高中數(shù)學北師大版1本冊總復習總復習 學業(yè)分層測評6

學業(yè)分層測評(六)(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1．若空間任意兩個非零向量a，b，則|a|＝|b|，且a∥b是a＝b的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解析】a＝b?|a|＝|b|，且a∥b；所以，必要；當b＝－a時，有|a|＝|b|且a∥b，但a≠b，所以，不充分．故選B.【答案】B2．下列命題中正確的個數(shù)是()①如果a，b是兩個單位向量，則|a|＝|b|；②兩個空間向量共線，則這兩個向量方向相同；③若a，b，c為非零向量，且a∥b，b∥c，則a∥c；④空間任意兩個非零向量都可以平移到同一平面內(nèi)．A．1個 B．2個C．3個 D．4個【解析】對于①：由單位向量的定義即得|a|＝|b|＝1，故①正確；對于②：共線不一定同向，故②錯；對于③：正確；對于④：正確，在空間任取一點，過此點引兩個與已知非零向量相等的向量，而這兩個向量所在的直線相交于此點，兩條相交直線確定一個平面，所以兩個非零向量可以平移到同一平面內(nèi)．【答案】C3．如圖2-1-3所示，三棱錐A-BCD中，AB⊥面BCD，∠BDC＝90°，則在所有的棱表示的向量中，夾角為90°的共有()圖2-1-3A．3對 B．4對C．5對 D．6對【解析】夾角為90°的共有eq\o(BA,\s\up12(→))與eq\o(BD,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))與eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(DB,\s\up12(→))與eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(BA,\s\up12(→))與eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(DA,\s\up12(→))與eq\o(DC,\s\up12(→)).【答案】C4.在如圖2-1-4所示的正三棱柱中，與〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉相等的是()圖2-1-4A．〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉B．〈eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(CA,\s\up12(→))〉C．〈eq\o(C1B1,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉D．〈eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))〉【解析】∵eq\o(B1A1,\s\up12(→))＝eq\o(BA,\s\up12(→))，∴〈eq\o(BA,\s\up12(→))，eq\o(BC,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(AB,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(BC,\s\up12(→))，eq\o(B1A1,\s\up12(→))〉＝60°，故選D.【答案】D5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ACC1A\o(BD,\s\up12(→)) B．eq\o(BC1,\s\up12(→))\o(BD1,\s\up12(→)) D．eq\o(A1B,\s\up12(→))【解析】∵BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥面ACC1A1，故eq\o(BD,\s\up12(→))為平面ACC1A1的法向量．【答案】A二、填空題6．正四面體S-ABC中，E，F(xiàn)分別為SB，AB中點，則〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝________.【解析】如圖所示，∵E，F(xiàn)為中點，∴EF∥SA，而△SAC為正三角形，∴∠SAC＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(AC,\s\up12(→))〉＝eq\f(2π,3).【答案】eq\f(2π,3)7．下列命題正確的序號是________．①若a∥b，〈b，c〉＝eq\f(π,4)，則〈a，c〉＝eq\f(π,4)；②若a，b是同一個平面的兩個法向量，則a＝b；③若空間向量a，b，c滿足a∥b，b∥c，則a∥c；④異面直線的方向向量不共線．【導學號：32550022】【解析】①〈a，c〉＝eq\f(π,4)或eq\f(3π,4)，①錯；②a∥b，②錯；③當b＝0時，推不出a∥c，③錯；④由于異面直線既不平行也不重合，所以它們的方向向量不共線，④對．【答案】④圖2-1-58．如圖2-1-5，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G，H分別為AA1，AB，BB1，B1C1的中點，則異面直線EF與【解析】要求異面直線EF與GH所成的角就是求〈eq\o(FE,\s\up12(→))，eq\o(GH,\s\up12(→))〉，因為eq\o(FE,\s\up12(→))與eq\o(BA1,\s\up12(→))同向共線，eq\o(GH,\s\up12(→))與eq\o(BC1,\s\up12(→))同向共線，所以〈eq\o(FE,\s\up12(→))，eq\o(GH,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up12(→))，eq\o(BC1,\s\up12(→))〉，在正方體中△A1BC1為等邊三角形，所以〈eq\o(FE,\s\up12(→))，eq\o(GH,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(BA1,\s\up12(→))，eq\o(BC1,\s\up12(→))〉＝60°.