高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章三角函數(shù)【省一等獎(jiǎng)】

根本停不下來——高一數(shù)學(xué)知識(shí)梳理（2）【三角函數(shù)的概念】1．角的概念的推廣(1)定義：角可以看成平面內(nèi)的一條射線繞著端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所成的圖形．(2)分類eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(按旋轉(zhuǎn)方向不同分為正角、負(fù)角、零角.,按終邊位置不同分為象限角和軸線角.))(3)終邊相同的角：所有與角α終邊相同的角，連同角α在內(nèi)，可構(gòu)成一個(gè)集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定義和公式(1)定義：把長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角．弧度記作rad.(2)公式：角α的弧度數(shù)公式|α|＝eq\f(l,r)(弧長用l表示)角度與弧度的換算①1°＝eq\f(π,180)rad②1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°弧長公式弧長l＝|α|r扇形面積公式S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)|α|r23.任意角的三角函數(shù)三角函數(shù)正弦余弦正切定義設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么y叫做α的正弦，記作sinαx叫做α的余弦，記作cosαeq\f(y,x)叫做α的正切，記作tanα各象限正負(fù)Ⅰ全正，Ⅱ正弦，Ⅲ正切，Ⅳ余弦三角函數(shù)線有向線段MP為正弦線有向線段OM為余弦線有向線段AT為正切線【注意】1．一個(gè)區(qū)別：“小于90°的角”、“銳角”、“第一象限的角”的區(qū)別如下：小于90°的角的范圍：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(π,2)))，銳角的范圍：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，第一象限角的范圍：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ，2kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．所以說小于90°的角不一定是銳角，銳角是第一象限角，反之不成立．2．三個(gè)防范：一是注意角的正負(fù)，特別是表的指針?biāo)傻慕?；二是防止角度制與弧度制在同一式子中出現(xiàn)；三是如果角α的終邊落在直線上時(shí)，所求三角函數(shù)值有可能有兩解.【練一練】1、已知角α＝45°，(1)在－720°～0°范圍內(nèi)找出所有與角α終邊相同的角β；(2)設(shè)集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,2)))×180°＋45°，k∈Z))，N＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,4)))×180°＋45°，k∈Z))，判斷兩集合的關(guān)系．【答案】β＝－675°或β＝－315°;N.2、已知角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(\r(3),2)))，則tanα＝【答案】±eq\r(3)3、已知點(diǎn)P(sincos落在角的終邊上,且),則的值為【答案】4、已知扇形周長為10，面積是4，求扇形的圓心角．【答案】eq\f(1,2).5、已知扇形周長為40，當(dāng)它的半徑和圓心角取何值時(shí)，才使扇形面積最大？【答案】r＝10，θ＝2【同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系(1)平方關(guān)系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinα,cosα)＝tanα.2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口訣函數(shù)名不變，符號(hào)看象限函數(shù)名改變，符號(hào)看象限3.特殊角的三角函數(shù)值角α0°30°45°60°90°120°150°180°角α的弧度數(shù)0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(5π,6)πsinα0eq\f(1,2)eq\f(\r(2),2)eq\f(\r(3),2)1eq\f(\r(3),2)eq\f(1,2)0cosα1eq\f(\r(3),2)eq\f(\r(2),2)eq\f(1,2)0－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)－1tanα0eq\f(\r(3),3)1eq\r(3)－eq\r(3)－eq\f(\r(3),3)0【注意】1.一點(diǎn)提醒:平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系式中的角都是同一個(gè)角，且商數(shù)關(guān)系式中α≠eq\f(π,2)＋kπ，k∈Z．2．兩個(gè)防范:一是利用平方關(guān)系式解決問題時(shí)，要注意開方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)，需要根據(jù)角α的范圍確定；二是利用誘導(dǎo)公式化簡求值時(shí)，先利用公式化任意角的三角函數(shù)為銳角三角函數(shù)，其步驟：去負(fù)—脫周—化銳，特別注意函數(shù)名稱和符號(hào)的確定．【練一練】1．已知，則【答案】2．已知α是三角形的內(nèi)角，且sinα＋cosα＝eq\f(1,5).則tanα=【答案】－eq\f(4,3).3．已知sinθ·cosθ＝eq\f(1,8)，且eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)，則cosθ－sinθ的值為________．【答案】－eq\f(\r(3),2)4．已知tanα＝－eq\f(4,3)，則eq\f(1,cos2α－sin2α)=【答案】－eq\f(25,7).5.=【答案】26．已知A＝eq\f(sinkπ＋α,sinα)＋eq\f(coskπ＋α,cosα)(k∈Z)，則A的值構(gòu)成的集合是【答案】{2，－2}7．若tan(π＋α)＝－eq\f(1,2)，則tan(3π－α)＝________.【答案】eq\f(1,2)8．若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋α))＝eq\f(3,5)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α))＝【答案】eq\f(3,5)【三角函數(shù)的性質(zhì)】1．