2021-2022學年湖南省益陽市南灣湖聯(lián)校高三數(shù)學文期末試題含解析

2021-2022學年湖南省益陽市南灣湖聯(lián)校高三數(shù)學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.【題文】參考答案：B略2.設是等差數(shù)列的前項和，若，則A.

B.

C.

D.參考答案：A3.已知f（x）=，若函數(shù)f（x）有三個零點，則實數(shù)a的值是（）A．e B． C．﹣ D．﹣e參考答案：D【考點】函數(shù)零點的判定定理．【分析】判斷f（x）的奇偶性，根據(jù)f（x）的零點個數(shù)可知ex+ax=0在（0，+∞）上只有一解，即直線y=﹣ax與y=ex相切，根據(jù)導數(shù)的幾何意義列方程組解出a即可．【解答】解：若x＞0，則f（﹣x）=ex+ax=f（x），同理，當x＜0時，f（﹣x）=f（x），∴f（x）是偶函數(shù)，又f（0）=0，∴x=0是f（x）的一個零點，∵f（x）有三個零點，∴f（x）在（0，+∞）上只有一個零點．當x＞0時，令f（x）=0得ex=﹣ax，∴直線y=﹣ax與y=ex相切．設切點坐標為（x0，y0），則，解得x0=1，a=﹣e．故選：D．【點評】本題考查了函數(shù)奇偶性的判斷與性質(zhì)，函數(shù)零點的個數(shù)判定，導數(shù)的幾何意義，屬于中檔題．4.已知為銳角，，，則的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.設不等式組表示的平面區(qū)域為D.若圓經(jīng)過區(qū)域D上的點，則r的取值范圍是A. B.C. D.參考答案：B6.已知拋物線C：y2=4x的焦點為F，過點F且傾斜角為的直線與拋物線C相交于P，Q兩點，則弦PQ的長為（）A．3 B．4 C．5 D．參考答案：D【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【分析】直線PQ的方程是，把代入拋物線y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，利用弦長公式，即可得出結論．【解答】解：直線PQ的方程是，把代入拋物線y2=4x消y得3x2﹣10x+3=0，設Q（x1，y1），P（x2，y2），則，所以|PQ|=x1+x2+p==，故選D．【點評】本題考查直線與拋物線位置關系的運用，考查弦長公式，屬于中檔題．7.在正三棱錐ABC—A1B1C1中，已知M為底面內(nèi)（含邊界）一動點，且點M到三個側(cè)面ABB1A1、BCC1B1、ACC1A1的距離成等差數(shù)列，則點M的軌跡是

（

）

A．一條線段

B．橢圓的一部分

C．雙曲線的一部分

D．拋物線的一部分參考答案：A8.在由四條直線圍成的區(qū)域內(nèi)任取一點，這點沒有落在和軸所圍成區(qū)域內(nèi)的概率是A．

B.

C.

D.

參考答案：A略9.已知雙曲線（，）的一條漸近線的方程是，且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B10.已知向量、滿足，且，，則向量、的關系是（

）A.互相垂直 B.方向相同C.方向相反 D.成120°角參考答案：C【分析】設向量與的夾角為，根據(jù)平面向量數(shù)量積的運算求出的值，進而可得出結論.【詳解】設向量與的夾角為，則，即，得，，.因此，向量、方向相反.故選：C.【點睛】本題考查兩向量位置關系的判斷，根據(jù)向量的數(shù)量積求出兩向量的夾角是解答的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（1+）6的展開式中第4項的系數(shù)為

．參考答案：略12.已知函數(shù)且，其中為奇函數(shù),為偶函數(shù)，若不等式對任意恒成立,則實數(shù)的取值范圍是

.參考答案：13.如圖，三個半徑都是10cm的小球放在一個半球面的碗中，小球的頂端恰好與碗的上沿處于同于水平面，則這個碗的半徑R是

cm．參考答案：

【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)三個小球和碗的相切關系，作出對應的正視圖和俯視圖，建立球心和半徑之間的關系即可得到碗的半徑．【解答】解：分別作出空間幾何體的正視圖和俯視圖如圖：則俯視圖中，球心O（也是圓心O）是三個小球與半圓面的三個切點的中心，∵小球的半徑為10cm，∴三個球心之間的長度為20cm，即OA=cm．，在正視圖中，球心B，球心O（同時也是圓心O），和切點A構成直角三角形，則OA2+AB2=OB2，其中OB=R﹣10，AB=10，∴，即，∴，即R=10+=cm．故答案為：．【點評】本題主要考查了球的相切問題的計算，根據(jù)條件作出正視圖和俯視圖，確定球半徑之間的關系是解決本題的關鍵，綜合性較強，難度較大．14.已知拋物線與圓有公共點，若拋物線在點處的切線與圓C也相切，則_________．參考答案：

