高中數(shù)學(xué)人教A版2第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用單元測(cè)試 章末過(guò)關(guān)檢測(cè)卷

章末過(guò)關(guān)檢測(cè)卷(一)(本部分在學(xué)生用書單獨(dú)成冊(cè))(測(cè)試時(shí)間：120分鐘評(píng)價(jià)分值：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分；在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若函數(shù)f(x)＝ax4＋bx2＋c滿足f′(1)＝2，則f′(－1)＝(B)A．－1B．－2C．2D．0分析：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)．解析：f′(x)＝4ax3＋2bx，則此函數(shù)為奇函數(shù)，所以f′(－1)＝－f′(1)＝－2.2.一輛汽車按規(guī)律s＝at2＋1作直線運(yùn)動(dòng)，若汽車在t＝2時(shí)的瞬時(shí)速度為12，則a＝(D)\f(1,2)\f(1,3)C．2D．3解析：由s＝at2＋1得v(t)＝s′＝2at，依題意v(2)＝12，所以2a×2＝12，得a＝3.故選3．(2023·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)曲線y＝ax－ln(x＋1)在點(diǎn)(0，0)處的切線方程為y＝2x，則a＝(D)A．0B．1C．2D．3解析：因?yàn)閥′＝a－eq\f(1,x＋1)，所以a－1＝2，解得a＝3.故選D.4．(2023·鄭州二模改編)如圖，y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，若g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝(B)A．－1B．0C．2D．3解析：由題意直線l：y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，由圖像可知其切點(diǎn)為(3，1)代入直線方程得k＝－eq\f(1,3)，所以f′(x)＝－eq\f(1,3)，g′(x)＝(xf(x))′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)＝1＋3×(－eq\f(1,3))＝0.故選B.5．(2023·泰安高二檢測(cè))函數(shù)f(x)＝x3＋3x2＋3x－a的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(C)A．2B．1C．0D．由a確定解析：f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞增，故f(x)無(wú)極值點(diǎn)，選C.6．(2023·四川南充市第三次適應(yīng)性考試)若函數(shù)f(x)＝2xf′(1)＋x2，則eq\f(f′（－1）,f（－1）)＝(D)A．－eq\f(3,4)\f(3,4)C．－eq\f(5,6)D．－eq\f(6,5)解析：因?yàn)閒(x)＝2xf′(1)＋x2，所以f′(x)＝2f′(1)＋2x，令x＝1，得f′(1)＝－2，所以f(x)＝－4x＋x2，則f(－1)＝5，而f′(x)＝－4＋2x，所以f′(－1)＝－6，即eq\f(f′（－1）,f（－1）)＝－eq\f(6,5).故選D.7．(2023·山東卷)直線y＝4x與曲線y＝x3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為(D)A．2eq\r(2)B．4eq\r(2)C．2D．4解析：由已知得，S＝eq\a\vs4\al()eq\o\al(2,0)(4x－x3)dx＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,4)x4))eq\a\vs4\al(|)eq\o\al(2,0)＝4，故選D.8．函數(shù)y＝f(x)在定義域eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，3))內(nèi)可導(dǎo)，其圖象如下圖所示，記y＝f(x)的導(dǎo)函數(shù)為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≤0的解集為(A)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪[2，3]\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(8,3)))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(1,2)))∪[1，2]\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－1))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(4,3)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,3)，3))解析：依題意，當(dāng)f′(x)≤0時(shí)，函數(shù)y＝f(x)是減函數(shù)，由圖象知，x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，1))∪[2，3]，選擇A.9．在函數(shù)y＝x3－8x的圖象上，其切線的傾斜角小于eq\f(π,4)的點(diǎn)中，坐標(biāo)為整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(D)A．3B．2C．1D．0解析：由于y′＝(x3－8x)′＝3x2－8，由題意，得0<3x2－8<1，eq\f(8,3)<x2<3，解得－eq\r(3)<x<－eq\f(2,3)eq\r(6)，eq\f(2,3)eq\r(6)<x<eq\r(3)，所以整數(shù)x不存在，故不等式的整數(shù)解有0個(gè)．故選D.10．(2023·深圳第一次調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,ax)在(－∞，－1)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(D)A．