高中數(shù)學(xué)蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．5圓錐曲線的共同性質(zhì) 第2章

圓錐曲線的共同性質(zhì)1.了解圓錐曲線的共同性質(zhì).(重點(diǎn))2.能用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題.(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理圓錐曲線的共同性質(zhì)閱讀教材P53至思考以上部分，完成下列問題.1.圓錐曲線的共同性質(zhì)：圓錐曲線上的點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)F和到一條定直線l(F不在定直線l上)的距離之比是一個(gè)常數(shù)e.這個(gè)常數(shù)e叫做圓錐曲線的離心率，定點(diǎn)F就是圓錐曲線的焦點(diǎn)，定直線l就是該圓錐曲線的準(zhǔn)線.2.圓錐曲線離心率的范圍：(1)橢圓的離心率滿足0＜e＜1，(2)雙曲線的離心率滿足e＞1，(3)拋物線的離心率滿足e＝1.3.橢圓和雙曲線的準(zhǔn)線方程：根據(jù)圖形的對稱性可知，橢圓和雙曲線都有兩條準(zhǔn)線，對于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓或雙曲線，準(zhǔn)線方程都是x＝±eq\f(a2,c).1.判斷正誤：(1)到定點(diǎn)F與定直線l的距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓錐曲線.()(2)離心率e＝1時(shí)不表示圓錐曲線.()(3)橢圓的準(zhǔn)線為x＝±eq\f(a2,c)(焦點(diǎn)在x軸上)，雙曲線的準(zhǔn)線為x＝±eq\f(c2,a)(焦點(diǎn)在x軸上).【解析】(1)×.定點(diǎn)F不在定直線l上時(shí)才是圓錐曲線.(2)×.當(dāng)e＝1時(shí)表示拋物線是圓錐曲線.(3)×.雙曲線的準(zhǔn)線也是x＝±eq\f(a2,c).【答案】(1)×(2)×(3)×2.離心率為eq\f(1,2)，準(zhǔn)線為x＝±4的橢圓方程為________.【解析】由題意知a＝2，c＝1，b2＝3，∴橢圓方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【答案】eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑問3：________________________________________________________解惑：________________________________________________________[小組合作型]求焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程求下列曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)x2－y2＝2；(2)4y2＋9x2＝36；(3)x2＋4y＝0；(4)3x2－3y2＝－2.【導(dǎo)學(xué)號：24830053】【精彩點(diǎn)撥】把方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式后，確定焦點(diǎn)的位置、利用公式求解.【自主解答】(1)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1.焦點(diǎn)在x軸上，a2＝2，b2＝2，c2＝4，c＝2.∴焦點(diǎn)為(±2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(2,2)＝±1.(2)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1.焦點(diǎn)在y軸上，a2＝9，b2＝4，c＝eq\r(5).∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，±eq\r(5))，準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(9,\r(5))＝±eq\f(9,5)eq\r(5).(3)由方程x2＝－4y知，曲線為拋物線，p＝2，開口向下，焦點(diǎn)為(0，－1)，準(zhǔn)線為y＝1.(4)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式eq\f(y2,\f(2,3))－eq\f(x2,\f(2,3))＝1，a2＝eq\f(2,3)，b2＝eq\f(2,3)，c＝eq\r(\f(2,3)＋\f(2,3))＝eq\f(2\r(3),3)，故焦點(diǎn)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，±\f(2,3)\r(3))).準(zhǔn)線方程為y＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(\f(2,3),\f(2\r(3),3))＝±eq\f(\r(3),3).1.已知圓錐曲線方程求焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程的一般思路是：首先確定圓錐曲線的類型，其次確定其標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后確定相關(guān)的參數(shù)值a，b，c或p，最后根據(jù)方程的特征寫出相應(yīng)的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.2.注意：橢圓、雙曲線有兩條準(zhǔn)線，而拋物線只有一條準(zhǔn)線，應(yīng)區(qū)別對待.