高中數(shù)學人教A版5不等式和絕對值不等式一不等式13

3.三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式1．探索并了解三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式的證明過程．2．會用平均不等式求一些特定函數(shù)的最大(小)值．(重點)3．會建立函數(shù)不等式模型，利用其解決實際生活中的最值問題．(難點)[基礎(chǔ)·初探]教材整理1三個正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式閱讀教材P8～P9定理3，完成下列問題．1．如果a，b，c∈R＋，那么a3＋b3＋c3≥3abc，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．2．定理3：如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．即三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均．已知a，b，c為正數(shù)，則eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)有()A．最小值為3 B．最大值為3C．最小值為2 D.最大值為2【解析】eq\f(a,b)＋eq\f(b,c)＋eq\f(c,a)≥3eq\r(3,\f(a,b)×\f(b,c)×\f(c,a))＝3，當且僅當eq\f(a,b)＝eq\f(b,c)＝eq\f(c,a)，即a＝b＝c時，取等號．【答案】A教材整理2基本不等式的推廣閱讀教材P9～P9“例5”以上部分，完成下列問題．對于n個正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)≥eq\r(n,a1a2…an)，當且僅當a1＝a2＝…＝an時，等號成立．教材整理3利用基本不等式求最值閱讀教材P9～P9“習題”以上部分，完成下列問題．若a，b，c均為正數(shù)，①如果a＋b＋c是定值S，那么a＝b＝c時，積abc有最大值；②如果積abc是定值P，那么當a＝b＝c時，和a＋b＋c有最小值．設(shè)x＞0，則y＝x＋eq\f(4,x2)的最小值為()【導學號：32750012】A．2 B．2eq\r(2)C．3eq\r(2) 【解析】y＝x＋eq\f(4,x2)＝eq\f(x,2)＋eq\f(x,2)＋eq\f(4,x2)≥3·eq\r(3,\f(x,2)·\f(x,2)·\f(4,x2))＝3，當且僅當eq\f(x,2)＝eq\f(4,x2)時取“＝”號．【答案】D[質(zhì)疑·手記]預(yù)習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]證明簡單的不等式設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＋\f(1,c2)))(a＋b＋c)2≥27.【精彩點撥】根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特點，運用a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)，結(jié)合不等式的性質(zhì)證明．【自主解答】∵a>0，b>0，c>0，∴a＋b＋c≥3eq\r(3,abc)>0，從而(a＋b＋c)2≥9eq\r(3,a2b2c2)>0.又eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＋eq\f(1,c2)≥3eq\r(3,\f(1,a2b2c2))>0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a2)＋\f(1,b2)＋\f(1,c2)))(a＋b＋c)2≥3eq\r(3,\f(1,a2b2c2))·9eq\r(3,a2b2c2)＝27，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．1．(1)在應(yīng)用平均不等式時，一定要注意是否滿足條件，即a>0，b>0.(2)若問題中一端出現(xiàn)“和式”而另一端出現(xiàn)“積式”，這便是應(yīng)用基本不等式的“題眼”，不妨運用平均不等式試試看．2．連續(xù)多次運用平均不等式定理時，要特別注意前后等號成立的條件是否一致．[再練一題]1．設(shè)a，b，c為正數(shù)，求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)＋\f(1,b3)＋\f(1,c3)))(a＋b＋c)3≥81.