[1，＋∞)B．(－∞，0)∪(0，1]C．(0，1]D．(－∞，0)∪[1，＋∞)解析：f′(x)＝1－eq\f(1,ax2)，依題意，f′(x)>0在(－∞，1)上恒成立，即1－eq\f(1,ax2)>0在(－∞，－1)上恒成立．當(dāng)a<0時(shí)，1－eq\f(1,ax2)>0在(－∞，－1)上恒成立，排除選項(xiàng)A、C；取a＝2，因?yàn)閤<－1，所以x2>1，所以0<eq\f(1,x2)<1，所以0<eq\f(1,2x2)<eq\f(1,2)，所以1－eq\f(1,ax2)>0在(－∞，－1)上成立．所以a＝2符合條件．故選D.11．(2023·江蘇啟東中學(xué)調(diào)研測(cè)試改編)函數(shù)f(x)＝x2ex在區(qū)間(a，a＋1)上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(B)A．(－3，－1)∪(0，2)B．(－3，－2)∪(－1，0)C．(－2，－1)∪(0，3)D．(－3，－2)∪(0，1)解析：函數(shù)f(x)＝x2ex的導(dǎo)數(shù)為y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令y′＝0，則x＝0或x＝－2，當(dāng)x∈(－2，0)時(shí)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(－∞，－2)和x∈(0，＋∞)時(shí)f(x)單調(diào)遞增，所以0和2是函數(shù)的極值點(diǎn)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2ex在區(qū)間(a，a＋1)上存在極值點(diǎn)，所以a<－2<a＋1或a<0<a＋1?－3<a<－2或－1<a<0.故選B.12．(2023·新課標(biāo)Ⅱ卷)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x＞0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(A)A．(－∞，－1)∪(0，1)B．(－1，0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1，0)D．(0，1)∪(1，＋∞)解析：記函數(shù)g(x)＝eq\f(f（x）,x)，則g′(x)＝eq\f(xf′（x）－f（x）,x2)，因?yàn)楫?dāng)x＞0時(shí)，xf′(x)－f(x)＜0，故當(dāng)x＞0時(shí)，g′(x)＜0，所以g(x)在(0，＋∞)單調(diào)遞減；又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)(x∈R)是奇函數(shù)，故函數(shù)g(x)是偶函數(shù)，所以g(x)在(－∞，0)單調(diào)遞減，且g(－1)＝g(1)＝0.當(dāng)0＜x＜1時(shí)，g(x)＞0，則f(x)＞0；當(dāng)x＜－1時(shí)，g(x)＜0，則f(x)＞0，綜上所述，使得f(x)＞0成立的x的取值范圍是(－∞，－1)∪(0，1)，故選A.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分；將正確答案填在題中的橫線上)13.(ex－2x)dx＝________．解析：(ex－2x)dx＝(ex－x2)eq\a\vs4\al(|eq\o\al(1,0))＝e－2.答案：e－214．(2023·廣東省百所高中11月聯(lián)考)曲線y＝eq\f(x＋1,x2)(x>0)在點(diǎn)(1，2)處的切線方程為_(kāi)___________．解析：y′＝eq\f(x2－2（x＋1）x,x4)＝eq\f(－x2－2x,x4)＝eq\f(－x－2,x3)，所以過(guò)點(diǎn)(1，2)的切線的斜率為k＝y(tǒng)′|x＝1＝－3，所以切線方程為y－2＝－3(x－1)，即3x－y－5＝0.答案：3x－y－5＝015．(2023·南京高二檢測(cè))直線y＝a與函數(shù)f(x)＝x3－3x的圖象有三個(gè)相異的公共點(diǎn)，則a的取值范圍是________．解析：令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，可求得f(x)的極大值為f(－1)＝2，極小值為f(1)＝－2，如圖所示，－2<a<2時(shí)，恰有三個(gè)不同公共點(diǎn)．答案：(－2，2)16．設(shè)a>0，若曲線y＝eq\r(x)與直線x＝a，y＝0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a________．解析：所以＝aeq\s\up6(\f(1,2))＝eq\f(2,3)，所以a＝eq\f(4,9).答案：eq\f(4,9)

三、解答題(本大題共6小題，共70分；解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程及演算步驟)17．(本小題滿分11分)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間．解析：f′(x)＝－eq\f(1,x2)ex＋eq\f(1,x)ex＝eq\f(x－1,x2)ex，由f′(x)＝0，得x＝1.因?yàn)楫?dāng)x＜0時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′(x)＜0；當(dāng)x＞1時(shí)，f′(x)＞0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，0)，(0，1]．18．(本小題滿分11分)曲線f(x)＝x3在點(diǎn)A處的切線的斜率為3，求該曲線在點(diǎn)A處的切線方程．解析：可由導(dǎo)數(shù)定義求得f′(x)＝3x2.令3x2＝3，則x＝±1.當(dāng)x＝1時(shí)，切點(diǎn)為(1，1)，所以該曲線在(1，1)處的切線方程為y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0；當(dāng)x＝－1時(shí)，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，所以該曲線在(－1，－1)處的切線方程為y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.19．