高中數(shù)學(xué)第一輪總復(fù)習(xí) 第10章第54講平面的基本性質(zhì)與空間兩條直線的位置關(guān)系 文

第十章立體幾何幾何初步.平面的基本性質(zhì)與空間第54講.平面的基本性質(zhì)

【例1】回答下列問題：(1)不重合的三條直線相交于一點，最多能確定多少個平面；若相交于兩點，又最多能確定多少個平面？(2)分別和兩條異面直線都相交的兩直線的位置關(guān)系是怎樣的？.【解析】(1)依據(jù)“兩條相交直線可確定一個平面”知：不重合的三條直線相交于一點，最多能確定3個平面．若三條直線相交于兩點，則最多能確定2個平面(這里有兩條直線為異面直線)．.(2)不妨設(shè)a、b為異面直線，直線c分別與a、b交于點A、B，直線d分別與a、b交于點C、D.若A、C重合或B、D重合，則直線c、d相交；若A與C和B與D均不重合，則c、d異面．(否則，c、d共面，不妨設(shè)c、d共面于平面α，則c、dα，所以A、B、C、D∈α.又A、C∈a，B、D∈b，所以a、bα，與a、b異面矛盾！).點評(1)中若去掉“最多”二字，則前者結(jié)論是1或3；后者結(jié)論是1或2.(2)題不易從正面說清，因而用反證法，體現(xiàn)“正難則反”的思維規(guī)律．

.【變式練習(xí)1】在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是A1B1和CC1的中點．請畫出平面DMN與平面BB1C1C及平面ABB1A1的交線．

.【解析】如圖，平面DMN∩平面BB1C1C＝PN，平面DMN∩平面ABB1A1＝RM.

.共點、共線、共面問題【例2】如圖，在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，求證：(1)E、C、D1、F四點共面；(2)CE、D1F、DA三線共點．.【解析】(1)連結(jié)A1B、CD1.因為E是AB的中點，F(xiàn)是A1A的中點，則EF∥A1B.又在正方體ABCD—A1B1C1D1中，A1B∥D1C，所以EF∥D1C.故E、C、D1、F四點共面．.(2)由(1)知，EF∥D1C且EF＝D1C，故四邊形ECD1F是梯形，兩腰CE、D1F相交，設(shè)其交點為P，則P∈CE.又CE平面ABCD，所以P∈平面ABCD.同理，P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，所以P∈AD，所以CE、D1F、DA三線共點．.點評公理體系是整個立體幾何的基礎(chǔ)，是空間線面位置關(guān)系的支撐，是學(xué)生形成空間想象能力的基本依據(jù)．熟練掌握四個公理及其推論，是解決共點、共線、共面問題的關(guān)鍵．公理1是判斷一條直線是否在某個平面的依據(jù)；公理2是證明三線共點或三點共線的依據(jù)．要能夠熟練用文字語言、符號語言、圖形語言來表示公理；公理3及其推論(過直線和直線外一點、兩條相交直線、兩條平行直線有且只有一個平面)是判斷或證明點線共面的依據(jù)．...【例3】一個正方體的紙盒展開后如圖．在原正方體的紙盒中有下列結(jié)論：①AB⊥EF；②AB與CM成60°角；③EF與MN是異面直線；④MN∥CD.其中正確的是________．空間兩條直線的位置關(guān)系

.【解析】原正方體如圖所示，AB可平行移動到CM位置，即AB∥CM.在正方形CEMF中，CM⊥EF，故AB⊥EF，①正確，②錯誤；同理，MN⊥CD，故④錯誤，只有①③正確．答案：①③

.點評本題考查學(xué)生的空間想象能力．解決問題的關(guān)鍵是將其還原成正方體，要注意字母的相應(yīng)位置千萬不能搞錯．空間兩條直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面．對于異面直線，考綱泛讀也僅僅是了解而已，但也必須會判斷，這對理解兩條異面直線的垂直問題有很大幫助．.【變式練習(xí)3】如圖是正方體的平面展開圖，則這個正方體中：①BM與ED平行；②CN與BM成60°角；③BE與CN是異面直線；④DM⊥BN.其中正確命題的序號為__________..【解析】將平面展開圖還原成正方體，如圖所示．觀察圖形知，①錯，因為BM與ED垂直；②對．連結(jié)BE、EM.因為CN∥BE，故∠EBM是異面直線CN、BM所成的角．在正三角形EBM中，∠EBM＝60°，故CN與BM成60°角；③錯，因為BE與CN是平行直線；④對，因為CN為BN在平面CDNM內(nèi)的射影，且CN⊥DM，所以BN⊥DM.綜上，正確命題的序號是②④....2.已知a、b、c是三條不同的直線，有下列四個命題：①若a∥b，b∥c，則a∥c；②若a與b是異面直線，c與b是異面直線，則a與c是異面直線；③若a⊥b，b⊥c，則a∥c；④若a∥c，a與b是異面直線，則b與c是異面直線．其中真命題為________.①.3.下列各圖是正方體或正四面體(四個面都是正三角形的四面體)，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，則這四點不共面的一個圖形是___________..【解析】正方體ABCD－A1B1C1D1中，因為PS∥A1C1∥QR，所以P、Q、R、S共面，如下圖(1)，排除①.如圖(2)，(1)(2)(3).正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別為AA1、BC的中點，則PEQFRS為正六邊形，所以P、Q、R、S共面，排除②.如圖(3)，因為PQ∥AB∥SR，所以P、Q、R、S共面，排除③.故選④..4.已知直線l與三條平行線a、b、c都相交．求證：l與a、b、c共面．.5.如圖，在三棱錐A－BCD中，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點．(1)求證：四邊形EFGH是平行四邊形；(2)若AC＝BD，求證：四邊形EFGH是菱形；(3)當(dāng)AC與BD滿足什么條件時，四邊形EFGH是正方形．...本節(jié)是立體幾何的基礎(chǔ)內(nèi)容，四個公理及其推論是判斷共線、共面的依據(jù)，也是將空間問題平面化的主要依據(jù)．(1)證明點線共面的常用方法：一是依據(jù)題中所給條件先確定一個平面，然后證明其余的點或線都在面內(nèi)；二是將所有元素分成幾個部分，然后分別確定幾個平面，再證這些平面重合；三是采用反證法．.(2)證明三線共點：可以證明兩條直線的交點在第三條直線上，而第三條直線往往是兩個平面的交線．