【導學號：32750013】【證明】因為a，b，c為正數(shù)，所以有eq\f(1,a3)＋eq\f(1,b3)＋eq\f(1,c3)≥3eq\r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))＝eq\f(3,abc)＞0.又(a＋b＋c)3≥(3eq\r(3,abc))3＝27abc＞0，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a3)＋\f(1,b3)＋\f(1,c3)))(a＋b＋c)3≥81，當且僅當a＝b＝c時，等號成立．用平均不等式求解實際問題如圖1-1-2所示，在一張半徑是2米的圓桌的正中央上空掛一盞電燈．大家知道，燈掛得太高了，桌子邊緣處的亮度就??；掛得太低，桌子的邊緣處仍然是不亮的．由物理學知識，桌子邊緣一點處的照亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角θ的正弦成正比，而和這一點到光源的距離r的平方成反比，即E＝keq\f(sinθ,r2).這里k是一個和燈光強度有關(guān)的常數(shù)．那么究竟應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h，才能使桌子邊緣處最亮？圖1-1-2【精彩點撥】根據(jù)題設(shè)條件建立r與θ的關(guān)系式，將它代入E＝keq\f(sinθ,r2)，得到以θ為自變量，E為因變量的函數(shù)關(guān)系式，再用平均不等式求函數(shù)的最值．【自主解答】∵r＝eq\f(2,cosθ)，∴E＝k·eq\f(sinθcos2θ,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))).∴E2＝eq\f(k2,16)·sin2θ·cos4θ＝eq\f(k2,32)(2sin2θ)·cos2θ·cos2θ≤eq\f(k2,32)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2sin2θ＋cos2θ＋cos2θ,3)))3＝eq\f(k2,108)，當且僅當2sin2θ＝cos2θ時取等號，即tan2θ＝eq\f(1,2)，tanθ＝eq\f(\r(2),2)時，等號成立．∴h＝2tanθ＝eq\r(2)，即h＝eq\r(2)時，E最大．因此選擇燈的高度為eq\r(2)米時，才能使桌子邊緣處最亮．1．本題的關(guān)鍵是在獲得了E＝k·eq\f(sinθcos2θ,4)后，對E的函數(shù)關(guān)系式進行變形求得E的最大值．2．解應(yīng)用題時必須先讀懂題意，建立適當?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，若把問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，常配湊成可以用平均不等式的形式，若符合條件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再練一題]2．制造容積為eq\f(π,2)立方米的無蓋圓柱形桶，用來制作底面的金屬板的價格為每平方米30元，用來制作側(cè)面的金屬板的價格為每平方米20元，要使用料成本最低，則圓柱形桶的底面半徑和高應(yīng)各為多少米？【解】設(shè)圓柱形桶的底面半徑為r米，高為h米，則底面積為πr2平方米，側(cè)面積為2πrh平方米．設(shè)用料成本為y元，則y＝30πr2＋40πrh.∵桶的容積為eq\f(π,2)，∴πr2h＝eq\f(π,2)，∴rh＝eq\f(1,2r).∴y＝30πr2＋eq\f(20,r)π＝10πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3r2＋\f(1,r)＋\f(1,r)))≥10π×3eq\r(3,3)，當且僅當3r2＝eq\f(1,r)時，即r＝eq\f(\r(3,9),3)時等號成立，此時h＝eq\f(\r(3,9),2).故要使用料成本最低，圓柱形桶的底面半徑應(yīng)為eq\f(\r(3,9),3)米，高為eq\f(\r(3,9),2)米．[探究共研型]利用平均不等式求最值探究1利用不等式eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)求最值的條件是什么？【提示】“一正、二定、三相等”，即(1)各項或各因式為正；(2)和或積為定值；(3)各項或各因式能取到相等的值．探究2如何求y＝eq\f(4,x4)＋x2的最小值？