陜西省西安市蒼游中學2021-2022學年高二數學文期末試題含解析

陜西省西安市蒼游中學2021-2022學年高二數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知等差數列的公差和首項都不等于0，且，，成等比數列，則()A.2

B.3

C.5

D.7參考答案：A2.曲線在點處的切線方程為（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A略3.ABC的三邊分別為a,b,c且滿足,則此三角形是（

）A等腰三角形

B直角三角形

C等腰直角三角形

D等邊三角形參考答案：D4.是三條不同的直線，是三個不同的平面，下列命題中的真命題是（）（A）若與都垂直，則∥

（B）若∥，，則∥（C）若且，則

（D）若與平面所成的角相等，則參考答案：C略5.已知，，則的取值范圍為（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：C略6.曲線f（x）=x3+x﹣2在點P處的切線平行于直線4x﹣y﹣1=0，則點P的坐標為（）A．（1，0） B．（2，8） C．（1，0）或（﹣1，﹣4） D．（2，8）或（﹣1，﹣4）參考答案：C【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】先求導函數，然后設切點為（a，b），根據在P點處的切線平行于直線y=4x﹣1建立等式，解之即可求出a，得到切點坐標．【解答】解：曲線y=x3+x﹣2求導可得y′=3x2+1設切點為（a，b）則3a2+1=4，解得a=1或a=﹣1切點為（1，0）或（﹣1，﹣4）．故選C．【點評】本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，以及直線平行的應用，屬于中檔題．7.下面使用類比推理正確的是

（

）

A．“若a·3=b·3，則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”

B．“若（a+b）c=ac+bc”類推出“（a·b）c=ac·bc”

C．“若（a+b）c=ac+bc”類推出“”

D．“”類推出“”參考答案：C8.已知，，若向區(qū)域上隨機投擲一點，則點落入區(qū)域的概率為

．參考答案：略9.設分別為兩個不同的平面，直線，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充分必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A10.已知直線l的方程為（m2-2m-3）x+（2m2+m-1）y=m+5（m∈R），其傾斜角為，則實數m的值為（）A． B．-1 C．

D．或-1參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數f(x)＝x3－3x－1，若對于區(qū)間[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，則實數t的最小值是(

)A．20

B．18

C．3

D．0參考答案：A12.若直線y=kx+b是曲線y=ex+2的切線，也是曲線y=ex+1的切線，則b=

．參考答案：4﹣2ln2【考點】6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】設直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點分別為和，分別求出切點處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點的橫坐標，即可得到b的值．【解答】解：設直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點分別為和，則切線分別為，，化簡得：，，依題意有：，所以．故答案為：4﹣2ln2．【點評】本題考查導數的運用：求切線的方程，考查導數的幾何意義，正確求得導數和設出切點是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．13.已知數列{an}滿足等于

。參考答案：16或-814.點的極坐標為

參考答案：15.隨機向邊長為2的正方形ABCD中投一點P,則點P與A的距離不小于1且使為銳角的概率是__________________．參考答案：=16.若復數滿足:則參考答案：略17.過點M（1，1）且與曲線y=3x2－4x+2相切的直線方程是______.參考答案：y=2x﹣1

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.宜昌車天地關于某品牌汽車的使用年限x（年）和所支出的維修費用y（千元）由如表的統(tǒng)計資料：x23456y2.13.45.96.67.0（1）畫出散點圖并判斷使用年限與所支出的維修費用是否線性相關；如果線性相關，求回歸直線方程；（2）若使用超過8年，維修費用超過1.5萬元時，車主將處理掉該車，估計第10年年底時，車主是否會處理掉該車？（）參考答案：（1）作出散點圖如圖：由散點圖可知是線性相關的-------------------------------2分列表如下：計算得：，于是：，即得回歸直線方程為-------------------------------6分（2）把代入回歸方程，得，因此，估計使用10年維修費用是12.8千元，即維修費用是1.28萬元，因為維修費用低于1.5萬元，所以車主不會處理該車．-------------------------------12分19.如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點，是線段上的點．（1）當是的中點時，求證：平面；（2）要使二面角的大小為，試確定點的位置．

