高中數(shù)學北師大版2第一章統(tǒng)計案例

章末綜合測評(一)統(tǒng)計案例(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．在下列各量與量的關系中是相關關系的為()①正方體的體積與棱長之間的關系；②一塊農田的水稻產量與施肥量之間的關系；③人的身高與年齡之間的關系；④家庭的支出與收入之間的關系；⑤某戶家庭用電量與電費之間的關系．A．①②③ B．③④C．④⑤ D．②③④【解析】①⑤是一種確定性關系，屬于函數(shù)關系．②③④為相關關系．【答案】D2．四名同學根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關關系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結論：①y與x負相關且y＝－；②y與x負相關且y＝－＋；③y與x正相關且y＝＋；④y與x正相關且y＝－－.其中一定不正確的結論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④【解析】y與x正(或負)相關時，線性回歸直線方程y＝bx＋a中，x的系數(shù)b>0(或b<0)，故①④錯．【答案】D3．電視機的使用壽命與顯像管開關的次數(shù)有關．某品牌的電視機的顯像管開關了10000次后還能繼續(xù)使用的概率是，開關了15000次后還能繼續(xù)使用的概率是，則已經開關了10000次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到15000次的概率是()A． B．C． D．【解析】記“開關了10000次后還能繼續(xù)使用”為事件A，記“開關了15000次后還能繼續(xù)使用”為事件B，根據(jù)題意，易得P(A)＝，P(B)＝，則P(AB)＝，由條件概率的計算方法，可得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f,＝.【答案】A4．一位母親記錄了她兒子3歲到9歲的身高，建立了她兒子身高與年齡的回歸模型y＝＋，她用這個模型預測兒子10歲時的身高，則下面的敘述正確的是()A．她兒子10歲時的身高一定是145.83cmB．她兒子10歲時的身高一定是145.83cm以上C．她兒子10歲時的身高在145.83cm左右D．她兒子10歲時的身高一定是145.83cm以下【解析】由回歸模型得到的預測值是可能取值的平均值，而不是精確值，故選C．【答案】C5．(2023·咸陽高二檢測)已知一個線性回歸方程為y＝＋45，其中x的取值依次為1,7,5,13,19，則eq\x\to(y)＝()A． B．C．60 D．75【解析】∵eq\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，回歸直線過樣本點的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))，∴eq\o(y,\s\up6(－))＝×9＋45＝.【答案】A6．將兩枚質地均勻的骰子各擲一次，設事件A＝{兩個點數(shù)互不相同}，B＝{出現(xiàn)一個5點}，則P(B|A)＝()A．eq\f(1,3) B．eq\f(5,18)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,4)【解析】出現(xiàn)點數(shù)互不相同的共有6×5＝30種，出現(xiàn)一個5點共有5×2＝10種，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).【答案】A7．利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量X和Y是否有關系時，通過查閱下表來確定斷言“X和Y有關系”的可信度，如果k>，那么就有把握認為“X和Y有關系”的百分比為()p(χ2>k)kp(χ2>k)kA．25% B．75%C．% D．%【解析】查表可得χ2>.因此有%的把握認為“X和Y有關系”．【答案】D8．甲、乙兩隊進行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲得冠軍，乙隊需要再贏兩局才能獲得冠軍．若兩隊每局勝的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)【解析】由題意知，乙隊獲得冠軍的概率為eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，由對立事件概率公式得，甲隊獲得冠軍的概率為P＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).【答案】D9．種植兩株不同的花卉，若它們的成活率分別為p和q，則恰有一株成活的概率為()A．p＋q－2pq B．p＋q－pqC．p＋q D．pq【解析】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率為p(1－q)，乙花卉成活而甲花卉不成活的概率為q(1－p)，故恰有一株成活的概率為p(1－q)＋q(1－p)＝p＋q－2qp.【答案】A10．同時拋擲三顆骰子一次，設A：“三個點數(shù)都不相同”，B：“至少有一個6點”，則P(B|A)為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(60,91)C．eq\f(5,18) D．eq\f(91,216)【解析】P(A)＝eq\f(6×5×4,6×6×6)＝eq\f(120,216)，P(AB)＝eq\f(3×4×5,6×6×6)＝eq\f(60,216)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(60,216)×eq\f(216,120)＝eq\f(1,2).【答案】A11．以下關于線性回歸分析的判斷，正確的個數(shù)是()①若散點圖中所有點都在一條直線附近，則這條直線為回歸直線；②散點圖中的絕大多數(shù)都線性相關，個別特殊點不影響線性回歸，如圖1中的A，B，C點；③已知直線方程為y＝－，則x＝25時，y的估計值為；④回歸直線方程的意義是它反映了樣本整體的變化趨勢．