高中數(shù)學人教B版1第一章常用邏輯用語1．1命題與量詞

專題1、命題與量詞題型一、命題的判斷及真假1、命題的定義：用語言、符號或式子表達的，能判斷真假的陳述句叫做命題?！咀ⅰ浚?）求證是祈使句，帶“？”的是疑問句，帶“！”的是感嘆句，都不是命題。（2）命題必須滿足“是陳述句”和“可以判斷真假”這兩個條件。2、命題的真假：判斷為真的命題叫做真命題，判斷為假的命題叫做假命題．【例1】判斷下列語句是否是命題，若是，判斷其真假，并說明理由：(1)求證eq\r(3)是無理數(shù)．(2)若x∈R，x2＋4x＋4≥0.(3)你是高一的學生嗎？(4)并非所有的人都喜歡蘋果．(5)若x＋y和xy都是有理數(shù)，則x、y都是有理數(shù)．(6)60x＋9>4.解：(1)是祈使句，不是命題．(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，可以判斷真假，是命題，且是真命題．(3)是疑問句，不是命題．(4)是真命題，有的人喜歡蘋果，有的人不喜歡蘋果．(5)是假命題，如：eq\r(3)＋(－eq\r(3))和eq\r(3)·(－eq\r(3))都是有理數(shù)，但eq\r(3)和－eq\r(3)都是無理數(shù)．(6)不是命題，這種含有未知數(shù)的語句，未知數(shù)的取值能否使不等式成立，無法確定．【變式1】判斷下列語句中哪些是命題，是真命題還是假命題：(1)末位是0的整數(shù)能被5整除；(2)平行四邊形的對角線相等且互相平分；(3)兩直線平行，則斜率相等；(4)△ABC中，若∠A＝∠B，則sinA＝sinB；(5)余弦函數(shù)是周期函數(shù)嗎？解：(1)是命題，真命題；(2)是命題，假命題．因為平行四邊形的對角線不一定相等；(3)是命題，假命題．因為兩直線的斜率可能都不存在；(4)是命題，真命題；(5)不是命題，因為該語句不是陳述句．【變式2】下列命題：①面積相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，則|x|＋|y|＝0；③若a>b，則ac2>bc2；④矩形的對角線互相垂直．其中假命題的個數(shù)是（）A、1B、2C、3D、4解析：①等底等高的三角形都是面積相等的三角形，但不一定全等；②當x，y中一個為零，另一個不為零時，|x|＋|y|≠0；③當c＝0時不成立；④菱形的對角線互相垂直．矩形的對角線不一定垂直．【變式3】(1)下列語句為命題的是 （） A、對角線相等的四邊形B、同位角相等C、x≥2 D、x2－2x－3<0(2)下列語句中①{0}∈N；②他長得高；③地球上的四大洋；④5的平方是20.命題的個數(shù)是()A、1B、2C、3 D、4【變式4】下列語句中①空集是任何集合的真子集；②x2－3x－4＝0；③3x－2>0；④把門關上?、荽怪庇谕粭l直線的兩直線必平行嗎？命題的個數(shù)為()A、1個B、2個C、3個 D、4個【變式5】判斷下列命題的真假：(1)如果a>b，那么eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2.[誤解](1)真命題．(2)真命題．[辨析](1)錯誤地認為“比較大的實數(shù)的倒數(shù)反而小”，忽略了a、b的符號差異．(2)命題“方程x2－5x＋6＝0的根是x＝2”與命題“x＝2是方程x2－5x＋6＝0的根”是兩個不同的命題，前者是假命題，后者為真命題．【變式6】下列命題：①mx2＋2x－1＝0是一元二次方程；②拋物線y＝ax2＋2x－1與x軸至少有一個交點；③互相包含的兩個集合相等；④空集是任何集合的真子集，其中真命題有 ()A、1個 B、2個C、3個 D、4個【變式7】命題p：奇函數(shù)一定有f(0)=0；命題q：函數(shù)y=x+的單調(diào)遞減區(qū)間是[-1,0)(0,1]，則下列四個判斷中正確的是（）A、p真q真B、p真q假C、p假q真D、p假q假【變式8】關于平面向量a，b，c，有下列三個命題：①若a·b＝a·c，則b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2,6)，a∥b，則k＝－3；③非零向量a和b滿足|a|＝|b|＝|a－b|，則a與a＋b的夾角為60°.其中真命題的序號為________(寫出所有真命題的序號)．[解析]對于①，向量在等式兩邊不能相消，也可舉反例：當a⊥b且a⊥c，a·b＝a·c＝0，但此時b＝c不一定成立；對于②，在eq\f(1,－2)＝eq\f(k,6)，得k＝－3；對于③，根據(jù)平行四邊形法則，畫圖可知a與a＋b的夾角為30°，而不是60°.