高中數(shù)學蘇教版第二章平面向量向量的線性運算 2023版第2章

向量的線性運算2.1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意義及其幾何意義.重點2.掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，并能熟練地運用這兩個法則作兩個向量的加法運算.重點、易錯點3.了解向量加法的交換律和結(jié)合律，并能依據(jù)幾何意義作圖解釋向量加法運算律的合理性.難點[基礎·初探]教材整理1向量的加法閱讀教材P63第1，2自然段及P64思考前的有關內(nèi)容，完成下列問題．1.向量加法的定義求兩個向量和的運算叫做向量的加法．2.向量加法的運算法則(1)三角形法則：如圖2-2-1，已知向量a和b，在平面內(nèi)任取一點O，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(AB,\s\up15(→))＝b，則向量eq\o(OB,\s\up15(→))叫做a與b的和，記作a＋b，即a＋b＝eq\o(OA,\s\up15(→))＋eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(OB,\s\up15(→)).圖2-2-1(2)平行四邊形法則：如圖2-2-2，已知兩個不共線的非零向量a，b，作eq\o(OA,\s\up15(→))＝a，eq\o(OC,\s\up15(→))＝b，以OA，OC為鄰邊作?OABC，則以O為起點的對角線上的向量eq\o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，如圖．這個法則叫做向量加法的平行四邊形法則．圖2-2-2判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)兩個向量相加就是兩個向量的模相加．()(2)兩個向量相加，結(jié)果有可能是個數(shù)量．()(3)向量加法的平行四邊形法則適合任何兩個向量相加．()【解析】(1)錯誤，向量相加，結(jié)果仍是一個向量；(2)錯誤，向量相加與向量長度、方向都有關；(3)錯誤，向量加法的平行四邊形法則適合有相同起點的向量相加．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2向量加法的運算律閱讀教材P63，完成下列問題．(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(3)a＋0=0+a＝a.(4)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0.1．化簡：eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝________.【解析】(eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→)))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝(eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→)))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))【答案】eq\o(AD,\s\up15(→))\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝________.【解析】eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(CA,\s\up15(→))＝0.【答案】0[小組合作型]向量的加法運算(1)在正六邊形ABCDEF中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(AF,\s\up15(→))＝b，則eq\o(AC,\s\up15(→))＝________，eq\o(AD,\s\up15(→))＝________，eq\o(AE,\s\up15(→))＝________.(2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝________.【精彩點撥】(1)結(jié)合正六邊形的性質(zhì)及向量的平行四邊形法則求解．(2)由向量加法的三角形法則求解．【自主解答】(1)如圖，連結(jié)FC交AD于點O，連結(jié)OB，由平面幾何知識得四邊形ABOF，四邊形ABCO均為平行四邊形．根據(jù)向量的平行四邊形法則，有eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AF,\s\up15(→))＝a＋b.在平行四邊形ABCO中，eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AO,\s\up15(→))＝a＋a＋b＝2a＋\o(AD,\s\up15(→))＝2eq\o(AO,\s\up15(→))＝2a＋2b.而eq\o(FE,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＝a＋b，由三角形法則得：eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AF,\s\up15(→))＋eq\o(FE,\s\up15(→))＝b＋a＋b＝a＋2b.(2)eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CD,\s\up15(→))＋eq\o(DF,\s\up15(→))＋eq\o(FA,\s\up15(→))＝0.【答案】(1)2a＋b2a＋2ba＋2b(2)01．解決該類題目要靈活應用向量加法運算，注意各向量的起點、終點及向量起點、終點字母排列順序，特別注意勿將0寫成0.2．運用向量加法求和時，在圖中表示“首尾相接”時，其和向量是從第一個向量的起點指向最后一個向量的終點．[再練一題]1.四邊形ABCD是邊長為1的正方形，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，eq\o(AC,\s\up15(→))＝c，作向量a＋b＋c，并求|a＋b＋c|.【導學號：48582076】【解】如圖，延長AC到E，使AC＝CE，則eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))，∴a＋b＋c＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(CE,\s\up15(→))＝eq\o(AE,\s\up15(→))，即eq\o(AE,\s\up15(→))為所求作的向量．∵四邊形ABCD是邊長為1的正方形，∴|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝eq\r(2)，∴|eq\o(AE,\s\up15(→))|＝2|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝2eq\r(2).故|a＋b＋c|＝2eq\r(2).利用向量證明幾何問題在?ABCD的對角線BD的延長線及反向延長線上，取點F，E，使BE＝DF(如圖2-2-3)．用向量的方法證明：四邊形AECF也是平行四邊形．圖2-2-3【精彩點撥】要證AECF是平行四邊形，只要證eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(FC,\s\up15(→)).