指導(dǎo)三集合與常用邏輯用語

專題研讀 解決“會而不對，對而不全”問題是決定高考成敗的關(guān)鍵，高考數(shù)學考試中出現(xiàn)錯誤的原因很多，其中錯解類型主要有：知識性錯誤，審題或忽視隱含條件錯誤，運算錯誤，數(shù)學思想、方法運用錯誤，邏輯性錯誤，忽視等價性變形錯誤等.下面我們分幾個主要專題對易錯的知識點和典型問題進行剖析， 為你提個醒，力爭做到“會而對，對而全”.溯源回扣一 集合與常用邏輯用語1.描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義 ——抓住集合的代表元素.如：{x|ylgx}——函數(shù)的定義域；{y|y＝lgx}——函數(shù)的值域；{(x，y)|y＝lgx}——函數(shù)圖象上的點集.[回扣問題1]集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，則A∩B＝________.解析A＝R，B表示直線x－y＝1上的點集，∴A∩B＝?.答案?2.遇到A∩B＝?時，你是否注意到“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應(yīng)用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時，不要忽略A＝?的情況.＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，則[回扣問題2]設(shè)集合A實數(shù)m組成的集合是____________.解析由題意知集合A＝{2，3}，由A∩B＝B知B?A.①當B＝?時，即方程mx－1＝0無解，此時m＝0符合已知條件；11②當B≠?時，即方程mx－1＝0的解為2或3，代入得m＝2或3.1 1綜上，滿足條件的 m組成的集合為 0，2，3.1 1 3.注重數(shù)形結(jié)合在集合問題中的應(yīng)用， 列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借助數(shù)軸來運算，求解時要特別注意端點值 .[回扣問題

3]

已知全集

I＝R，集合

A＝{x|y＝

1－x}，集合

B＝{x|0≤x≤2}，則(?IA)∪B等于(

)A.[1，＋∞)C.[0，＋∞)

B.(1，＋∞)D.(0，＋∞)解析 A＝(－∞，1]，B＝[0，2]，∴?IA＝(1，＋∞)，則(?IA)∪B＝[0，＋∞).答案 C4.“否命題”是對原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結(jié)論；而“命題p的否定”即：非p，只是否命題p的結(jié)論.[回扣問題4] 已知實數(shù)a，b，若|a|＋|b|＝0，則a＝b.該命題的否命題是________，命題的否定是________.答案 已知實數(shù)a，b，若|a|＋|b|≠0，則a≠b已知實數(shù)

