2021-2022學(xué)年湖南省郴州市聯(lián)合高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析

2021-2022學(xué)年湖南省郴州市聯(lián)合高級(jí)中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虛數(shù)單位，a是實(shí)數(shù)，則|ai|=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2參考答案：B【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)求模．【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、模的計(jì)算公式即可得出．【解答】解：（a﹣i）2=﹣2i，其中i是虛數(shù)單位，a是實(shí)數(shù)，∴a2﹣1﹣2ai=﹣2i，∴a2﹣1=0，﹣2a=﹣2，∴a=1．則|ai|=|i|=1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知向量的夾角為，且，，則（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：D略3.函數(shù)（

）A．圖象無對(duì)稱軸,且在R上不單調(diào)B．圖象無對(duì)稱軸,且在R上單調(diào)遞增C．圖象有對(duì)稱軸,且在對(duì)稱軸右側(cè)不單調(diào)D．圖象有對(duì)稱軸,且在對(duì)稱軸右側(cè)單調(diào)遞增參考答案：D4.已知﹣2，a1，a2，﹣8成等差數(shù)列，﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比數(shù)列，則等于（）A． B． C．﹣ D．或﹣參考答案：B【考點(diǎn)】84：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式．【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)求得a2﹣a1、b2，則答案可求．【解答】解：∵﹣2，a1，a2，﹣8成等差數(shù)列，∴，∵﹣2，b1，b2，b3，﹣8成等比數(shù)列，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．5.已知雙曲線的右頂點(diǎn)、左焦點(diǎn)分別為A、F，點(diǎn)B（0，－b），若，則雙曲線的離心率值為（）（A）（B）（C）（D）參考答案：B由得，又，，則，，所以有，即，從而解得，又，所以，故選.6.若

（

）

A．

B． C． D．參考答案：答案：C7.已知“正整數(shù)對(duì)”按如下規(guī)律排成一列：則第60個(gè)數(shù)對(duì)是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C8.已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，令，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B．C． D．參考答案：C∵是上的奇函數(shù)，且滿足，∴，∴函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，∵函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù)，∴函數(shù)在上為增函數(shù)，且，由題知，，，∴．9.執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸出的結(jié)果是，則輸入的a為（）A．3 B．4 C．5 D．6參考答案：C【考點(diǎn)】程序框圖．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根據(jù)輸出的S值，確定跳出循環(huán)的n值，從而得判斷框內(nèi)的條件．【解答】解：由程序框圖知：算法的功能是求S=++…+的值，∵S==1﹣=．∴n=5，∴跳出循環(huán)的n值為5，∴判斷框的條件為n＜5．即a=5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，根據(jù)框圖的流程判斷算法的功能是解答本題的關(guān)鍵．10.的展開式中的系數(shù)為

（

）

A．-56

B．56

C．-336

D．336參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)棣?，其中k≥0，則當(dāng)Ω的面積取得最小值時(shí)的k的值為____________．參考答案：1略12.在極坐標(biāo)系中,點(diǎn)的極坐標(biāo)是,點(diǎn)是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是

．參考答案：試題分析：將化為直角坐標(biāo)是,將化為直角坐標(biāo)方程為,則曲線是圓心為,半徑為圓.圓心到點(diǎn)的距離為,圓上的動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的最大值為；最小值為,所以的取值范圍是.考點(diǎn)：圓的極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化．13.定義在實(shí)數(shù)上的函數(shù)f(x)＝的最小值是

.參考答案：－14.已知等差數(shù)列的公差為，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，所有奇數(shù)項(xiàng)之和為，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為，則這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為

；參考答案：10略15.已知不等式（m﹣n）2+（m﹣lnn+λ）2≥2對(duì)任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為

．參考答案：λ≥2﹣1或λ≤﹣2﹣1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【分析】問題看作點(diǎn)（m，m+λ），（n，lnn）兩點(diǎn)的距離的平方，即為直線y=x+λ和直線y=lnx的距離的最小值，當(dāng)y=lnx的切線斜率為1時(shí)，求出y=lnx在（1，0）處的切線與y=x+λ的最小值，解出即可．【解答】解：不等式（m﹣n）2+（m﹣lnn+λ）2≥2對(duì)任意m∈R，n∈（0，+∞）恒成立，看作點(diǎn)（m，m+λ），（n，lnn）兩點(diǎn)的距離的平方，即為直線y=x+λ和直線y=lnx的距離的最小值，當(dāng)y=lnx的切線斜率為1時(shí)，y′==1，點(diǎn)（1，0）處的切線與y=x+λ平行，距離的最小值是d=≥2，解得：λ≥2﹣1或λ≤﹣2﹣1，故答案為：λ≥2﹣1或λ≤﹣2﹣1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了曲線的切線方程問題，考查平行線的距離，問題轉(zhuǎn)化為直線y=x+λ和直線y=lnx的距離的最小值是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．16.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在直角坐標(biāo)系中，曲線的方程是，的參數(shù)方程是（為參數(shù)），則與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)是

