高中數(shù)學(xué)人教A版第二章點(diǎn)直線平面之間的位置關(guān)系單元測(cè)試 省賽獲獎(jiǎng)

空間幾何--平行垂直專題復(fù)習(xí)直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1．直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理平面外一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行?線面平行)∵l∥a，a?αl?α，∴l(xiāng)∥α性質(zhì)定理一條直線與一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?線線平行”)∵l∥α，l?β，α∩β＝b，∴l(xiāng)∥b2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行?面面平行”)∵a∥β，b∥β，a∩b＝P，a?α，b?α，∴α∥β性質(zhì)定理如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行∵α∥β，α∩γ＝aβ∩γ＝b，∴a∥b考向一直線與平面平行的判定與性質(zhì)【例1】?(2023·天津改編)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，O為AC的中點(diǎn)，M為PD的中點(diǎn)．求證：PB∥平面ACM.【訓(xùn)練1】如圖，若已知四邊形ABCD是矩形，E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)，求證：AF∥平面PCE.[一題多變][典型母題](2023·南通模擬)如圖所示，斜三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)D，D1分別為AC，A1C(1)證明AD1∥平面BDC1.(2)證明BD∥平面AB1D1.，[題點(diǎn)發(fā)散1]將本例條件“D1，D分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉1，D分別為AC，A1C1[題點(diǎn)發(fā)散2]將本例條件“D，D1分別為AC，A1C1上的中點(diǎn)”變?yōu)椤癉，D1分別為AC，A1C1上的點(diǎn)且平面BC1D∥平面AB1D1”，試求eq\f(AD,DC)的值．[類題通法]證明直線與平面平行，一般有以下幾種方法(1)若用定義直接判定，一般用反證法；(2)用判定定理來證明，關(guān)鍵是在平面內(nèi)找(或作)一條直線與已知直線平行，證明時(shí)注意用符號(hào)語言敘述證明過程；(3)應(yīng)用兩平面平行的一個(gè)性質(zhì)，即兩平面平行時(shí)，其中一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都平行于另一個(gè)平【例題2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，CD∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，若PM＝MB，求證：CM∥平面PAD.1.(1)(2023·秦皇島模擬)如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：AP∥GH.(2)(2023·浙江六市六校聯(lián)盟模擬)如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D為AC的中點(diǎn)，AA1＝AB①求證：AB1∥平面BC1D；②若BC＝3，求三棱錐D-BC1C3.(2023·山東改編)如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點(diǎn)，AC與BE交于O點(diǎn)，G是線段OF上一點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：GH∥平面PAD.4.(2023·福建改編)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，BC＝5，DC＝3，AD＝4，∠PAD＝60°.(1)若M為PA的中點(diǎn)，求證：DM∥平面PBC；(2)求三棱錐D—PBC的體積．考向二平面與平面平行的判定與性質(zhì)1．平面與平面平行的判定定理自然語言：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行．簡(jiǎn)稱：線面平行，則面面平行．符號(hào)語言：a?α，b?α，a∩b＝P，a∥β，b∥β?α∥β.[提醒](1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面相交或平行．(2)要證面面平行需證線面平行，要證線面平行需證線線平行，因此“面面平行”問題最終可轉(zhuǎn)化為“線線平行”問題．2．平面與平面平行的性質(zhì)定理自然語言：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．簡(jiǎn)稱：面面平行，則線線平行．符號(hào)語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b.[提醒]平面與平面平行的性質(zhì)定理實(shí)際上給出了判定兩條直線平行的一種方法，注意一定是第三個(gè)平面與兩平行平面相交，其交線平行．【例2】?如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M、N、P求證：平面MNP∥平面A1C1B【訓(xùn)練】1.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C(1)B，C，H，G四點(diǎn)共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.2.(2023·高考陜西卷)如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O是底面中心，A1O⊥底面ABCD，AB＝AA1＝eq\r(2).(1)證明：底面A1BD∥平面CD1B1；(2)求三棱柱ABD-A1B1D1的體積.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__平行關(guān)系的綜合應(yīng)用________________(2023·河南洛陽月考)如圖，ABCD與ADEF為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．(1)求證：BE∥平面DMF；(2)求證：平面BDE∥平面MNG.3.