【提示】y＝eq\f(4,x4)＋x2＝eq\f(4,x4)＋eq\f(x2,2)＋eq\f(x2,2)≥3eq\r(3,\f(4,x4)·\f(x2,2)·\f(x2,2))＝3，當且僅當eq\f(4,x4)＝eq\f(x2,2)，即x＝±eq\r(2)時，等號成立，∴ymin＝3.其中把x2拆成eq\f(x2,2)和eq\f(x2,2)兩個數(shù)，這樣可滿足不等式成立的條件．若這樣變形：y＝eq\f(4,x4)＋x2＝eq\f(4,x4)＋eq\f(x2,4)＋eq\f(3,4)x2，雖然滿足了乘積是定值這個要求，但“三相等”不能成立，因為eq\f(4,x4)＝eq\f(x2,4)＝eq\f(3,4)x2時x無解，不能求出y的最小值．已知x∈R＋，求函數(shù)y＝x(1－x2)的最大值．【精彩點撥】為使數(shù)的“和”為定值，可以先平方，即y2＝x2(1－x2)2＝x2(1－x2)(1－x2)＝2x2(1－x2)(1－x2)×eq\f(1,2)，求出最值后再開方．【自主解答】∵y＝x(1－x2)，∴y2＝x2(1－x2)2＝2x2(1－x2)(1－x2)·eq\f(1,2).∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，∴y2≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x2＋1－x2＋1－x2,3)))eq\s\up10(3)＝eq\f(4,27).當且僅當2x2＝1－x2，即x＝eq\f(\r(3),3)時等號成立．∴y≤eq\f(2\r(3),9)，∴y的最大值為eq\f(2\r(3),9).1．解答本題時，有的同學會做出如下拼湊：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝eq\f(1,2)·x(2－2x)·(1＋x)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2－2x＋1＋x,3)))eq\s\up10(3)＝eq\f(1,2).雖然其中的拼湊過程保證了三個數(shù)的和為定值，但忽略了取“＝”號的條件，顯然x＝2－2x＝1＋x無解，即無法取“＝”號，也就是說，這種拼湊法是不正確的．2．解決此類問題時，要注意多積累一些拼湊方法的題型及數(shù)學結(jié)構(gòu)，同時也要注意算術(shù)-幾何平均不等式的使用條件，三個缺一不可．[再練一題]3．若2a＞b＞0，試求a＋eq\f(4,2a－bb)的最小值.【導學號：32750014】【解】a＋eq\f(4,2a－bb)＝eq\f(2a－b＋b,2)＋eq\f(4,2a－bb)＝eq\f(2a－b,2)＋eq\f(b,2)＋eq\f(4,2a－bb)≥3·eq\r(3,\f(2a－b,2)·\f(b,2)·\f(4,2a－bb))＝3，當且僅當eq\f(2a－b,2)＝eq\f(b,2)＝eq\f(4,2a－bb)，即a＝b＝2時取等號．所以當a＝b＝2時，a＋eq\f(4,2a－bb)有最小值為3.[構(gòu)建·體系]平均不等式—eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(—\x(平均不等式的理解),—\x(利用平均不等式求最值),—\x(利用平均不等式證明)))1．已知x＋2y＋3z＝6，則2x＋4y＋8z的最小值為()A．3eq\r(3,6)B．2eq\r(2)C．12D．12eq\r(3,5)【解析】∵x＋2y＋3z＝6，∴2x＋4y＋8z＝2x＋22y＋23z≥3eq\r(3,2x·22y·23z)＝3eq\r(3,2x＋2y＋3z)＝12.當且僅當2x＝22y＝23z，即x＝2，y＝1，z＝eq\f(2,3)時，等號成立．【答案】C2．若a＞b＞0，則a＋eq\f(1,ba－b)的最小值為()A．0B．1C．2【解析】∵a＋eq\f(1,ba－b)＝(a－b)＋b＋eq\f(1,ba－b)≥3eq\r(3,a－b·b·\f(1,ba－b))＝3，當且僅當a＝2，b＝1時取等號，∴a＋eq\f(1,ba－b)的最小值為3.故選D.【答案】D3．函數(shù)y＝4sin2x·cosx的最大值為________，最小值為________．【解析】∵y2＝16sin2x·sin2x·cos2x＝8(sin2x·sin2x·2cos2x)≤8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sin2x＋sin2x＋2cos2x,3)))3＝8×eq\f(8,27)＝eq\f(64,27)，∴y2≤eq\f(64,27)，當且僅當sin2x＝2cos2x，即tanx＝±eq\r(2)時取等號．∴ymax＝eq\f(8,9)eq\r(3)，ymin＝－eq\f(8,9)eq\r(3).【答案】eq\f(8,9)eq\r(3