(本小題滿分12分)一艘輪船在航行中每小時(shí)的燃料費(fèi)和它的速度的立方成正比，已知當(dāng)速度為10km/h的燃料費(fèi)是6元/時(shí)，而其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是96元/時(shí)，問(wèn)輪船以何種速度航行時(shí)，能使行使路程的費(fèi)用總和最??？解析：設(shè)船的行使速度為x(x>0)km/h時(shí)，燃料費(fèi)用為Q元/時(shí)，則Q＝kx3.則6＝k·103，所以k＝eq\f(3,500)，從而Q＝eq\f(3x3,500).設(shè)總費(fèi)用為y元，行駛路程為a，則y＝(eq\f(3x3,500)＋96)·eq\f(a,x)＝(eq\f(3x2,500)＋eq\f(96,x))a，所以y′＝(eq\f(6x,500)－eq\f(96,x2))a，令y′＝0，得eq\f(6（x3－800）,500x2)＝0，得x＝20，且x∈(0，20)時(shí)，y′<0；x∈(20，＋∞)時(shí)，y′>0，所以當(dāng)x＝20時(shí)，y最?。?0．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d(a>0)，且方程f′(x)－9x＝0的兩根分別為1，4.(1)當(dāng)a＝3，且曲線y＝f(x)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，求f(x)的解析式；(2)若f(x)在(－∞，＋∞)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，求a的取值范圍．解析：由f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d，得f′(x)＝ax2＋2bx＋c，∵f′(x)－9x＝ax2＋2bx＋c－9x＝0的兩根分別為1，4，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋c－9＝0，,16a＋8b＋c－36＝0，))(*)(1)當(dāng)a＝3時(shí)，由(*)得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2b＋c－6＝0，,8b＋c＋12＝0，))解得b＝－3，c＝12.又∵曲線y＝f(x)過(guò)原點(diǎn)，∴d＝0.故f(x)＝x3－3x2＋12x.(2)由于a>0，所以“f(x)＝eq\f(a,3)x3＋bx2＋cx＋d在(－∞，＋∞)內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)”，等價(jià)于“f′(x)＝ax2＋2bx＋c≥0在(－∞，＋∞)內(nèi)恒成立”．由(*)式得2b＝9－5a，c＝4又Δ＝(2b)2－4ac＝9(a－1)(a－9)解eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝9（a－1）（a－9）≤0，))得a∈[1，9]，即a的取值范圍是[1，9]．21．(本小題滿分12分)(2023·深圳第一次調(diào)研改編)已知a，b∈R，函數(shù)f(x)＝(ax＋2)lnx，g(x)＝bx2＋4x－5，且曲線y＝f(x)與曲線y＝g(x)在x＝1處有相同的切線．(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y＝f(x)恒在曲線y＝g(x)的下方．解析：(1)因?yàn)閒′(x)＝a(lnx＋1)＋eq\f(2,x)，g′(x)＝2bx＋4，所以f′(1)＝a＋2，g′(1)＝2b＋4，又因?yàn)榍€y＝f(x)與曲線y＝g(x)在點(diǎn)(1，0)處有相同的切線，所以f(1)＝0＝g(1)＝b＋4－5，f′(1)＝g′(1)，即b＝1，a＋2＝2＋4，解得a＝4，b＝1.(2)要使得當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y＝f(x)恒在曲線y＝g(x)的下方，即需證f(x)<g(x)(x≠1)，不妨設(shè)F(x)＝f(x)－g(x)，則F(x)＝(4x＋2)lnx－x2－4x＋5，求導(dǎo)得F′(x)＝4lnx＋eq\f(4x＋2,x)－2x－4＝4lnx＋eq\f(2,x)－2x，令G(x)＝F′(x)，所以G′(x)＝eq\f(4,x)－eq\f(2,x2)－2＝eq\f(－2（x－1）2,x2)≤0恒成立，所以F′(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．又因?yàn)镕′(1)＝0，所以當(dāng)x∈(0，1)，F(xiàn)′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)，F(xiàn)′(x)<0，所以F(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，即當(dāng)x＝1時(shí)，F(xiàn)(x)取得最大值F(1)＝0，當(dāng)x≠1時(shí)，F(xiàn)(x)<F(1)＝0，即f(x)<g(x)，所以當(dāng)x≠1時(shí)，曲線y＝f(x)恒在曲線y＝g(x)的下方．22．(本小題滿分12分)(2023·高考北京卷改編)已知函數(shù)f(x)＝2x3－3x.(1)求f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值；(2)若過(guò)點(diǎn)P(1，t)存在3條直線與曲線y＝f(x)相切，求t的取值范圍．解析：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.令f′(x)＝0，得x＝－eq\f(\r(2),2)或x＝eq\f(\r(2),2).因?yàn)閒(－2)＝－10，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝eq\r(2)，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))＝－eq\r(2)，f(1)＝－1，所以f(x)在區(qū)間[－2，1]上的最大值為feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)))＝eq\r(2).(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1，t)的直