題型二、將命題改寫成“若p,則q”的形式命題的形式：在數(shù)學中，“若p,則q”是命題的常見形式，其中p叫做命題的條件，q叫做命題的結(jié)論?！咀ⅰ棵}的其他形式“如果p，那么q”，“只要p，就q”?！纠?】把下列命題改寫成“若p，則q”的形式：(1)各位數(shù)數(shù)字之和能被9整除的整數(shù)，可以被9整除；(2)斜率相等的兩條直線平行；(3)能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除；(4)鈍角的余弦值是負數(shù).解：(1)若一個整數(shù)的各位數(shù)數(shù)字之和能被9整除，則這個整數(shù)可以被9整除；(2)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行；(3)若一個數(shù)能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除；(4)若一個角是鈍角，則這個角的余弦值是負數(shù)．【變式1】指出下列命題的條件p與結(jié)論q，并判斷命題的真假：(1)若整數(shù)a是偶數(shù)，則a能被2整除；(2)對角線相等的平行四邊形是矩形；(3)相等的兩個角正切值相等．【變式2】把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷其真假。(1)ac>bc?a>b；(2)已知x、y為正整數(shù)，當y＝x＋1時，y＝3，x＝2；(3)當m>eq\f(1,4)時，mx2－x＋1＝0無實數(shù)根；(4)當abc＝0時，a＝0或b＝0或c＝0；(5)負數(shù)的立方是負數(shù)．解：(1)若ac>bc，則a>b，假命題，當c=0時不成立；(2)已知x、y為正整數(shù)，若y＝x＋1，則y＝3且x＝2,假命題；(3)若m>eq\f(1,4)，則mx2－x＋1＝0無實數(shù)根，真命題；(4)若abc＝0，則a＝0或b＝0或c＝0.真命題；(5)若一個數(shù)是負數(shù)，則這個數(shù)的立方是負數(shù)，真命題?！咀兪?】把下列命題寫成“若p，則q”的形式，并判斷是真命題還是假命題．(1)面積相等的兩個三角形全等；(2)當abc＝0時，a＝0，或b＝0，或c＝0；(3)對頂角相等．解(1)若兩個三角形面積相等，則這兩個三角形全等．假命題；(2)若abc＝0，則a＝0，或b＝0，或c＝0.真命題；(3)若兩個角為對頂角，則這兩個角相等．真命題．題型三、全稱命題與存在性命題的概念1、全稱量詞和全稱命題(1)全稱量詞：短語“所有”“任何一個”“每一個”在陳述中表示事物的全體，邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號表示．(2)全稱命題：含有全稱量詞的命題叫做全稱命題．事實上，全稱命題就是陳述某集合所有元素都具有某種性質(zhì)的命題．一般地，設p(x)是某集合M的所有元素都具有的性質(zhì)，那么全稱命題就是形如“對M中的所有x，p(x)”的命題，用符號簡記為．2．存在量詞和存在性命題(1)存在量詞：短語“有一個”“有些”在陳述中表示所述事物的個體或部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符合“”表示。(2)存在性命題：含有存在量詞的命題，叫做存在性命題．一般地，設q(x)是某集合M的有些元素x具有的某種性質(zhì)，那么存在性命題就是形如“存在集合M中的元素x,q(x)”的命題，用符號簡記為．常用量詞總結(jié)：全稱量詞：所有的、一切、每一個、任意一個、凡是等等；存在性量詞：存在、至少有一個、有些、某個、有一個等等?！纠?】判斷下列語句是全稱命題，還是存在性命題：(1)凸多邊形的外角和等于360°；(2)有的向量方向不定；(3)對任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一個函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(5)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直．[思路探索]先看是否有全稱量詞和存在量詞，當沒有時，要結(jié)合命題的具體意義進行判斷．解(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和都等于360°”，故為全稱命題．(2)含有存在量詞“有的”，故是存在性命題．