15.．已知等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足S3=0，S5=﹣5，數(shù)列{}的前2016項的和為．參考答案：﹣【考點】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項公式．【分析】設等差數(shù)列{an}的公差為d，由S3=0，S5=﹣5，可得，解得：a1，d，可得an．再利用“裂項求和”方法即可得出．【解答】解：設等差數(shù)列{an}的公差為d，∵S3=0，S5=﹣5，∴，解得：a1=1，d=﹣1．∴an=1﹣（n﹣1）=2﹣n．∴==，數(shù)列{}的前2016項的和=+…+==﹣．故答案為：﹣．16.在直角坐標系xOy中，直線l過拋物線=4x的焦點F.且與該撇物線相交于A、B兩點.其中點A在x軸上方。若直線l的傾斜角為60o.則△OAF的面積為

參考答案：17.在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前11項和S11等于

．參考答案：132

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本題滿分12分）已知公差不為0的等差數(shù)列的前項和為，，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）試推導數(shù)列的前項和的表達式。參考答案：19.已知，，且直線與曲線相切．（1）若對內(nèi)的一切實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）（?。┊敃r，求最大的正整數(shù)，使得任意個實數(shù)（是自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立；（ⅱ）求證：．參考答案：（1）設點為直線與曲線的切點，則有．

（*），．

（**）

由（*）、（**）兩式，解得，．

1分由整理，得，，要使不等式恒成立，必須恒成立．

2分設，，，當時，，則是增函數(shù)，，是增函數(shù)，，．因此，實數(shù)的取值范圍是．

4分（2）當時，，，在上是增函數(shù)，在上的最大值為．要對內(nèi)的任意個實數(shù)都有成立，必須使得不等式左邊的最大值小于或等于右邊的最小值，當時不等式左邊取得最大值，時不等式右邊取得最小值．，解得．因此，的最大值為．

8分（3）證明：當時，根據(jù)（1）的推導有，時，，即．令，得，

化簡得，

．

13分20.如圖，在三棱錐P—ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AB＝BC，PA⊥PC．點E，F(xiàn)，O分別為線段PA，PB，AC的中點，點G是線段CO的中點．（1）求證：FG∥平面EBO；（2）求證：PA⊥BE．參考答案：（1）見解析；（2）見解析【分析】（1）連AF交BE于Q，連QO．由線段長度間的關系證明FG∥QO，進而證得FG∥平面EBO．（2）先證明BO⊥面PAC，可得BO⊥PA．由OE∥PC，PC⊥PA可得OE⊥PA，從而證得PA⊥平面EBO，即可證出結論.【詳解】（1）連AF交BE于Q，連QO．因為E、F、O分別為邊PA、PB、PC的中點，所以＝2．又Q是△PAB的重心．于是＝2＝，所以FG∥QO．因為FG?平面EBO，QO?平面EBO，所以FG∥平面EBO．（2）由AB＝BC，得△ACB為等腰三角形，因為O為邊AC的中點，所以BO⊥AC，因為平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，BO?平面ABC，所以BO⊥面PAC．因為PA?平面PAC，故BO⊥PA．在△PAC內(nèi)，O，E為所在邊的中點，故OE∥PC，且PA⊥PC，∴OE⊥PA，又BO∩OE＝O，所以PA⊥平面EBO，EB?平面EBO，所以PA⊥BE.【點睛】本題考查證明線線垂直，線面垂直，線面平行的判定定理，證明FG∥QO是線面平行的關鍵點，屬于中檔題．21.（本小題滿分12分）已知a>3且a≠，命題p：指數(shù)函數(shù)f(x)＝(2a－6)x在R上單調(diào)遞減，命題q：關于x的方程x2－3ax＋2a2＋1＝0的兩個實根均大于3.若p或q為真，p且q為假，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：若p真，則f(x)＝(2a－6)x在R上單調(diào)遞減，∴0＜2a－6＜1，∴3＜a＜.…3分若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，則應滿足…………6分∴解得a＞，又a>3且a≠，∴a>3且a≠………………8分又由題意應有p真q假或p假q真．………………9分ks5u①若p真q假，則a無解．②若p假q真，則a>，…………11分∴a>.…………12分22.已知函數(shù)，，且在點處的切線方程為.(Ⅰ）求的值；(Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點，求的取值范圍；

(Ⅲ）設為兩曲線，的交點，且兩曲線在交點處的切線分別為.若取，試判斷當直線與軸圍成等腰三角形時值的個數(shù)并說明理由.參考答案：解：(Ⅰ），∴，又，∴．

…………………3分(Ⅱ）；∴由得，∴或．

…………………5分∵，當且僅當或時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個極值點．

…………………6分若，即，當時；當時，函數(shù)有極大值點，若，即時，當時；當時，函數(shù)有極大值點，綜上，的取值范圍是．

…………………8分(Ⅲ）當時，設兩切線的傾斜角分別為，則，∵，∴均為銳角，

…………9分當，即時，若直線能與軸圍成等腰三角形，