內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市阿魯科爾沁旗天山第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市阿魯科爾沁旗天山第一中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.命題“若a＞b，則2a＞2b”的否命題為(

)

A.若a＞b，則有2a≤2b.

B.若a≤b，則有2a≤2b.

C.若a≤b，則有2a＞2b.

D.若2a≤2b，則有a≤b.參考答案：B略2.已知點(diǎn)，且F是橢圓的左焦點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，則的極小值是（）A．6

B．5

C.4

D．3參考答案：D設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,∵||+||=2a=4那么，||=4﹣||所以，||+||=4﹣||+||=4+（||﹣||）當(dāng)點(diǎn)位于P1時(shí)，||﹣||的差最小，其值為﹣||=此時(shí)，||+||也得到最小值，其值為3．故選D．

3.設(shè)f（x）、g（x）分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x＜0時(shí)，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0．且g（3）=0．則不等式f（x）g（x）＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞） B．（﹣3，0）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）參考答案：D【考點(diǎn)】3L：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)；63：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算；R1：不等式．【分析】先根據(jù)f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0可確定'＞0，進(jìn)而可得到f（x）g（x）在（﹣∞，0）上遞增，結(jié)合函數(shù)f（x）與g（x）的奇偶性可確定f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)，最后根據(jù)g（3）=0可求得答案．【解答】解：因f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，即'＞0故f（x）g（x）在（﹣∞，0）上遞增，又∵f（x），g（x）分別是定義R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，∴f（x）g（x）為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f（x）g（x）在（0，+∞）上也是增函數(shù)．∵f（3）g（3）=0，∴f（﹣3）g（﹣3）=0所以f（x）g（x）＜0的解集為：x＜﹣3或0＜x＜3故選D．4.已知i為虛數(shù)單位，a為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)z＝(a－2i)(1＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，則“點(diǎn)M在第四象限”是“a＝1”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：B【分析】把復(fù)數(shù)的表示形式寫(xiě)成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)復(fù)數(shù)在第四象限，得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)所滿足的條件，橫標(biāo)大于零，縱標(biāo)小于零，得到a的取值范圍，得到結(jié)果．【詳解】解：∵復(fù)數(shù)z＝（a﹣2i）（1+i）＝a+2+（a﹣2）i，∴在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)是（a+2，a﹣2），若點(diǎn)在第四象限則a+2＞0，a﹣2＜0，∴﹣2＜a＜2，∴“點(diǎn)M在第四象限”是“a＝1”的必要而不充分條件，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查充要條件問(wèn)題，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，考查各個(gè)象限的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，本題是一個(gè)基礎(chǔ)題．5.在平面斜坐標(biāo)系xoy中Dxoy=45°,點(diǎn)P的斜坐標(biāo)定義為：“若(其中分別為與斜坐標(biāo)系的x軸,y軸同方向的單位向量),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0)”．若F1(-1,0),F2(1,0),且動(dòng)點(diǎn)M(x,y)滿足,則點(diǎn)M在斜坐標(biāo)系中的軌跡方程為

(

)A.x-y=0

B.x+y=0C.x-y=0

D.x+y=0參考答案：D6.如圖，下列四個(gè)正方體圖形中，A、B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M、N、P分別為其所在棱的中點(diǎn)，能得出AB∥平面MNP的圖形序號(hào)是（） A．①② B．③④ C．②③ D．①④參考答案：D【考點(diǎn)】直線與平面平行的判定． 【專題】空間位置關(guān)系與距離． 【分析】根據(jù)直線與平面平行的判定方法，得出圖①④中AB∥平面MNP． 【解答】解：對(duì)于①，該正方體的對(duì)角面ADBC∥平面MNP，得出直線AB∥平面MNP； 對(duì)于②，直線AB和平面MNP不平行，因此直線AB與平面MNP相交； 對(duì)于③，易知平面PMN與正方體的側(cè)面AB相交，得出AB與平面MNP相交； 對(duì)于④，直線AB與平面MNP內(nèi)的一條直線NP平行，且直線AB?平面MNP，∴直線AB∥平面MNP； 綜上，能得出直線AB∥平面MNP的圖形的序號(hào)是①④． 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間中的直線與平面平行的判斷問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)結(jié)合圖形進(jìn)行分析，是基礎(chǔ)題目． 7.設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，若，則（

）A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B由題可得：，故對(duì)稱軸為

8.下面給出了關(guān)于復(fù)數(shù)的四種類比推理:①若a，b∈R，則a-b＞0a＞b”類比推出“若a，b∈C，則a-b＞0a＞b”;②復(fù)數(shù)的加減法運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的加減法運(yùn)算法則③由實(shí)數(shù)a絕對(duì)值的性質(zhì)|a|2=a2類比得到復(fù)數(shù)z的性質(zhì)|z|2=z2;④由向量加法的幾何意義可以類比得到復(fù)數(shù)加法的幾何意義.其中類比得到的結(jié)論錯(cuò)誤的是().A.①③ B.②④ C.②③ D.①④參考答案：A9.已知命題p：?x∈R，x+≥2；命題q：?x0∈[0，]，使sinx0+cosx0=，則下列命題中為真命題的是（）A．p∨（￢q） B．p∧（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∧q參考答案：D【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用．【分析】判斷兩個(gè)命題的真假，然后利用復(fù)合命題的真假判斷選項(xiàng)即可．【解答】解：對(duì)于命題p：當(dāng)x≤0時(shí)，x+≥2不成立，∴命題p是假命題，則￢p是真命題；對(duì)于命題q：sinx+cosx=sin（x+）∈[1，]，則q是真命題，所以（￢p）∧q．故選：D．10.設(shè)a∈R，則“a=1”是“直線l1：ax+2y﹣1=0與直線l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【分析】運(yùn)用兩直線平行的充要條件得出l1與l2平行時(shí)a的值，而后運(yùn)用充分必要條件的知識(shí)來(lái)解決即可．【解答】解：∵當(dāng)a=1時(shí)，直線l1：x+2y﹣1=0與直線l2：x+2y+4=0，兩條直線的斜率都是﹣，截距不相等，得到兩條直線平行，故前者是后者的充分條件，∵當(dāng)兩條直線平行時(shí)，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要條件．故選A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知復(fù)數(shù)滿足（其中是虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為