(3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題．(4)含有存在量詞“有一個”，故為存在性命題．(5)若一個四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱命題．判定命題是全稱命題還是存在性命題，主要方法是看命題中是否含有全稱量詞和存在量詞；另外，有些全稱命題并不含有全稱量詞，這時我們就要根據(jù)命題涉及的意義去判斷．【變式1】用量詞符號“?”“?”表達下列命題：(1)實數(shù)都能寫成小數(shù)形式；(2)有一個實數(shù)α，tanα無意義；(3)對任意實數(shù)x，都有x3>x2.解(1)?x∈R，x能寫成小數(shù)形式．(2)?α∈R，使tanα無意義．(3)?x∈R，x3>x2.【變式2】若a、b∈R，且a2＋b2≠0，則①a、b全為0；②a、b不全為0；③a、b全不為0；④a、b至少有一個不為0.其中真命題的個數(shù)為()A、0B、1C、2 D、3[答案]C[解析]a、b全為零時，a2＋b2＝0，故①不正確；當a＝0，b≠0或a≠0，b＝0時，a2＋b2≠0，故③不正確；②④正確，【變式3】（1）下列語句不是全稱命題的是()A、任何一個實數(shù)乘以零都等于零B、自然數(shù)都是正整數(shù)C、高二·一班絕大多數(shù)同學是團員D、每一個向量都有大小（2）下列命題為存在性命題的是()A、偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱B、正四棱柱都是平行六面體C、不相交的兩條直線是平行直線D、存在實數(shù)大于等于3【變式4】以下四個命題既是存在性命題又是真命題的是()．A、銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B、至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C、兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D、存在一個負數(shù)x，使eq\f(1,x)>2解析A中銳角三角形的內(nèi)角都是銳角，所以是假命題；B中x＝0時，x2＝0，所以B既是存在性命題又是真命題；C中因為eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以C是假命題；D中對于任一個負數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以D是假命題．【變式5】用量詞符號“?”、“?”表達下列命題：(1)所有的有理數(shù)x都使得eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)；(2)一定有實數(shù)α、β，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)一定有整數(shù)x、y，使得3x－2y＝10；(4)所有的實數(shù)a、b，方程ax＋b＝0恰有一個解．[解析](1)?x∈Q，都能使得eq\f(1,3)x2＋eq\f(1,2)x＋1是有理數(shù)；(2)?α、β∈R，使得sin(α＋β)＝sinα＋sinβ；(3)?x、y∈Z，使得3x－2y＝10；(4)?a∈R，?b∈R，方程ax＋b＝0恰有一個解．題型四、全稱命題和存在性命題真假的判斷對于全稱命題“?x∈M，p(x)”，要判斷它為真，需要對集合M中的每個元素x，證明p(x)成立；要判斷它為假，只需在M中找到一個x0，使p(x0)不成立，即“?x0∈M，p(x0)不成立．”對于存在性命題“?x0∈M，p(x0)”，要判斷它為真，只需在M中找到x0，使p(x0)成立，要判斷它為假，需要判斷“?x∈M，p(x)不成立”．【例4】指出下列命題中，哪些是全稱命題，哪些是存在性命題，并判斷真假．(1)若a>0，且a≠1，則對任意實數(shù)x，ax>0；(2)對任意實數(shù)x1，x2，若x1<x2，則tanx1<tanx2；(3)?T0∈R，使sin(x＋T0)＝sinx；(4)?x0∈R，使xeq\o\al(2,0)＋1<0.解(1)(2)是全稱命題，(3)(4)是存在性命題．(1)∵ax>0(a>0，a≠1)恒成立，∴命題(1)是真命題．(2)存在x1＝0，x2＝π，x1<x2，但tan0＝tanπ，∴命題(2)是假命題．(3)y＝sinx是周期函數(shù)，2π就是它的一個周期，∴命題(3)是真命題．(4)對任意x∈R，x2＋1>0.