[再練一題]1.求下列圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程：(1)3x2＋4y2＝12；(2)2x2－y2＝4.【解】(1)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.焦點(diǎn)在x軸上，a2＝4，b2＝3，c2＝1，c＝1.∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)＝±4.(2)化方程為標(biāo)準(zhǔn)形式：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,4)＝1.焦點(diǎn)在x軸上，a2＝2，b2＝4，c2＝6，c＝eq\r(6).∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±eq\r(6)，0)，準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(2,\r(6))＝±eq\f(\r(6),3).利用圓錐曲線的定義求距離雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1上有一點(diǎn)P，它到右準(zhǔn)線的距離為eq\f(11,5)，求它到左焦點(diǎn)的距離.【精彩點(diǎn)撥】首先判定點(diǎn)P在雙曲線的左支還是右支上，然后利用性質(zhì)把到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離求解.【自主解答】雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1的左準(zhǔn)線和右準(zhǔn)線分別為x＝－eq\f(9,5)和x＝eq\f(9,5)，若點(diǎn)P在雙曲線的左支上，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的最小距離為eq\f(9,5)－(－3)＝eq\f(24,5)＞eq\f(11,5)，故點(diǎn)P不可能在左支上，而在右支上，所以點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離為eq\f(11,5)e＝eq\f(11,3)，再根據(jù)雙曲線的定義知PF1－PF2＝6，即PF1＝6＋PF2＝6＋eq\f(11,3)＝eq\f(29,3).即點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為eq\f(29,3).解決這類圓錐曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離問題的一般思路有兩種：(1)先利用統(tǒng)一定義進(jìn)行曲線上點(diǎn)到焦點(diǎn)與相應(yīng)準(zhǔn)線距離之間的相互轉(zhuǎn)化，再利用對應(yīng)的圓錐曲線定義進(jìn)行曲線上點(diǎn)到兩不同焦點(diǎn)距離之間的轉(zhuǎn)化來解決；(2)把思路(1)的兩步過程交換先后順序來解決.[再練一題]2.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線的距離為eq\f(28,3)，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離.【導(dǎo)學(xué)號：24830054】【解】橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1中，a2＝25，b2＝16，則a＝5，c＝3，故離心率為e＝eq\f(3,5).由圓錐曲線的性質(zhì)得點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為eq\f(28,3)e＝eq\f(28,5)，再根據(jù)橢圓的定義得，P到右焦點(diǎn)的距離為2a－eq\f(28,5)＝10－eq\f(28,5)＝eq\f(22,5).[探究共研型]利用圓錐曲線的定義求最值探究1根據(jù)橢圓(雙曲線)的共同性質(zhì)，橢圓(雙曲線)上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離PF，與點(diǎn)P到對應(yīng)準(zhǔn)線的距離d有什么關(guān)系？【提示】eq\f(PF,d)＝e，即PF＝de(e為橢圓或雙曲線的離心率).探究2設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1內(nèi)一點(diǎn)A(1,1)，P為橢圓上一點(diǎn)，過P作橢圓的準(zhǔn)線x＝4的垂線，垂足為D，則PA＋PD的最小值是什么？【提示】過A作直線x＝4的垂線交橢圓于P，垂足為D，則PA＋PD最小，最小值為AD＝4－1＝3.探究3設(shè)橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1外一點(diǎn)M(1,3)，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，P為橢圓上一點(diǎn)，P到橢圓的準(zhǔn)線x＝4的距離為PD，則PA＋eq\f(1,2)PD的最小值是什么？【提示】易知橢圓的離心率是e＝eq\f(1,2)，由eq\f(PF,PD)＝eq\f(1,2)，得PF＝eq\f(1,2)PD，故PA＋eq\f(1,2)PD＝PA＋PF≥AF＝3.即PA＋eq\f(1,2)PD的最小值是3.已知橢圓eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,9)＝1內(nèi)有一點(diǎn)M(1,2)，F(xiàn)是橢圓在y軸正半軸上的一個(gè)焦點(diǎn)，在橢圓上求一點(diǎn)P，使得MP＋3PF的值最小.