2021-2022學(xué)年福建省福州市長樂華僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省福州市長樂華僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)的圖象分別與直線交于兩點(diǎn),則的最小值為(

)

A.2

B.

C.

D.參考答案：B2.一個幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖是腰長為1的兩個全等的等腰直角三角形，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知是橢圓的兩焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，若，則（

）A.3

B.8

C.13

D.16參考答案：A4.二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四維測度（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】因為，，由此類比可得，，從而可得到結(jié)果.【詳解】因為二維空間中圓的一維測度（周長），二維測度（面積），觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間中球的二維測度（表面積），三維測度（體積），觀察發(fā)現(xiàn).所以由四維空間中“超球”的三維測度，猜想其四為測度W，應(yīng)滿足，又因為，所以，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查類比推理以及導(dǎo)數(shù)的計算.5.函數(shù)（）的部分圖象如圖所示，則函數(shù)表達(dá)式為()A．

B．C．

D．參考答案：B6.雙曲線的兩條漸近線所成的銳角是（

）A．30°

B．45°

C．60°

D．75°參考答案：C7.已知變量滿足則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：D略8.b=0是函數(shù)為偶函數(shù)的（

）條件

A．充分而不必要B．必要而不充分C．充分必要

D．既不充分也不必要參考答案：C略9.若銳角中，，則的取值范圍是

（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：C10.復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)位于第（

）象限。A．一

B.二

C.三

D.四參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.曲線上的點(diǎn)到直線的最短距離是___________參考答案：略12.已知四面體中，且，則異面直線與所成的角為________.參考答案：13.函數(shù)f(x)＝|log3x|在區(qū)間[a，b]上的值域為[0,1]則b－a的最小值為_______參考答案：2/3略14.焦點(diǎn)在直線上，且頂點(diǎn)在原點(diǎn)的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為

_____

參考答案：或

略15.已知R，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位），則

．參考答案：1略16.已知函數(shù),其中是實(shí)數(shù).設(shè),為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn),且.若函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線重合,則的取值范圍是

參考答案：17.已知一個三角形的三邊長分別是5，5，6，一只螞蟻在其內(nèi)部爬行，若不考慮螞蟻的大小，則某時刻該螞蟻距離三角形的三個頂點(diǎn)的距離均超過2的概率是