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E、F、G分別是BC、DC、SC的中點(diǎn)，(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1.如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝eq\f(1,2)AB＝1，M是PB的中點(diǎn)．(1)求證：AM＝CM；(2)若N是PC的中點(diǎn)，求證：DN∥平面AMC.2．如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝5，BB1＝BC＝6，D，E分別是AA1和B1(1)求證：DE∥平面ABC；(2)求三棱錐E－BCD的體積．3．如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1(1)EG∥平面BB1D1D；(2)平面BDF∥平面B1D1H..4在正方體ABCD-A1B1C1D1中，(1)求證：平面AB1D1∥平面C1BD；(2)試找出體對(duì)角線A1C與平面AB1D1和平面C1BD的交點(diǎn)E，F(xiàn)，并證明A1E＝EF＝FC直線、平面垂直的判定與性質(zhì)1．直線與平面垂直的判定定理及性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a，b?α,a∩b＝O,l⊥a,l⊥b))?l⊥α性質(zhì)定理垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b2.平面與平面垂直的判定定理與性質(zhì)定理文字語言圖形語言符號(hào)語言判定定理一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l?β,l⊥α))?α⊥β性質(zhì)定理兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,l?β,α∩β＝a,l⊥a))?l⊥α考點(diǎn)一直線與平面垂直1．直線與平面垂直的判定定理(1)自然語言：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．(2)符號(hào)語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α.2．直線與平面垂直的性質(zhì)定理自然語言：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．符號(hào)語言：a⊥α，b⊥α?a∥b.[提醒]一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條平行直線都垂直，則該直線與此平面不一定垂直，也有可能直線在平面內(nèi)或平行于該平面，所以“相交”這一條件不可忽略．[典題例析](2023·重慶高考)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面是以O(shè)為中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝eq\f(π,3)，M為BC上一點(diǎn)，且BM＝eq\f(1,2).(1)證明：BC⊥平面POM；(2)若MP⊥AP，求四棱錐P-ABMO的體積．[類題通法]證明直線和平面垂直的常用方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推論(a∥b，a⊥α?b⊥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)(a⊥α，α∥β?a⊥β)；(4)利用面面垂直的性質(zhì)．當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面．[演練沖關(guān)]如圖，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為矩形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)．(1)求證：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.例2(2023·高考廣東卷)如圖(1)，四邊形ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，AB＝1，BC＝PC＝2，作如圖(2)折疊，折痕EF∥DC.其中點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段PD，PC上，沿EF折疊后點(diǎn)P疊在線段AD上的點(diǎn)記為M，并且MF⊥CF.(1)證明：CF⊥平面MDF；(2)求三棱錐M-CDE的體積．1.(1)(2023·大慶市第二次質(zhì)檢)如圖，四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.①求證：PC⊥BC；②求點(diǎn)A到平面PBC的距離．(2)如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC上的點(diǎn)且DF＝eq\f(1,2)AB，PH為△PAD中AD邊上的高．①證明：PH⊥平面ABCD；②證明：EF⊥平面PAB.【強(qiáng)化訓(xùn)練】1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點(diǎn)．證明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二)__面面垂直的判定和性質(zhì)______________1．兩個(gè)平面垂直的判定定理自然語言：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直．符號(hào)語言：a?α，a⊥β?α⊥β.[提醒]平面和平面垂直的判定定理的兩個(gè)條件：l?α，l⊥β，缺一不可．2．平面與平面垂直的性質(zhì)自然語言：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直．符號(hào)語言：α⊥β，α∩β＝CD，AB?α，AB⊥CD?AB⊥β.[典題例析](2023·江蘇高考)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.[類題通法]1．判定面面垂直的方法：(1)面面垂直的定義；(2)面面垂直的判定定理(a⊥β，a?α?α⊥β)．2．在已知平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化．在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．[演練沖關(guān)](2023·山東日照一模)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，Q為AD的中點(diǎn)．