∴命題(4)是假命題．[思路探索]判斷全稱命題為假時，可以用特例進行否定，判斷存在性命題為真時，可以用特例進行肯定．【變式1】判斷下列命題的真假：(1)?x∈R，x2＋2x＋1>0；(2)?x0∈R，|x0|≤0；(3)?x∈N*，log2x>0；(4)?x0∈R，cosx0＝eq\f(π,2).解(1)∵當x＝－1時，x2＋2x＋1＝0，∴原命題是假命題．(2)∵當x＝0時，|x|≤0成立，∴原命題是真命題．(3)∵當x＝1時，log2x＝0，∴原命題是假命題．(4)∵當x∈R時，cosx∈[－1，1]，而eq\f(π,2)>1，∴不存在x0∈R，使cosx0＝eq\f(π,2)，∴原命題是假命題．【變式2】判斷下列命題的真假．(1)任意兩向量a，b，若a·b>0，則a，b夾角為銳角；(2)?x，y為正實數(shù)，使x2＋y2＝0；(3)在平面直角坐標系中，任意有序?qū)崝?shù)對(x，y)都對應一點P；(4)存在一個函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．【自主解答】(1)a·b＝|a||b|·cosa，b>0，有cosa，b>0，又∵0≤a，b≤π，∴0≤a，b<eq\f(π,2)，即a，b的夾角為零或銳角．故它是假命題．(2)∵x2＋y2＝0時，x＝y(tǒng)＝0，故不存在x，y為正實數(shù)，使x2＋y2＝0，故它是假命題．(3)由有序?qū)崝?shù)對與平面直角坐標系中的點的對應關系知，它是真命題．(4)函數(shù)f(x)＝0既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，故它是真命題．【變式3】在下列存在性命題中①有的實數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；②有些三角形不是等腰三角形；③有的菱形是正方形，假命題的個數(shù)是()A．0B．1C．2 D．3[答案]A[解析]因為三個命題都是真命題，所以假命題的個數(shù)為0.【變式4】下列命題是假命題的是()A、?x∈R,3x>0B、?x∈N，x≥1C、?x∈Z，x<1 D、?x∈Q，eq\r(x)?Q[答案]B[解析]當x＝0時，0∈N，但0<1，故“?x∈N，x≥1”為假命題．【變式5】下列命題中的假命題是()A、?x∈R，x2＋2>0B、?x∈Z，x3<1C、?x∈N，x4≥1D、?x∈R，x2－3x＋2＝0【解析】對于A，?x∈R，x2＋2≥2>0，正確；對于B，由于－1∈Z，當x＝－1時能使x3<1，正確；對于C，由于0∈N，當x＝0時，x4≥1不成立，錯誤；對于D，由于1∈R，當x＝1時，x2－3x＋2＝0，正確．【答案】C【變式6】有四個關于三角函數(shù)的命題：p1∶?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝eq\f(1,2)；p2：?x，y∈R，sin(x－y)＝sinx－siny；p3：?x∈[0，π],eq\r(\f(1－cos2x,2))＝sinx；p4：sinx＝cosy?x＋y＝eq\f(π,2).其中的假命題是()A、p1，p4B、p2，p4C、p1，p3 D、p2，p3【解析】對?x∈R，sin2eq\f(x,2)＋cos2eq\f(x,2)＝1，∴p1為假命題；當x，y，x－y有一個為2kπ(k∈Z)時，sinx－siny＝sin(x－y)，∴p2是真命題；∵cos2x＝1－2sin2x，∴eq\f(1－cos2x,2)＝sin2x，又x∈[0，π]時，sinx≥0，∴p3是真命題；當x＝eq\f(3,4)π，y＝eq\f(π,4)時，sinx＝cosy，但eq\f(3,4)π＋eq\f(π,4)≠eq\f(π,2)，故p4為假命題．【答案】A題型五、根據(jù)命題的性質(zhì)求參數(shù)范圍【例5】已知函數(shù)f(x)＝x2－2x＋5.(1)是否存在實數(shù)m，使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立？并說明理由；(2)若存在實數(shù)x，使不等式m－f(x)>0成立，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)不等式m＋f(x)>0可化為m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4對于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在實數(shù)m使不等式m＋f(x)>0對于任意x∈R恒成立，此時m>－4.