周期函數(shù)(1)周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)．T叫做這個(gè)函數(shù)的周期．(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RReq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x∈R，且x≠))))eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,2)，k∈Z))值域[－1,1][－1,1]R單調(diào)性eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(π,2)，\f(π,2)＋))2kπ]上遞增；eq\b\lc\[\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，\f(3π,2)＋))2kπ]上遞減[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上遞增；[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上遞減eq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，\f(π,2)＋))kπ)上遞增最值x＝eq\f(π,2)＋2kπ時(shí)，ymax＝1；x＝－eq\f(π,2)＋2kπ時(shí)ymin＝－1x＝2kπ(時(shí)，ymax＝1；x＝π＋2kπ時(shí)，ymin＝－1奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對稱中心(kπ，0)(k∈Z)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋kπ，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)，0))(k∈Z)對稱軸方程x＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)x＝kπ(k∈Z)周期2π2ππ【注意】1．一點(diǎn)提醒求函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，應(yīng)注意ω的符號(hào)，只有當(dāng)ω>0時(shí)，才能把ωx＋φ看作一個(gè)整體，代入y＝sint的相應(yīng)單調(diào)區(qū)間求解．2．三個(gè)防范一是函數(shù)y＝sinx與y＝cosx的對稱軸分別是經(jīng)過其圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)且平行于y軸的直線，如y＝cosx的對稱軸為x＝kπ，而不是x＝2kπ(k∈Z)．二是對于y＝tanx不能認(rèn)為其在定義域上為增函數(shù)，應(yīng)在每個(gè)區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)內(nèi)為增函數(shù)三是函數(shù)y＝sinx與y＝cosx的最大值為1，最小值為－1，不存在一個(gè)值使sinx＝eq\f(3,2)，【練一練】1、函數(shù)f(x)＝coseq\f(πx,2)coseq\f(πx－1,2)的最小正周期為________．【答案】22、將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖像沿x軸向左平移eq\f(π,8)個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則=【答案】3、已知函數(shù)f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的最小正周期為π，則函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程是【答案】x＝eq\f(5π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)4、函數(shù)y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2x))的單調(diào)減區(qū)間為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))5、函數(shù)，的值域?yàn)椤敬鸢浮?、函數(shù)的值域是【答案】7、已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，φ∈[0，π))的圖像如圖所示．(1)求f(x)的解析式及單調(diào)增區(qū)間(2)求函數(shù)g(x)＝f(x)＋eq\r(3)f(x＋2)在x∈[－1,3]上的最大值和最小值．【答案】（1）f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).(2)最大值6；最小值－3eq\r(3).【y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及性質(zhì)】1．“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的簡圖“五點(diǎn)法”作圖的五點(diǎn)是在一個(gè)周期內(nèi)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)及與x軸相交的三個(gè)交點(diǎn)，作圖時(shí)的一般步驟為：(1)定點(diǎn)：如下表所示.x－eq\f(φ,ω)eq\f(\f(π,2)－φ,ω)eq\f(π－φ,ω)eq\f(\f(3π,2)－φ,ω)eq\f(2π－φ,ω)ωx＋φ0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0(2)作圖：在坐標(biāo)系中描出這五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，用平滑的曲線順次連接得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)在一個(gè)周期內(nèi)的圖象．(3)擴(kuò)展：將所得圖象，按周期向兩側(cè)擴(kuò)展可得y＝Asin(ωx＋φ)在R上的圖象．2．函數(shù)y＝sinx的圖象經(jīng)變換得到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑3．函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義當(dāng)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一個(gè)振動(dòng)時(shí)，A叫做振幅，T＝eq\f(2π,ω)叫做周期，f＝eq\f(1,T)叫做頻率，ωx＋φ叫做相位，φ叫做初相．【注意】1．圖象變換兩種途徑的區(qū)別由y＝sinx的圖象，利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)(x∈R)的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象沿x軸的伸縮量的區(qū)別．