(1)若PA＝PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；(2)點(diǎn)M在線段PC上，PM＝tPC，試確定實(shí)數(shù)t的值，使PA∥平面MQB.(2023·高考江蘇卷)如圖，在三棱錐P-ABC中，D，E，F(xiàn)分別為棱PC，AC，AB的中點(diǎn)．已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5.求證：(1)直線PA∥平面DEF；(2)平面BDE⊥平面ABC.2.如圖所示，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱A1A⊥底面ABC，且各棱長(zhǎng)均相等，D，E，F(xiàn)分別為棱AB，BC，A1C(1)EF∥平面A1CD；(2)平面A1CD⊥平面A1ABB1.eq\a\vs4\al(考點(diǎn)三)__垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用________________(2023·高考北京卷)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別為A1C1，BC(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE(3)求三棱錐E-ABC的體積．【變式訓(xùn)練】1..如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為AB(1)設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)等于2，求三棱錐C-B1ED(2)求證：平面EB1D⊥平面B1CD.2(2023·北京)如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥和F分別是CD、PC的中點(diǎn)．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.3(2023·北京)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F(xiàn)分別是A1C1，(1)求證：平面ABE⊥平面B1BCC1；(2)求證：C1F∥平面ABE；(3)求三棱錐E－ABC的體積．題型三直線、平面垂直的綜合應(yīng)用1.如圖所示，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，已知BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4eq\r(5).(1)設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，求證：平面MBD⊥平面PAD；(2)求四棱錐P—ABCD的體積．2(2023·江西)如圖，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3.(1)證明：BE⊥平面BB1C(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C1考題溯源——空間線面垂直關(guān)系的證明3(2023·高考湖南卷)如圖，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1(1)證明：AC⊥B1D；(2)求直線B1C1與平面ACD14如圖，在直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝eq\r(2)，AA1＝3，E為CD上一點(diǎn)，DE＝1，EC＝3.(1)證明：BE⊥平面BB1C(2)求點(diǎn)B1到平面EA1C15．(2023·山東高考)如圖，四棱錐P-ABCD中，AP⊥平面PCD，AD∥BC，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，E，F(xiàn)分別為線段AD，PC的中點(diǎn)．(1)求證：AP∥平面BEF；(2)求證：BE⊥平面PAC.角度二：探索性問題中的平行與垂直關(guān)系6．(2023·大連雙基測(cè)試)已知三棱柱ABC-A′B′C′中，平面BCC′B′⊥底面ABC，BB′⊥AC，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，AA′＝3，E，F(xiàn)分別在棱AA′，CC′上，且AE＝C′F＝2.(1)求證：BB′⊥底面ABC；(2)在棱A′B′上找一點(diǎn)M，使得C′M∥平面BEF，并給出證明．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)四)__平面圖形的翻折問題__________________1．(2023·青島二模)如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AE的中點(diǎn)．現(xiàn)在沿AE將三角形ADE向上折起，在折起的圖形中解答下列問題：(1)在線段AB上是否存在一點(diǎn)K，使BC∥平面DFK？若存在，請(qǐng)證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)若平面ADE⊥平面ABCE，求證：平面BDE⊥平面ADE.2.如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D)，延長(zhǎng)AE交BC于F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖2所示．(1)若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線DM∥平面A1EF；(2)求證：BD⊥A1F(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試判斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說明理由．3..(2023·湖北武漢市調(diào)研)如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，得到三棱錐A-BCD.(1)求證：平面AOC⊥平面BCD；(2)若三棱錐A-BCD的體積為eq\f(\r(6),3)，且∠AOC是鈍角，求AC的長(zhǎng)．4．如圖(1)，在平面四邊形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝135°，∠C＝60°，AB＝AD，M，N分別是邊AD，CD上的點(diǎn)，且2AM＝MD，2CN＝ND.如圖(1)，將△ABD沿對(duì)角線BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，并連接AC，MN(如圖(2))．