【精彩點(diǎn)撥】因?yàn)闄E圓離心率為eq\f(1,3)，∴eq\f(PF,d)＝eq\f(1,3)(d為P到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離)，∴3PF＝d，將MP＋3PF轉(zhuǎn)化為MP＋d.【自主解答】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，y0)，P到F對應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d，由方程知a2＝9，a＝3，b2＝8，c2＝1，∴e＝eq\f(1,3)，∴eq\f(PF,d)＝eq\f(1,3)，∴3PF＝d，∴MP＋3PF＝MP＋d.當(dāng)MP與準(zhǔn)線l垂直時(shí)MP＋d最小.此時(shí)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0＝1，將x0＝1代入橢圓方程eq\f(x\o\al(2,0),8)＋eq\f(y\o\al(2,0),9)＝1，得y0＝eq\f(3,4)eq\r(14).∴P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,4)\r(14)))，最小距離為eq\f(a2,c)－2＝9－2＝7.即MP＋3PF的最小值為7.求距離和的最小值的關(guān)鍵在于把折線變成直線，此過程需借助于圓錐曲線的統(tǒng)一定義進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合與等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.[再練一題]3.如圖2-5-1所示，已知F是雙曲線eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1的左焦點(diǎn)，定點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,1)，P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則eq\f(1,2)PF＋PA的最小值為多少？圖2-5-1【解】由eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1知a＝2，c＝4，e＝2.設(shè)點(diǎn)M是點(diǎn)P在左準(zhǔn)線上的射影.則PM是P到左準(zhǔn)線x＝－1的距離，則eq\f(PF,PM)＝2.所以eq\f(1,2)PF＝PM，所以eq\f(1,2)PF＋PA＝PM＋PA.顯然當(dāng)A，P，M三點(diǎn)共線時(shí)，eq\f(1,2)PF＋PA的值最小，即eq\f(1,2)PF＋PA的最小值為點(diǎn)A到雙曲線左準(zhǔn)線的距離：3＋eq\f(a2,c)＝3＋eq\f(4,4)＝4.故eq\f(1,2)PF＋PA的最小值為4.1.橢圓eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1的準(zhǔn)線方程是________.【解析】由方程可知a2＝3，b2＝2，c2＝1，∴c＝1，則準(zhǔn)線方程為x＝±eq\f(a2,c)＝±3.【答案】x＝±32.雙曲線y2－x2＝－4的準(zhǔn)線方程是________.【解析】把雙曲線方程化為eq\f(x2,4)－eq\f(y2,4)＝1，∴a2＝4，b2＝4，c2＝8，即c＝2eq\r(2)，故準(zhǔn)線方程是x＝±eq\f(a2,c)＝±eq\f(4,2\r(2))＝±eq\r(2).【答案】x＝±eq\r(2)3.若橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，準(zhǔn)線方程是x＝12，則該橢圓的方程是________.【解析】易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，且c＝1，故準(zhǔn)線方程是x＝eq\f(a2,c)＝a2＝12，則b2＝a2－c2＝11，故橢圓方程是eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝1.【答案】eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,11)＝14.橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)的距離為2，則點(diǎn)P到對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為________.【解析】由題意知a＝2，c＝1，∴e＝eq\f(1,2)，所以p到準(zhǔn)線的距離為2÷eq\f(1,2)＝4.【答案】45.橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1上有一點(diǎn)P，它到橢圓的左準(zhǔn)線的距離為10，求點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離.【導(dǎo)學(xué)號：24830055】【解析】橢圓eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,36)＝1中，a2＝100，b2＝36，則a＝10，c＝eq\r(a2－b2)＝8，故離心率為e＝eq\f(4,5).根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義得，點(diǎn)P到橢圓的左焦點(diǎn)的距離為10e＝8.再根據(jù)橢圓的定義得，點(diǎn)P到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為20－8＝12.我還有這些不足