先平移變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再平移變換，平移的量是eq\f(|φ|,ω)個(gè)單位．2．兩個(gè)防范一是平移前后兩個(gè)函數(shù)的名稱是否一致，若不一致，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式化為同名函數(shù)；二是解決三角函數(shù)性質(zhì)時(shí)，要化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，但最大值、最小值與A的符號(hào)有關(guān)，如(4)；而y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩個(gè)相鄰對稱軸間的距離是半個(gè)周期【練一練】1、函數(shù)的振幅是；周期是；頻率是；相位是；初相是．【答案】；；；。2、函數(shù)的對稱中心是；對稱軸方程是；【答案】；；3、若函數(shù)（）的圖象關(guān)于直線對稱，則θ．【答案】4、將函數(shù)y＝2sineq\f(π,3)x的圖像上每一點(diǎn)向右平移1個(gè)單位長度，再將所得圖像上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的eq\f(π,3)倍(縱坐標(biāo)保持不變)，得函數(shù)y＝f(x)的圖像，則f(x)的一個(gè)解析式為________．【答案】y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))5、已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，0＜φ≤\f(π,2)))的部分圖像如圖所示，則φ的值為________．【答案】eq\f(π,3)6、已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，且，則的最小值為【答案】2【兩角和（差）的正弦、余弦及正切】1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β.cos(α?β)＝cos_αcos_β±sin_αsin_β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1?tanαtanβ).2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin_αcos_α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3．有關(guān)公式的逆用、變形等(1)tanα±tanβ＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)．(2)cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).(3)1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).4．函數(shù)f(α)＝asinα＋bcosα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中可以根據(jù)tanφ＝eq\f(b,a).以及正負(fù)來確定.1在中，已知，，則的值是【答案】2若，，則=【答案】3已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＝eq\f(1,3)，則sin2θ＝________.【答案】－eq\f(7,9)4.若，,，則的值為【答案】5.已知，，則等于.【答案】6.已知sinα－cosα＝eq\r(2)，α∈(0，π)，則tanα＝【答案】－17.已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq\f(\r(5),5).(1)求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))的值；【答案】－eq\f(\r(10),10).(2)求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)－2α))的值．【答案】－eq\f(4＋3\r(3),10).【正、余弦定理】1．正弦定理和余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，則正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為△ABC外接圓半徑)a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝a2＋c2－2accosBc2＝a2＋b2－2abcosC常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)解決的問題(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角(1)已知三邊，求三個(gè)角；(2)已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角2.在△ABC中，已知a，b和A時(shí)，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解3.三角形中常用的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)ah(h表示邊a上的高)．(2)S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB.【注意】1．一條規(guī)律在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．2．判斷三角形形狀的兩種途徑一是化邊為角；二是化角為邊，并常用正弦(余弦)定理實(shí)施邊、角轉(zhuǎn)換.【正、余弦定理的應(yīng)用】1．距離的測量背景可測元素圖形目標(biāo)及解法兩點(diǎn)均可到達(dá)a，b，α求AB：AB＝eq\r(a2＋b2－2abcosα)只有一點(diǎn)可到達(dá)b，α，β求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)eq\f(AB,sinβ)＝eq\f(b,sinB)兩點(diǎn)都不可到達(dá)a，α，β，γ，θ求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；(2)△BCD中，用正弦定理求BC；(3)△ABC中，用余弦定理求AB2.高度的測量背景可測元素圖形目標(biāo)及解法底部可到達(dá)a，α求AB：AB＝atan_α底部不可到達(dá)a，α，β求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝ADsin_β3.實(shí)際問題中常見的角(1)仰角和俯角在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角(如圖1)．(2)方位角從正北方向起按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線之間的水平夾角叫做方位角．