(1)證明：MN∥平面ABC；(2)證明：AD⊥BC；(3)若BC＝1，求三棱錐A-BCD的體積．【課后練習(xí)】1．(2023·南京檢測(cè))如圖，在正三棱錐ABC-A1B1C1中，E，F(xiàn)分別為BB1，AC(1)求證：BF∥平面A1EC；(2)求證：平面A1EC⊥平面ACC1A12.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱C1D1的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱BC(1)求證：AE⊥DA1；(2)在線段AA1上求一點(diǎn)G，使得直線AE⊥平面DFG.3．(2023·新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點(diǎn)為O，且AO(1)證明：B1C⊥AB(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，BC＝1，求三棱柱ABC-A1B1C1.4．(2023·西城一模)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD＝2AB，SA＝SD，SA⊥AB，N是棱AD的中點(diǎn)．(1)求證：AB∥平面SCD；(2)求證：SN⊥平面ABCD；(3)在棱SC上是否存在一點(diǎn)P，使得平面PBD⊥平面ABCD？若存在，求出eq\f(SP,PC)的值；若不存在，說明理由．5.(2023·商丘質(zhì)檢)如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝2BC＝4，∠ABC＝120°，E，M分別為AB，DE的中點(diǎn)，將△ADE沿直線DE翻折成△A′DE，F(xiàn)為A′C的中點(diǎn)，A′C＝4.(1)求證：平面A′DE⊥平面BCD；(2)求證：FB∥平面A′DE.2023年空間幾何真題1．【2023高考浙江，文4】設(shè)，是兩個(gè)不同的平面，，是兩條不同的直線，且，（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則2．【2023高考新課標(biāo)1，文6】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1．62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（）（A）斛（B）斛（C）斛（D）斛3．【2023高考浙江，文2】某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是（）B．C．D．4．【2023高考重慶，文5】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）（B）（C）（D）5．【2023高考陜西，文5】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A．B．C．D．6．【2023高考廣東，文6】若直線和是異面直線，在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，是平面與平面的交線，則下列命題正確的是（）A．至少與，中的一條相交B．與，都相交C．至多與，中的一條相交D．與，都不相交7．【2023高考浙江，文7】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡是（）A．直線B．拋物線C．橢圓D．雙曲線的一支8．【2023高考湖北，文5】表示空間中的兩條直線，若p：是異面直線；q：不相交，則（）A．p是q的充分條件，但不是q的必要條件B．p是q的必要條件，但不是q的充分條件C．p是q的充分必要條件D．p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件9．【2023高考新課標(biāo)1，文11】圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為）組成一個(gè)幾何體，該幾何體的三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示，若該幾何體的表面積為，則（）（A）（B）（C）（D）10．【2023高考福建，文9】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．B．C．D．11．【2023高考山東，文9】已知等腰直角三角形的直角邊的長(zhǎng)為，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）（A）QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。（B）QUOTE錯(cuò)誤！未找到引用源。（）（）12．【2023高考湖南，文10】某工作的三視圖如圖所示，現(xiàn)將該工作通過切削，加工成一個(gè)體積盡可能大的正方體新工件，并使新工件的一個(gè)面落在原工作的一個(gè)面內(nèi)，則原工件材料的利用率為（材料利用率=新工件的體積/原工件的體積）（）A、B、C、D、13．【2023高考北京，文7】某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長(zhǎng)棱的棱長(zhǎng)為（）A．B．C．D．14．【2023高考安徽，文9】一個(gè)四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）（A）（B）（C）（D）第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明評(píng)卷人得分二、填空題（題型注釋）15．【2023高考上海，文6】若正三棱柱的所有棱長(zhǎng)均為，且其體積為，則．16．【2023高考天津，文10】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位:m）,則該幾何體的體積為．17．【2023高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐P－A評(píng)卷人得分三、解答題（題型注釋）18．【2023高考安徽，文19】如圖，三棱錐P-ABC中，PA平面ABC，．（Ⅰ）求三棱錐P-ABC的體積；（Ⅱ）證明：在線段PC上存在點(diǎn)M，使得ACBM，并求的值．19．【2023高考北京，文18】（本小題滿分14分）如圖，在三棱錐中，平面平面，為等邊三角形，且，，分別為，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：平面平面；（Ⅲ）求三棱錐的體積．20．【2023高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的點(diǎn)，垂直于圓所在的平面，且．（Ⅰ）若為線段的