．參考答案：1﹣【考點(diǎn)】幾何概型．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】分別求出對應(yīng)事件對應(yīng)的面積，利用幾何概型的概率公式即可得到結(jié)論．【解答】解：∵三角形的三邊長分別是5，5，6，∴三角形的高AD=4，則三角形ABC的面積S=，則該螞蟻距離三角形的三個頂點(diǎn)的距離均超過2，對應(yīng)的區(qū)域為圖中陰影部分，三個小扇形的面積之和為一個整圓的面積的，圓的半徑為2，則陰影部分的面積為S1=12﹣=12﹣2π，則根據(jù)幾何概型的概率公式可得所求是概率為，故答案為：1﹣．【點(diǎn)評】本題主要考查幾何概型的概率計算，根據(jù)條件求出相應(yīng)的面積是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，向量，且。（1）求角C；（2）若，△ABC的面積為，求△ABC內(nèi)切圓的半徑。參考答案：（1）（2）【分析】（1）由得出，利用正弦定理邊角互化的思想，以及內(nèi)角和定理將轉(zhuǎn)化為，并利用兩角和的正弦公式求出的值，于此得出角的值；（2）由三角形的面積公式求出，結(jié)合余弦定理得出的值，可求出的值，再利用等面積法得出，即可得出的內(nèi)切圓半徑的值.【詳解】（1）由得，由正弦定理，，.在中，，；（2）由等面積法：得.由余弦定理，，，從而，.【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，以及三角形面積的應(yīng)用，考查三角形內(nèi)切圓半徑的計算，在計算內(nèi)切圓的半徑時，可利用等面積法得出（其中為三角形的面積，為三角形的周長），考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。19.設(shè)展開式中僅有第1010項的二項式系數(shù)最大.（1）求n；（2）求；（3）求.參考答案：（1）2018；（2）0；（3）4036【分析】（1）由二項式系數(shù)的對稱性，可得展開式的項數(shù)，且1＝1010，解得n．（2）令x＝1，可得a0+a1+a2+…+a2018．（3）給原式兩邊同時求導(dǎo)后，再令，即可得出．【詳解】（1）由二項式系數(shù)的對稱性，得展開式共計2019項，，.（2）的展開式中各項系數(shù)和為，令，可得，再令，可得，所以.（3）給原式兩邊同時求導(dǎo)得到當(dāng)，令，得.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是分析所給代數(shù)式的特點(diǎn)，通過給二項式的x賦值進(jìn)行求解，考查了分析推理能力與計算能力，屬于中檔題．20.如圖1，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)．將△ABE沿AE折起后如圖2，使二面角B﹣AE﹣C成直二面角，設(shè)F是CD的中點(diǎn)，P是棱BC的中點(diǎn)．（1）求證：AE⊥BD；（2）求證：平面PEF⊥平面AECD；（3）判斷DE能否垂直于平面ABC，并說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】平面與平面垂直的判定；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明AE⊥BD，只需證明AE⊥平面BDM，利用△ABE與△ADE是等邊三角形，即可證明；（2）證明平面PEF⊥平面AECD，只需證明PN⊥平面AECD，只需證明BM⊥平面AECD即可；（3）DE與平面ABC不垂直．假設(shè)DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，從而可證明DE⊥平面ABE，可得DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾．【解答】（1）證明：設(shè)AE中點(diǎn)為M，連接BM，∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠ABC=60°，E是BC的中點(diǎn)，∴△ABE與△ADE都是等邊三角形．∴BM⊥AE，DM⊥AE．∵BM∩DM=M，BM、DM?平面BDM，∴AE⊥平面BDM．∵BD?平面BDM，∴AE⊥BD．（2）證明：連接CM交EF于點(diǎn)N，∵M(jìn)E∥FC，ME=FC，∴四邊形MECF是平行四邊形，∴N是線段CM的中點(diǎn)．∵P是BC的中點(diǎn)，∴PN∥BM．∵BM⊥平面AECD，∴PN⊥平面AECD．又∵PN?平面PEF，∴平面PEF⊥平面AECD．（3）解：DE與平面ABC不垂直．證明：假設(shè)DE⊥平面ABC，則DE⊥AB，∵BM⊥平面AECD，∴BM⊥DE．∵AB∩BM=B，AB、BM?平面ABE，∴DE⊥平面ABE．∵AE?平面ABE，∴DE⊥AE，這與∠AED=60°矛盾．∴DE與平面ABC不垂直．21.（本題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線，曲線.（I）求曲線C1及C2的直角坐標(biāo)方程；（II）設(shè)P為曲線C1上的動點(diǎn)，求點(diǎn)P到C2上的點(diǎn)的距離最大值.參考答案：解：（I）由得，即由得：∴∴C1的直角坐標(biāo)方程為C2的直角坐標(biāo)方程為………….6分（II）∵點(diǎn)(2,0)到直線的距離∴點(diǎn)P到C2上點(diǎn)的距離最大值為…………….12分

22.把正方形AA1B1B以邊AA1所在直線為軸旋轉(zhuǎn)900到正方形AA1C1C，其中D，E，F(xiàn)分別為B1A，C1C，BC的中點(diǎn)．（1）求證：DE∥平面ABC；（2）求證：B1F⊥平面AEF；（3）求二面角A﹣EB1﹣F的大?。畢⒖即鸢福骸究键c(diǎn)】用空間向量求平面間的夾角；直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）取AB的中點(diǎn)為G，連接DG，CG；根據(jù)條件可以得到CEDG是平行四邊形即可得到結(jié)論；（2）直接把問題轉(zhuǎn)化為證明AF⊥B1F以及B1F⊥EF；（3）先建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個半平面的法向量，再代入向量的夾角計算公式即可．【解答】（本小題滿分12分）解：（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為G，連接DG，CG∵D是A1B的中點(diǎn)∴DG∥A1A且DG=…∵E是C1C的中點(diǎn)∴CE∥A1A且CE=，∴CE∥DG且CE=DG∴CEDG是平行四邊形，∴DE∥GC∵DE?平面ABC，GC?平面ABC，∴DE∥平面ABC…（2）∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，且F是BC的中點(diǎn)∴AF⊥BC∵平面ABC⊥平面BCC1B1∴AF⊥平面BCC1B1∴AF⊥B1F…設(shè)AB=AA1=2，則在B1FE中，，則，B1E=3∴∴△B1FE是直角三角形，∴B1F⊥EF∵AF∩EF=F∴B1F⊥平面AEF…（3）分別