參考答案：（1）由已知，兩兩垂直，分別以它們所在直線為軸建立空間直角坐標系．則，，則，，，設平面的法向量為則，令得由，得又平面，故平面（2）由已知可得平面的一個法向量為，設，設平面的法向量為則，令得由，故，要使要使二面角的大小為，只需略20.已知函數f（x）=（1）若m∈（﹣2，2），求函數y=f（x）的單調區(qū)間；（2）若m∈（0，]，則當x∈[0，m+1]時，函數y=f（x）的圖象是否總在直線y=x上方，請寫出判斷過程．參考答案：【考點】函數單調性的判斷與證明；函數的值域．【分析】（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區(qū)間即可；（Ⅱ）令g（x）=x，討論m的范圍，根據函數的單調性求出g（x）的最大值和f（x）的最小值，結合函數恒成立分別判斷即可證明結論．【解答】解：（Ⅰ）函數定義域為R，f′（x）=①當m+1=1，即m=0時，f′（x）≥0，此時f（x）在R遞增，②當1＜m+1＜3即0＜m＜2x∈（﹣∞，1）時，f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（1，m+1）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，x∈（m+1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；③0＜m+1＜1，即﹣1＜m＜0時，x∈（﹣∞，m+1）和（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）遞增，x∈（m+1，1）時，f′（x）＜0，f（x）遞減；綜上所述，①m=0時，f（x）在R遞增，②0＜m＜2時，f（x）在（﹣∞，1），（m+1，+∞）遞增，在（1，m+1）遞減，③﹣2＜m＜0時，f（x）在（﹣∞，m+1），（1，+∞）遞增，在（m+1，1）遞減；（Ⅱ）當m∈（0，]時，由（1）知f（x）在（0，1）遞增，在（1，m+1）遞減，令g（x）=x，①當x∈[0，1]時，f（x）min=f（0）=1，g（x）max=1，所以函數f（x）圖象在g（x）圖象上方；②當x∈[1，m+1]時，函數f（x）單調遞減，所以其最小值為f（m+1）=，g（x）最大值為m+1，所以下面判斷f（m+1）與m+1的大小，即判斷ex與（1+x）x的大小，其中x=m+1∈（1，]，令m（x）=ex﹣（1+x）x，m′（x）=ex﹣2x﹣1，令h（x）=m′（x），則h′（x）=ex﹣2，因x=m+1∈（1，]，所以h′（x）=ex﹣2＞0，m′（x）單調遞增；所以m′（1）=e﹣3＜0，m′（）=﹣4＞0，故存在x0∈（1，]使得m′（x0）=ex0﹣2x0﹣1=0，所以m（x）在（1，x0）上單調遞減，在（x0，）單調遞增所以m（x）≥m（x0）=ex0﹣x02﹣x0=2x0+1﹣﹣x0=﹣+x0+1，所以x0∈（1，]時，m（x0）=﹣+x0+1＞0，即ex＞（1+x）x也即f（m+1）＞m+1，所以函數f（x）的圖象總在直線y=x上方．21.（本小題滿分6分）求以橢圓的焦點為焦點，且經過點P（1，）的橢圓的標準方程。參考答案：由已知，，，。

2分

設所求方程為，因為過P（1，）

所以。

4分即，解得或（舍）為所求方程。

6分22.如圖，已知四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，∠ABC=60°，E、F分別是BC，PC的中點．（1）證明：AE⊥平面PAD；（2）若H為PD上的動點，EH與平面PAD所成最大角的正切值為，求二面角E﹣AF﹣C的余弦值．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）通過證明AE⊥BC．PA⊥AE．說明PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，利用直線與平面垂直的判定定理證明AE⊥平面PAD．（2）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連結AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．（法一）在Rt△ESO中，求出cos∠ESO的值即可．（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面AEF的一個法向量為，求出平面AFC的一個法向量，利用二面角公式求出二面角E﹣AF﹣C的余弦值．【解答】（1）證明：由四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°，可得△ABC為正三角形．∵E為BC的中點，∴AE⊥BC．又BC∥AD，因此AE⊥AD．∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，∴PA⊥AE．而PA?平面PAD，AD?平面PAD且PA∩AD=A，∴AE⊥平面PAD．（2）解：設AB=2，H為PD上任意一點，連結AH，EH．由（1）知AE⊥平面PAD，則∠EHA為EH與平面PAD所成的角．在Rt△EAH中，AE=，∴當AH最短時，∠EHA最大，即當AH⊥PD時，∠EHA最大．此時tan∠EHA===，因此AH=1．又AD=2，∴∠ADH=30°，∴PA=ADtan30°=．（8分）（法一）∵PA⊥平面ABCD，PA?平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．過E作EO⊥AC于O，則EO⊥平面PAC，過O作OS⊥AF于S，連結ES，則∠ESO為二面角E﹣AF﹣C的平面角，在Rt△AOE中，EO=AE?sin30°=，AO=AE?cos30°=．又F是PC的中點，如圖，PC==，∴AF=PC=，sin∠SAO==，在Rt△ASO中，SO=AO?sin∠SAO=，∴SE===，在Rt△ESO中，cos∠ESO===，即所求二面角的余弦值為．（12分）（法二）由（1）知AE，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又E，F分別為BC，PC的中點，∴A（0，0，0），B（，﹣1，0），C（，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（，，），∴