圖1A．0 B．1C．2 D．3【解析】能使所有數(shù)據(jù)點都在它附近的直線不只一條，而據(jù)回歸直線的定義知，只有按最小二乘法求得回歸系數(shù)a，b得到的直線y＝bx＋a才是回歸直線，∴①不對；②正確；將x＝25代入y＝－，得y＝，∴③正確；④正確，故選D．【答案】D12．根據(jù)下面的列聯(lián)表得到如下四個判斷：①至少有%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”；②至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關”；③在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“患肝病與嗜酒有關”；④在犯錯誤的概率不超過的前提下認為“患肝病與嗜酒無關”.嗜酒不嗜酒總計患肝病70060760未患肝病20032232總計90092992其中正確命題的個數(shù)為()A．0 B．1C．2 D．3【解析】由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)可求得隨機變量χ2＝eq\f(992×700×32－60×2002,760×232×900×92)≈＞，所以在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為“患肝病與嗜酒有關系”，即至少有99%的把握認為“患肝病與嗜酒有關系”，因此②③正確．【答案】C二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．將答案填在題中的橫線上)13．已知x，y的取值如下表：x2356y從散點圖分析y與x具有線性相關關系，且回歸方程為y＝＋a，則a＝________.【解析】由題意得eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5，又(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))在直線y＝＋a上，所以a＝5－4×＝.【答案】14．已知P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(3,5)，則P(AB)＝________.【解析】由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,10).【答案】eq\f(3,10)15．為了判斷高中三年級學生是否選修文科與性別的關系，現(xiàn)隨機抽取50名學生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P(χ2≥≈，P(χ2≥≈.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到χ2＝eq\f(50×13×20－10×72,23×27×20×30)≈，則認為“選修文科與性別有關系”出錯的可能性為________.【解析】χ2≈>，故判斷出錯的可能性為.【答案】16．某小賣部為了了解熱茶銷售量y(杯)與氣溫x(℃)之間的關系，隨機統(tǒng)計了某4天賣出的熱茶的杯數(shù)與當天氣溫，并制作了對照表：氣溫(℃)181310－1杯數(shù)24343864由表中數(shù)據(jù)算得線性回歸方程y＝bx＋a中的b≈－2，預測當氣溫為－5℃時，熱茶銷售量為________eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(已知回歸系數(shù)b＝\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝\x\to(y)－b\x\to(x)))【解析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)可求得eq\x\to(x)＝eq\f(1,4)×(18＋13＋10－1)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f(1,4)×(24＋34＋38＋64)＝40.∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝40－(－2)×10＝60，∴y＝－2x＋60，當x＝－5時，y＝－2×(－5)＋60＝70.【答案】70三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17．(本小題滿分10分)甲袋中有8個白球，4個紅球，乙袋中有6個白球，6個紅球．從每袋中任取1個球，試問：取得同色球的概率是多少？【解】設從甲袋中任取1個球，事件A：“取得白球”，由此事件eq\x\to(A)：“取得紅球”，從乙袋中任取1個球，事件B：“取得白球”，由此事件eq\x\to(B)：“取得紅球”，則P(A)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,3)，P(B)＝eq\f(1,2)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2).因為A與B相互獨立，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)相互獨立，所以從每袋中任取1個球，取得同色球的概率為P(AB＋eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B)))＝P(AB)＋P(eq\a\vs4\al(\x\to(A))eq\a\vs4\al(\x\to(B)))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).18．(本小題滿分12分)吃零食是中學生中普遍存在的現(xiàn)象，吃零食對學生身體發(fā)育有諸多不利影響，影響學生的健康成長．下表是性別與吃零食的列聯(lián)表：男女總計喜歡吃零食51217不喜歡吃零食402868總計454085請問喜歡吃零食與性別是否有關？