(2)不等式m－f(x)>0可化為m>f(x)．若存在實數(shù)x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.又f(x)＝(x－1)2＋4，∴f(x)min＝4，∴m>4.故所求實數(shù)m的取值范圍是(4，＋∞)．【變式1】對任意x>3，x>a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________．解析對任意x>3，x>a恒成立，即大于3的數(shù)恒大于a，∴a≤3.答案(－∞，3]【變式2】若存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0，則實數(shù)a的取值范圍是()．A、a<1B、a≤1C、－1<a<1 D、－1<a≤1解析當a≤0時，顯然存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋a<0；當a>0時，必需Δ＝4－4a2>0，解得－1<a<1，故0<a<1.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是a<1.答案A【變式3】若方程cos2x＋2sinx＋a＝0有實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍．解∵cos2x＋2sinx＋a＝0，∴a＝2sin2x－1－2sinx＝2(sin2x－sinx)－1,∴a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2).又－1≤sinx≤1，∴－eq\f(3,2)≤2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2)≤3.故當－eq\f(3,2)≤a≤3時，方程a＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2)有實數(shù)解，所以，所求實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3)).【變式4】若?x∈R，f(x)＝是單調(diào)減函數(shù)，則a的取值范圍是________．解析依題意有：0<a2－1<1?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－1>0,a2－1<1))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<－1或a>1,－\r(2)<a<\r(2)))?－eq\r(2)<a<－1或1<a<eq\r(2).答案(－eq\r(2)，－1)∪(1，eq\r(2))【變式5】已知命題“對于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解由于函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋1是開口向上的拋物線，x∈R，f(x)≥0∴Δ＝a2－4≤0得－2≤a≤2.【變式6】若?x∈R，函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖象和x軸恒有公共點，求實數(shù)a的取值范圍．解(1)當m＝0時，f(x)＝x－a與x軸恒相交，所以a∈R；(2)當m≠0時，二次函數(shù)f(x)＝mx2＋x－m－a的圖象和x軸恒有公共點的充要條件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．又4m2＋4am＋1≥0是一個關于m的二次不等式，恒成立的充要條件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.綜上所述，當m＝0時，a∈R；當m≠0，a∈[－1，1]．【變式7】已知函數(shù)f(x)對一切實數(shù)x，y均有f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x成立，且f(1)＝0.(1)求f(0)的值；(2)當f(x)＋2＞logax對于x∈(0，eq\f(1,2))恒成立時，求a的取值范圍．【解】(1)由已知等式f(x＋y)－f(y)＝(x＋2y＋1)x，令x＝1，y＝0，得f(1)－f(0)＝2，又因為f(1)＝0，所以f(0)＝－2.由(1)知f(0)＝－2，