如B點(diǎn)的方位角為α(如圖2)．(3)方向角：正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，如南偏東30°，北偏西45°等．【練一練】1.在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，則a＝________.【答案】eq\f(5\r(2),3).2.若△ABC的內(nèi)角A、B、C滿足6sinA＝4sinB＝3sinC，則cosB＝【答案】＝eq\f(11,16).3在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝eq\r(2)，b＝2，sinB＋cosB＝eq\r(2)，則角A的大小為________．【答案】eq\f(π,6)4設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，則△ABC的形狀為三角形【答案】直角；5.在中，已知，則的形狀為三角形【答案】等腰6在△中，已知，，且的面積為，則邊長為．【答案】77如圖，某廣場中間有一塊扇形狀綠地OAB，其中O為扇形所在圓的圓心，∠AOB＝60°.廣場管理部門欲在綠地上修建觀光小路：在eq\x\to(AB)上選一點(diǎn)C，過點(diǎn)C修建與OB平行的小路CD，與OA平行的小路CE.問：點(diǎn)C應(yīng)選在何處，才能使得修建的道路CD與CE的總長最大？并說明理由．【提示】設(shè)∠COA＝θ，0°＜θ＜60°，CE＋CD=eq\f(2\r(3),3)rsin(60°＋θ)．即點(diǎn)C應(yīng)選在eq\x\to(AB)的中點(diǎn)處，才能使得修建的道路總長最大．【平面向量的概念與線性運(yùn)算】1．向量的有關(guān)概念名稱定義備注平行向量方向相同或相反的非零向量0與任一向量平行或共線共線向量方向相同或相反的非零向量又叫做共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量兩向量只有相等或不等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量0的相反向量為02.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則(首尾相接)平行四邊形法則（共起點(diǎn)）(1)交換律：a＋b＝b＋a.(2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差三角形法則a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.1．一個(gè)區(qū)別兩個(gè)向量共線與兩條線段共線不同，前者的起點(diǎn)可以不同，而后者必須在同一直線上．同樣，兩個(gè)平行向量與兩條平行直線也是不同的，因?yàn)閮蓚€(gè)平行向量可以移到同一直線上．2．兩個(gè)防范一是兩個(gè)向量共線，則它們的方向相同或相反；二是注重零向量的特殊性，【平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算】1．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up12(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up12(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).3．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.【注意】1．向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量eq\o(OA,\s\up12(→))＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)．當(dāng)平面向量eq\o(OA,\s\up12(→))平行移動(dòng)到eq\o(O1A1,\s\up12(→))時(shí)，向量不變即eq\o(O1A1,\s\up12(→))＝eq\o(OA,\s\up12(→))＝(x，y)，但eq\o(O1A1,\s\up12(→))的起點(diǎn)O1和終點(diǎn)A1的坐標(biāo)都發(fā)生了變化．2．兩個(gè)防范一是注意能作為基底的兩個(gè)向量必須是不共線的．二是注意運(yùn)用兩個(gè)向量a，b共線坐標(biāo)表示的充要條件應(yīng)為x1y2－x2y1＝0【平面向量的數(shù)量積】1．平面向量的數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.(2)幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積．2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示設(shè)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角．(1)數(shù)量積：a·b＝|a||b|cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(3)夾角：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(4)兩非零向量a⊥b的充要條件：a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(5)|a·b|≤|a||b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立)?|x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)).3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【注意】三個(gè)防范：一是兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量；二是在向量數(shù)量積的幾何意義中，投影是一個(gè)數(shù)量，不是向量．設(shè)向量a，b的夾角為θ，當(dāng)θ為銳角時(shí)，投影為正值；當(dāng)θ為鈍角時(shí)，投影為負(fù)值；當(dāng)θ為直角時(shí)，投影為0；當(dāng)θ＝0°時(shí)，b在a的方向上投影為|b|，當(dāng)θ＝180°時(shí)，b在a方向上投影為－|b|；當(dāng)θ＝0°時(shí)，a·b＞0，θ＝180°，a·b＜0，即a·b＞0是兩個(gè)向量a，b夾角為銳角的必要而不充分條件三是a·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b．【練一練】1．已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ答案：－eq\f(1,3)2．已知兩點(diǎn)A(4,1)，B(7，－3)，則與同向的單位向量是答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\