AB上的一個動點，則PM的最小值________．解析：如圖，過點C作CM⊥AB于點M，連接PM，∵PC⊥平面ABC，AB?平面ABC，∴PC⊥AB.又∵PC∩CM＝C，∴AB⊥平面PCM.又∵PM?平面PCM，∴PM⊥AB，此時PM最短．∵∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，AB＝8，∴AC＝ABcos60°＝4，∴CM＝ACsin60°＝2eq\r(3).∵PC⊥平面ABC，CM?平面ABC，∴PC⊥CM.∵在Rt△PCM中，CM＝2eq\r(3)，PC＝4，∴PM＝eq\r(CM2＋PC2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋42)＝2eq\r(7).答案：2eq\r(7)9．S是Rt△ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點．(1)求證：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC.證明：(1)如圖所示，取AB的中點E，連接SE，DE，在Rt△ABC中，D，E分別為AC，AB的中點，∴DE∥BC，又AB⊥BC，∴DE⊥AB.∵SA＝SB，∴△SAB為等腰三角形，∴SE⊥AB.又SE∩DE＝E，∴AB⊥平面SDE.又SD?平面SDE，∴AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D為AC的中點，∴SD⊥AC.又AC∩AB＝A，∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB＝BC，D為AC的中點，∴BD⊥AC.由(1)可知SD⊥平面ABC，又BD?平面ABC，∴SD⊥BD，又SD∩AC＝D，∴BD⊥平面SAC.10．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形．PA＝AB＝2，E是AB的中點，G是PD的中點．(1)求四棱錐P-ABCD的體積；(2)求證：AG∥平面PEC；(3)求證：平面PCD⊥平面PEC.解析：(1)易知V四棱錐P-ABCD＝eq\f(1,3)S正方形ABCD·PA＝eq\f(1,3)×2×2×2＝eq\f(8,3).(2)證明：如圖，取PC的中點F，連接EF和FG，則易得AE∥FG，且AE＝eq\f(1,2)CD＝FG.所以四邊形AEFG為平行四邊形，所以EF∥AG.因為EF?平面PEC，AG?平面PEC，所以AG∥平面PEC.(3)證明：易知CD⊥AD，CD⊥PA，因為PA∩AD＝A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AG?平面PAD，所以CD⊥AG.易知PD⊥AG，因為PD∩CD＝D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，所以AG⊥平面PCD，所以EF⊥平面PCD.又EF?平面PEC，所以平面PEC⊥平面PCD.11．(多選)如圖，一張A4紙的長、寬分別為2eq\r(2a)，2a，A，B，C，D分別是其四條邊的中點．現(xiàn)將其沿圖中虛線折起，使得P1，P2，P3，P4四點重合為一點P，從而得到一個多面體．下列關(guān)于該多面體的命題，正確的是()A．該多面體是三棱錐B．平面BAD⊥平面BCDC．平面BAC⊥平面ACDD．該多面體外接球的表面積為5πa2ABCD[由題意得該多面體是一個三棱錐，故A項正確；因為AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝P，所以AP⊥平面BCD，又因為AP?平面BAD，所以平面BAD⊥平面BCD，故B項正確；同理可證平面BAC⊥平面ACD，故C項正確；通過構(gòu)造長方體可得該多面體的外接球半徑R＝eq\f(\r(5),2)a，所以該多面體外接球的表面積為5πa2，故D項正確．綜上，正確的命題為ABCD項．]12．(開放型)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上的一動點，當(dāng)點M滿足________時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認為正確的條件即可)解析：∵PA⊥底面ABCD，∴BD⊥PA，連接AC，則BD⊥AC，且PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC.∴當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.答案：DM⊥PC(或BM⊥PC等)13．如圖1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，沿DE將△AED折起到△A1ED的位置，連接A1B，A1C，M，N分別為A1C，BE的中點，如圖2.(1)求證：DE⊥A1B；(2)求證：MN∥平面A1ED.解析：(1)證明：因為在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB＝2CD，DE⊥AB，沿DE將△AED折起到△A1ED的位置，所以DE⊥A1E，DE⊥BE，因為A1E∩BE＝E，所以DE⊥平面A1BE，因為A1B?平面A1BE，所以DE⊥A1B.(2)證明：取CD中點F，連接NF，MF，因為M，N分別為A1C，BE的中點，所以MF∥A1D，NF∥DE，又DE∩A1D＝D，NF∩MF＝F，DE?平面A1DE，A1D?平面A1DE，NF?平面MNF，MF?平面MNF，所以平面A1DE∥平面MNF.所以MN∥平面A1ED.14．(2023·廣東市調(diào)研檢測)如圖，已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，∠ABC＝60°，平面AEFC⊥平面ABCD，EF∥AC，且AE＝1，AC＝2EF.(1)求證：平面BED⊥平面AEFC；(2)若四邊形AEFC為直角梯形，且EA⊥AC，求點A到平面FCD的距離．解析：(1)因為四邊形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又BD?平面ABCD，平面AEFC⊥平面ABCD.平面AEFC∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面AEFC.又BD?平面BED，所以平面BED⊥平面AEFC.(2)設(shè)AC與BD相交于點O，連接OF.因為AO∥EF且AO＝EF，所以四邊形AOFE是平行四邊形．所以AE∥OF且AE＝OF.因為AE⊥AC，而平面AEFC⊥平面ABCD，平面AEFC∩平面ABCD＝AC，AE?平面AEFC，所以AE⊥平面ABCD.因為AE∥OF，所以O(shè)F⊥平面ABCD.法一：又AC，BD?平面ABCD，所以O(shè)F⊥AC，OF⊥BD.在Rt△OFC中，CF＝eq\r(OF2＋OC2)＝eq\r(2)，在Rt△OFD中，DF＝eq\r(OF2＋OD2)＝2，在△CFD中，CF＝eq\r(2)，DF＝DC＝2，所以CF邊上的高為eq\r(22－（\f(\r(2),2)）2)＝eq\f(\r(14),2)，所以S△CFD＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(14),2)＝eq\f(\r(7),2).設(shè)點A到平面CDF的距離為h，連接AF，因為VACDF＝VFACD，即eq\f(1,3)×h×S△CDF＝eq\f(1,3)×OF×S△ACD，所以h×eq\f(\r(7),2)＝1×eq\f(1,2)×2×2×eq\f(\r(3),2)，所以h＝eq\f(2\r(3),\r(7))＝eq\f(2\r(21),7).法二：過點O作OH⊥CD于點H，連接HF.因為OF⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以O(shè)F⊥CD.因為OH⊥CD，OF⊥CD，OF∩OH＝O，所以CD⊥平面HOF.因為HF?平面HOF，所以CD⊥HF.在△HOF中，HF＝eq\r(OF2＋OH2)＝eq\r(12＋（\f(\r(3),2)）2)＝eq\f(\r(7),2)，S△CDF＝eq