【自主解答】因為eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BE,\s\up15(→))，eq\o(FC,\s\up15(→))＝eq\o(FD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))，又因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→)).因為FD＝BE，且eq\o(FD,\s\up15(→))與eq\o(BE,\s\up15(→))的方向相同，所以eq\o(FD,\s\up15(→))＝eq\o(BE,\s\up15(→)).所以eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BE,\s\up15(→))＝eq\o(FD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))，即eq\o(AE,\s\up15(→))＝eq\o(FC,\s\up15(→))，所以AE與FC平行且相等，所以四邊形AECF是平行四邊形．用向量證明幾何問題的一般步驟：1要把幾何問題中的邊轉(zhuǎn)化成相應的向量；2通過向量的運算及其幾何意義得到向量間的關系.[再練一題]2.已知四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，且eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))＝Deq\o(O,\s\up15(→))，求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【證明】如圖，eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(AO,\s\up15(→))＋eq\o(OB,\s\up15(→))，eq\o(DC,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))＋eq\o(OC,\s\up15(→))，又∵eq\o(AO,\s\up15(→))＝eq\o(OC,\s\up15(→))，eq\o(OB,\s\up15(→))＝eq\o(DO,\s\up15(→))，∴eq\o(AB,\s\up15(→))＝eq\o(DC,\s\up15(→)).即AB∥CD，且|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝|eq\o(DC,\s\up15(→))|，∴四邊形ABCD是平行四邊形．[探究共研型]向量加法在實際問題中的應用探究1速度、位移等物理量是向量嗎？為什么？【提示】是向量．因為它們既有大小，又有方向，具有向量的兩個要素．探究2利用向量加法解決實際問題的關鍵是什么？【提示】關鍵是把實際問題向量模型化，并借助向量加法知識解決實際問題．已知小船在靜水中的速度與河水的流速都是10km/h，問：(1)小船在河水中行駛的實際速度的最大值與最小值分別是多少？(2)如果小船在河南岸M處，對岸北偏東30°有一碼頭N，小船的航向如何確定才能直線到達對岸碼頭？(河水自西向東流)【精彩點撥】(1)結(jié)合向量共線知識求解；(2)借助三角形的邊角關系求解．【自主解答】(1)小船順流行駛時實際速度最大，最大值為20km/h；小船逆流行駛時實際速度最小，最小值為0km/h，此時小船是靜止的．(2)如圖所示，設eq\o(MA,\s\up15(→))表示水流的速度，eq\o(MN,\s\up15(→))表示小船實際過河的速度．設MC⊥MA，|eq\o(MA,\s\up15(→))|＝|eq\o(MB,\s\up15(→))|＝10，∠CMN＝30°.∵eq\o(MA,\s\up15(→))＋eq\o(MB,\s\up15(→))＝eq\o(MN,\s\up15(→))，∴四邊形MANB為菱形．則∠AMN＝60°，∴△AMN為等邊三角形．在△MNB中，|eq\o(BN,\s\up15(→))|＝|eq\o(MN,\s\up15(→))|＝|eq\o(MB,\s\up15(→))|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由M直達碼頭N，其航向應為北偏西30°.解決與向量有關的實際應用題，應本著如下步驟：弄清實際問題→轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題→正確畫出示意圖→用向量表示實際量→向量運算→回扣實際問題—作出解答.[再練一題]3．小雨滴在無風時以4m/s的速度勻速下落．一陣風吹來，使得小雨滴以3m/s的速度向東移動．那么小雨滴將以多大的速度落地？方向如何？(提示：tan37°＝eq\f(3,4))【解】如圖，設eq\o(OA,\s\up15(→))表示小雨滴無風時下落的速度，eq\o(OB,\s\up15(→))表示風的速度，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則eq\o(OC,\s\up15(→))就是小雨滴實際飛行的速度．在Rt△OAC中，|eq\o(OA,\s\up15(→))|＝4m/s，|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝3m/s，所以|eq\o(OC,\s\up15(→))|＝＝5m/s.且tan∠AOC＝＝eq\f(3,4)，即∠AOC≈37°.所以小雨滴實際飛行速度為5m/s，方向約為南偏東37°.1．在△ABC中，eq\o(AB,\s\up15(→))＝a，eq\o(BC,\s\up15(→))＝b，則a＋b＝________.【解析】a＋b＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→)).【答案】eq\o(AC,\s\up15(→))2．如圖2-2-4所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝________.(填序號)①eq\o(AD,\s\up15(→))；②eq\o(DB,\s\up15(→))；③eq\o(BC,\s\up15(→))；④eq\o(CB,\s\up15(→)).圖2-2-4【解析】∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))，∴eq\o(BC,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(AD,\s\up15(→))＋eq\o(DC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(AC,\s\up15(→))＋eq\o(BA,\s\up15(→))＝eq\o(BC,\s\up15(→)).【答案】③3．在四邊形中，若eq\o(AC,\s\up15(→))＝eq\o(AB,\s\up15(→))＋eq\o(AD,\s\up15(→))，則四邊形ABCD一定是________．【解析】結(jié)合平行四邊形法則可知，ABCD一定是平行四邊形．【答案】平行四邊形4.設a表示“向東走5km”，b表示“向南走5km”，則a＋b表示________.【導學號：48582077】【解析】如圖所示，eq\o(AC,\s\up15(→))＝a＋b，|eq\o(AB,\s\up15(→))|＝5，|eq\o(BC,\s\up15(→))|＝5，且AB⊥BC，則|eq\o(AC,\s\up15(→))|＝5eq\r(2)