【解】χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，把相關數(shù)據(jù)代入公式，得χ2＝eq\f(85×5×28－40×122,17×68×45×40)≈>.因此，在犯錯誤的概率不超過的前提下，可以認為“喜歡吃零食與性別有關”．19．(本小題滿分12分)電視傳媒公司為了解某地區(qū)觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況，隨機抽取了100名觀眾進行調查，其中女性有55名．下面是根據(jù)調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖2：圖2將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”，已知“體育迷”中有10名女性．(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？非體育迷體育迷總計男女總計(2)將日均收看該體育節(jié)目不低于50分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育迷”中有2名女性，若從“超級體育迷”中任意選取2人，求至少有1名女性觀眾的概率．附：χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，P(χ2≥k)k【解】(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，“體育迷”有25人，從而完成2×2列聯(lián)表如下：非體育迷體育迷總計男301545女451055合計7525100將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算，得χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)＝eq\f(100×30×10－45×152,75×25×45×55)＝eq\f(100,33)≈.因為<，所以我們沒有理由認為“體育迷”與性別有關．(2)由頻率分布直方圖可知，“超級體育迷”為5人，從而一切可能結果所組成的基本事件空間為Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，其中ai表示男性，i＝1,2,3，bj表示女性，j＝1,2.Ω由10個基本事件組成，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用A表示“任選2人中，至少有1人是女性”這一事件，則A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，事件A由7個基本事件組成，因而P(A)＝eq\f(7,10).20．(本小題滿分12分)1號箱中有2個白球和4個紅球，2號箱中有5個白球和3個紅球，現(xiàn)隨機地從1號箱中取出一球放入2號箱，然后從2號箱隨機取出一球，問：(1)從1號箱中取出的是紅球的條件下，從2號箱取出紅球的概率是多少？(2)從2號箱取出紅球的概率是多少？【解】記事件A：最后從2號箱中取出的是紅球；事件B：從1號箱中取出的是紅球．P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3).P(eq\x\to(B))＝1－P(B)＝eq\f(1,3).(1)P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9).(2)∵P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(1,3)，∴P(A)＝P(A∩B)＋P(A∩eq\x\to(B))＝P(A|B)P(B)＋P(A|eq\x\to(B))P(eq\x\to(B))＝eq\f(4,9)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,27).21．(本小題滿分12分)在一個文娛網絡中，點擊觀看某個節(jié)目的累計人次和播放天數(shù)如下數(shù)據(jù)：播放天數(shù)12345678910點擊觀看的累計人次51134213235262294330378457533(1)畫出散點圖；(2)判斷兩變量之間是否有線性相關關系，求線性回歸方程是否有意義？(3)求線性回歸方程；(4)當播放天數(shù)為11天時，估計累計人次為多少？【解】(1)散點圖如下圖所示：(2)由散點圖知：兩變量線性相關，求線性回歸方程有意義．借助科學計算器，完成下表：i12345678910xi12345678910yi51134213235262294330378457533xiyi51268639940131017642310302441135330eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,10,x)eq\o\al(2,i)＝385，eq\i\su(i＝1,10,y)eq\o\al(2,i)＝1020953，eq\i\su(i＝1,10,x)iyi＝19749利用上表的結果，計算累計人次與播放天數(shù)之間的相關系數(shù)，r＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,10,y)\o\al(2,i)－10\x\to(y)2))＝eq\f(19749－10××,\r(385－10××\r(1020953－10×)≈.這說明累計人次與播放天數(shù)之間存在著較強的線性相關關系，所以求線性回歸方程有實際意義．(3)b＝eq\f(\i\su(i＝1,10,x)iyi－10\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,10,x)\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(19749－10××,385－10×≈，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈－×≈，因此所求的線性回歸方程是y＝＋.(4)當x＝11時，y的估計值是×11＋≈547.因此，當播