參考答案：212.棱長(zhǎng)為1的正四面體在水平面上的正投影面積為，則的最大值為

。參考答案：13.曲線在點(diǎn)P0處的切線平行于直線，則P0點(diǎn)的坐標(biāo)為

．參考答案：（1，0），（-1，4）略14.某觀察站C與兩燈塔A、B的距離分別為300米和500米，測(cè)得燈塔A在觀察站C北偏東30°，燈塔B在觀察站C南偏東30°處，則兩燈塔A、B間的距離為．參考答案：700米【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可求得AB的長(zhǎng)【解答】解：由題意，如圖，△ABC中，AC=300米，BC=500米，∠ACB=120°，利用余弦定理可得：AB2=3002+5002﹣2×300×500×cos120°，∴AB=700米，故答案為：700米．15.過(guò)點(diǎn)P（，1）且與圓x2+y2=4相切的直線方程．參考答案：【考點(diǎn)】圓的切線方程．【分析】點(diǎn)P（，1）是圓x2+y2=4上的一點(diǎn)，然后直接代入過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2，得圓的切線方程．【解答】解：∵把點(diǎn)P（，1）代入圓x2+y2=4成立，∴可知點(diǎn)P（，1）是圓x2+y2=4上的一點(diǎn)，則過(guò)P（，1）的圓x2+y2=4的切線方程為．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的切線方程，過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程為x0x+y0y=r2，此題是基礎(chǔ)題．16.等比數(shù)列中，前項(xiàng)和為，

參考答案：70略17.已知橢圓，，，斜率為－1的直線與C相交于A，B兩點(diǎn)，若直線OP平分線段AB，則C的離心率等于__________．參考答案：【分析】利用點(diǎn)差法求出的值后可得離心率的值．【詳解】設(shè)，則，故即，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，故即，所以即，故，填．【點(diǎn)睛】圓錐曲線中離心率的計(jì)算，關(guān)鍵是利用題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于的一個(gè)等式關(guān)系．而離心率的取值范圍，則需要利用坐標(biāo)的范圍、幾何量的范圍或點(diǎn)的位置關(guān)系構(gòu)建關(guān)于的不等式或不等式組．另外，與弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題，可用點(diǎn)差法求解．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在數(shù)列，中，,,,（）.（1）求數(shù)列、的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)的和，若對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）因?yàn)?，，，即?shù)列是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，所以.

，，，所以，當(dāng)時(shí)，，即.

（2）由

得，，

，，因?yàn)?，所?

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，隨的增大而增大，且，，；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，隨的增大而減小，且，，.綜上，.19.（本題15分）如圖，在四棱錐中，，底面是直角梯形，，且，，為的中點(diǎn).(1)

求證：；(2)

求二面角的余弦值；(3)

在線段AB上是否存在一點(diǎn)F（不與A,B重合），使得，若存在求出AF的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案：20.已知函數(shù)，其中.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）證明：對(duì)任意，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)；（Ⅲ）是否存在實(shí)數(shù)的值，使得函數(shù)在上存在最大值或最小值？若存在，求出實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理認(rèn)證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、有限與無(wú)限思想等。解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

……………1分令得：或所以的單調(diào)遞增區(qū)間為

……………3分（Ⅱ）

……………4分所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為：即：

……………6分即：，由得：所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線恒過(guò)定點(diǎn)

……………8分（Ⅲ），令，①當(dāng)，即時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，此時(shí)在上既無(wú)最大值也無(wú)最小值。

……………10分②當(dāng)，即或時(shí)，方程有兩個(gè)相異實(shí)根記為，由得的單調(diào)遞增區(qū)間為，由得的單調(diào)遞減區(qū)間為

……………11分，當(dāng)時(shí)，由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知所以函數(shù)不存在最大值.

…………12分當(dāng)時(shí)，，由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知，法一、所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)在上才有最小值?！?3分由得：，由韋達(dá)定理得：，化簡(jiǎn)得：，解得：或.綜上得：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上存在最大值或最小值?！?5分法二、由指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)性質(zhì)知，（接上）所以當(dāng)且僅當(dāng)有解時(shí)，在上存在最小值。即：在上有解，由解得：或綜上得：當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上存在最大值或最小值?！?5分

略21.（10分）已知的展開(kāi)式中第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的比為14:3（1）求展開(kāi)式中個(gè)項(xiàng)系數(shù)的和(2）求展開(kāi)式中含的項(xiàng)參考答案：n=10

(1)1

(2)-2022.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD，底面四邊形ABCD為菱形，AB=2，BD=2，M，N分別是線段PA，PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：MN∥平面ABCD；（Ⅱ）求異面直線MN與BC所成角的大小．參考答案：【考點(diǎn)】異面直線及其所成