【答案】60°三、解答題9.如圖2-1-6，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1圖2-1-6(1)寫出所有的單位向量；(2)寫出與eq\o(AB,\s\up12(→))相等的所有向量；(3)寫出與eq\o(AD,\s\up12(→))相反的所有向量；(4)寫出模為eq\r(5)的所有向量．【解】在長方體ABCD-A1B1C1D1中，因為長、寬、高分別為AB＝3，AD＝2，AA1＝1，所以AD1＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5).(1)單位向量有：eq\o(AA1,\s\up12(→))，eq\o(A1A,\s\up12(→))，eq\o(BB1,\s\up12(→))，eq\o(B1B,\s\up12(→))，eq\o(CC1,\s\up12(→))，eq\o(C1C,\s\up12(→))，eq\o(DD1,\s\up12(→))，eq\o(D1D,\s\up12(→)).(2)與eq\o(AB,\s\up12(→))相等的向量有：eq\o(DC,\s\up12(→))，eq\o(D1C1,\s\up12(→))，eq\o(A1B1,\s\up12(→)).(3)與eq\o(AD,\s\up12(→))相反的向量有：eq\o(DA,\s\up12(→))，eq\o(CB,\s\up12(→))，eq\o(C1B1,\s\up12(→))，eq\o(D1A1,\s\up12(→)).(4)模為eq\r(5)的向量有：eq\o(AD1,\s\up12(→))，eq\o(A1D,\s\up12(→))，eq\o(BC1,\s\up12(→))，eq\o(B1C,\s\up12(→))，eq\o(D1A,\s\up12(→))，eq\o(DA1,\s\up12(→))，eq\o(C1B,\s\up12(→))，eq\o(CB1,\s\up12(→)).圖2-1-710．如圖2-1-7所示，已知正四面體A-BCD.(1)過點A，作出方向向量為eq\o(BC,\s\up12(→))的空間直線；(2)過點A，作出平面BCD的一個法向量．【解】如圖所示，過點A作直線AE∥BC，由直線的方向向量的定義可知，直線AE即為過點A且方向向量為eq\o(BC,\s\up12(→))的空間直線．(2)如圖所示，取平面BCD的中心O，由正四面體的性質(zhì)可知，AO垂直于平面BCD，∴向量eq\o(AO,\s\up12(→))可作為平面BCD的一個法向量．[能力提升]1．空間兩向量a，b互為相反向量，已知向量|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)＝b B．a(chǎn)＋b為實數(shù)0C．a(chǎn)與b方向相同 D．|a|＝3【解析】∵a，b互為相反向量，∴a＝－b，又∵|b|＝3，∴|a|＝3.【答案】D2．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，下列四對向量：①eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(C1D1,\s\up12(→))；②eq\o(AC1,\s\up12(→))與eq\o(BD1,\s\up12(→))；③eq\o(AD1,\s\up12(→))與eq\o(C1B,\s\up12(→))；④eq\o(A1D,\s\up12(→))與eq\o(B1C,\s\up12(→)).其中互為相反向量的有n對，則n＝()A．1 B．2C．3 D．4【解析】eq\o(AB,\s\up12(→))與eq\o(C1D1,\s\up12(→))，eq\o(AD1,\s\up12(→))與eq\o(C1B,\s\up12(→))平行且方向相反，互為相反向量．【答案】B圖2-1-83．如圖2-1-8所示，四棱錐D1-ABCD中，AD＝DD1＝CD，底面ABCD是正方形，DD1⊥面ABCD，E是AD1的中點，求〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉．【解】取CD1的中點F，連接EF，DF，則eq\o(EF,\s\up12(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up12(→))，∴〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉，由AD＝DD1＝CD，且D1D⊥AD，D1D⊥CD，∴DE＝DF＝EF＝eq\f(\r(2),2)DD1，∴△EFD為正三角形，∠FED＝eq\f(π,3)，∴〈eq\o(AC,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉＝〈eq\o(EF,\s\up12(→))，eq\o(DE,\s\up12(→))〉＝eq\f(2π,3).4．如圖2-1-9，四棱錐V-ABCD，底面ABCD為正方形，VA⊥平面ABCD，以這五個頂點為起點和終點的向量中，求：【導學號：32550023】圖2-1-9(1)直線AB的方向向量；(2)求證：BD⊥平面VAC，并確定平面VAC的法向量．【解】(1)由已知得，在以這五個頂點為起點