．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程．N3

解析：C2的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程為：x2=3y2，則：，解得：由于C2的參數(shù)方程是（t為參數(shù)），滿足所以交點(diǎn)為：，即交點(diǎn)坐標(biāo)為：（，﹣1），故答案為：（，﹣1）【思路點(diǎn)撥】首先把參數(shù)方程轉(zhuǎn)化成直角坐標(biāo)方程，進(jìn)一步建立方程組求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，最后通過取值范圍求出結(jié)果．17.若等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為

.參考答案：（）三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，如圖，已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，、分別是、的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若與平面所成角為，且，求點(diǎn)到平面的距離．參考答案：解：【法一】（I）證明：如圖，取的中點(diǎn)，連接．由已知得且，又是的中點(diǎn)，則且，是平行四邊形，····································································································∴

又平面，平面

平面······································································································（II）設(shè)平面的距離為，【法一】：因平面，故為與平面所成角，所以，所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．作于，因，則，…………則，因所以………………

【法二】因平面，故為與平面所成角，所以，所以，，又因，是的中點(diǎn)所以，，．作于，連結(jié)，因，則為的中點(diǎn)，故所以平面，所以平面平面，作于，則平面，所以線段的長為平面的距離.又，所以……………

19.如圖,在幾何體中,平面底面,四邊形是正方形,是的中點(diǎn),且,.(I)證明:；(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.參考答案：(Ⅰ)如圖1所示，連接交于點(diǎn)，連接.

∵四邊形是正方形，∴是的中點(diǎn)又已知是的中點(diǎn)，∴又∵且，∴

即四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴

(Ⅱ)如圖2所示，以為原點(diǎn)，分別為軸和軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，，∴，，，設(shè)平面的法向量為，則由，，可得：，可令，則，∴平面的一個(gè)法向量設(shè)直線與平面所成角為，則.

20.（14分）如圖，四棱錐中，⊥底面，

⊥．底面為梯形，，.，點(diǎn)在棱上，且．（Ⅰ）求證：平面⊥平面；（Ⅱ）求證：∥平面；（Ⅲ）求二面角的大?。畢⒖即鸢福航馕觯鹤C明：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABCD，∴．又AB⊥BC，，∴⊥平面．

2分又平面，∴平面⊥平面．

4分

（Ⅱ）∵PA⊥底面ABCD，∴AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影．又∵PC⊥AD，∴AC⊥AD．

5分在梯形中，由AB⊥BC，AB=BC，得，∴．又AC⊥AD，故為等腰直角三角形．∴．連接，交于點(diǎn)，則

7分在中，，∴又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．

9分

（Ⅲ）在等腰直角中，取中點(diǎn)，連結(jié)，則．∵平面⊥平面，且平面平面=，∴．在平面內(nèi)，過作直線于，連結(jié)，由于是在平面內(nèi)的射影，故．∴就是二面角A—CE—P的平面角．

12分在中，設(shè)，則，，，，由，可知：∽，∴代入解得：．在中，，∴．

13分即二面角A—CE—P的大小為．

14分解法二：（Ⅱ）以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸、軸，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則，，，，.5分設(shè)，則，，∴，解得：．．連結(jié)，交于點(diǎn)，則.7分在中，，∴．又PD平面EAC，EM平面EAC，∴PD∥平面EAC．

9分（Ⅲ）設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，∴解得：，∴．

11分設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，又，，∴解得：，∴．

12分．

13分∴二面角A—CE—P的大小為．

14分21.（12分）設(shè)函數(shù)(1)若x=2是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，1和是函數(shù)的兩個(gè)不同零點(diǎn)，且，求。(2)若對(duì)任意,都存在(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。參考答案：（Ⅰ），∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴.∵1是函數(shù)的零點(diǎn)，得，由解得.

∴,，令，，得；

令得，所以在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.故函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，其中，因?yàn)?，，所以，故．（Ⅱ）令，，則為關(guān)于的一次函數(shù)且為增函數(shù)，根據(jù)題意，對(duì)任意，都存在，使得成立，則在有解，令，只需存在使得即可，由于=，令，，∴在(1，e)上單調(diào)遞增，，①當(dāng)，即時(shí)，，即，在(1，e)上單調(diào)遞增，∴，不符合題意.②當(dāng)，即時(shí)，，若，則，所以在(1，e)上恒成立，即恒成立，∴在(1，e)上單調(diào)遞減,22.對(duì)定義在[0，1]上，并且同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)f（x）稱為不等函數(shù)．①對(duì)任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時(shí)，總有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．已知函數(shù)g（x）=x3與h（x）=2x﹣a是定義在[0，1]上的函數(shù)．（1）試問函數(shù)g（x）是否為不等函數(shù)？并說明理由；（2）若函數(shù)h（x）是不等函數(shù)，求實(shí)數(shù)a組成的集合．參考答案：【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)綜合題．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)不等函數(shù)的定義和條件進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)h（x）是不等函數(shù)，驗(yàn)證兩個(gè)條件即可．【解答】解：（1）當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，總有g(shù)（x）=x3≥0，滿足①；當(dāng)x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1時(shí)，g（x1+x2）=（x1+x2）3=++3?x2+3x1?≥+=g（x1）+g（x2），滿足②，所以函數(shù)g（x）是不等函數(shù)．（2）h（x