a，b，若|a|＋|b|＝0，則

a≠b5.要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是 B”是指B能推出A，且A

不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指 A能推出B，且B不能推出

A.[回扣問題5] (2017·天津卷)設(shè)x∈R，則“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，當x≤2時不一定有x≥0，而當0≤x≤2時一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件.答案 B6.含有量詞的命題的否定，不僅是把結(jié)論否定，而且要改寫量詞，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞 .[回扣問題6] 命題p：?x∈R，ex－x－1>0，則綈p是________.解析 “?”變?yōu)椤?”，并將結(jié)論否定，∴綈p：?x0∈R，ex0－x0－1≤0.答案 ?x0∈R，ex0－x0－1≤07.存在性或恒成立問題求參數(shù)范圍時，常與補集思想聯(lián)合應(yīng)用，即體現(xiàn)了正難則反思想.[回扣問題7]若存在∈[1，3]，使得不等式2＋(a－2)x－2>0成立，則實數(shù)xaax的取值范圍是________.解析“存在a∈[1，3]，使不等式ax2＋－2)x－2>0成立”的否定是“對任意(aa∈[1，3]，不等式ax2＋(a－2)x－2≤0成立”，即(x2＋x)a－2x－2≤0對a∈[1，3]恒成立，設(shè)f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，其中a∈[1，3].f（1）≤0，2若f(a)≤0，則解得－1≤x≤3.f（3）≤0，2故要使原不等式成立，則 x>3或x<－1.2答案 (－∞，－1)∪3，＋∞溯源回扣二 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)1.求函數(shù)的定義域，關(guān)鍵是依據(jù)含自變量 x的代數(shù)式有意義來列出相應(yīng)的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數(shù)一定是非負數(shù)；對數(shù)式中的真數(shù)是正數(shù)；列不等式時，應(yīng)列出所有的不等式，不應(yīng)遺漏 .x1[回扣問題1]函數(shù)f(x)＝lnx－1＋x2的定義域為()A.(0，＋∞)B.(1，＋∞)C.(0，1)D.(0，1)∪(1，＋∞)x≥0，x≥0，解析要使函數(shù)有意義，應(yīng)有x則>0，x（x－1）>0，x－1解得x>1.答案 B2.求解與函數(shù)、不等式有關(guān)的問題(如求值域、單調(diào)區(qū)間、判斷奇偶性、解不等式等)，要注意定義域優(yōu)先的原則.[回扣問題 2] (2017·全國Ⅱ卷改編)函數(shù) f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)增區(qū)間是________.解析要使函數(shù)有意義，則x2－2x－，解得x<－2或，結(jié)合二次函數(shù)、對8>0x>4數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和復(fù)合函數(shù)同增異減的原則得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為(4，＋∞).答案(4，＋∞)3.定義域必須關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件，為此確定函數(shù)的奇偶性時，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱 .函數(shù)y＝f(x)為奇函數(shù)，但不一定有f(0)＝0成立.[回扣問題3]函數(shù)f(x)＝ln（1－x2）的奇偶性是______.|x－2|－2解析由1－x2>0且－－≠，知f(x)的定義域為－，∪(0，1)，關(guān)于原點|x2|20(10)lg（1－x2）對稱，則f(x)＝ ，xlg（1－x2）又f(－x)＝x＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù).答案 奇函數(shù)4.理清函數(shù)奇偶性的性質(zhì).f(x)是偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)；(3)定義域含0的奇函數(shù)滿足f(0)＝0.[回扣問題4] 已知f(x)為偶函數(shù)，它在[0，＋∞)上是減函數(shù)，若f(lgx)>f(1)，則x的取值范圍是________.解析 因為f(x)為偶函數(shù)，所以 f(lgx)＝f(|lgx|)，從而由f(lgx)>f(1)，得f(|lgx|)>f(1)，又因為f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，1所以|lgx|<1，即－1<lgx<1，解得10<x<10.1答案 10，105.記準函數(shù)周期性的幾個結(jié)論：由周期函數(shù)的定義“函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，則f(x)是周期為a的周期函數(shù)”得：(1)函數(shù)f(x)滿足－f(x)＝f(a＋x)，則f(x)是周期T＝2a的周期函數(shù)；1(2)若f(x＋a)＝f（x）(a≠0)成立，則T＝2a；1(3)若f(x＋a)＝－f（x）(a≠0)恒成立，則T＝2a；(4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，則T＝2a.1[回扣問題 5] 對于函數(shù) f(x)定義域內(nèi)任意的 x，都有 f(x＋2)＝－f（x），若當2<x≤3時，f(x)＝x，則f(2017)＝________.解析 易知y＝f(x)的最小正周期T＝4，1f(2017)＝f(1)＝－f（3）＝－3.1 6.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時，多個單調(diào)區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接，或用“，”隔開.單調(diào)區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替.[回扣問題6]函數(shù)f(x)＝x3－3x的單調(diào)增區(qū)間是________.解析由f′(x)＝3x2－3>0，得x>1或－x<1.答案 (－∞，－1)和(1，＋∞)7.圖象變換的幾個注意點.(1)混淆平移變換的方向與單位長度 .(2)區(qū)別翻折變換：f(x)→|f(x)|與f(x)→f(|x|).(3)兩個函數(shù)圖象的對稱.①函數(shù)y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱 .②函數(shù)y＝f(x)與y＝f(－x)的圖象關(guān)于直線x＝0(y軸)對稱；函數(shù)y＝f(x)與函數(shù)y＝－f(x)的圖象關(guān)于直線y＝0(x軸)對稱.[回扣問題7](2016·全國Ⅲ卷)函數(shù)y＝sinx－3cosx的圖象可由函數(shù)y＝2sinx的圖象至少向右平移________個單位長度得到.π解析 y＝sinx－ 3cosx＝2sinx－3.π∴y＝2sin x的圖象向右平移3個單位，π得y＝2sinx－3的圖象.π答案38.不能準確理解基本初等函數(shù)的定義和性質(zhì) .如函數(shù) y＝ax(a>0，a≠1)的單調(diào)性忽視字母a的取值討論，忽視 ax>0；對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，a≠1)忽視真數(shù)與底數(shù)的限制條件.[回扣問題8] 函數(shù)y＝loga|x|的增區(qū)間為________________________________.答案 當a>1時，函數(shù)的增區(qū)間為(0，＋∞)；當0<a<1時，函數(shù)的增區(qū)間為(－∞，0)9.分段函數(shù)的圖象，一定要準確看清楚分界點的函數(shù)值 .[回扣問題9]已知函數(shù)f(x)＝ex－k，x≤0，是R上的增函數(shù)，則實數(shù)k的（1－k）x＋k，x>0取值范圍是________.解析 由題意知k<1，即1k≥2，

1－k>0，e0－k≤（1－k）×0＋k，1所以2≤k<1.1答案 2，110.易混淆函數(shù)的零點和函數(shù)圖象與 x軸的交點，不能把函數(shù)零點、方程的解、不等式解集的端點值進行準確互化 .[回扣問題

10]

函數(shù)

f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)的零點個數(shù)為

(

)A.1

B.2C.3

D.4解析

由|x－2|－lnx＝0，得lnx＝|x－2|.在同一坐標系內(nèi)作

y＝lnx與

y＝|x－2|的圖象(圖略)，有兩個交點.∴f(x)＝|x－2|－lnx在定義域內(nèi)有兩個零點.答案 B11.混淆y＝f(x)在某點x0處的切線與y＝f(x)過某點x0的切線，導(dǎo)致求解失誤.[回扣問題11](2017·天津卷)已知a∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ax－lnx的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________.1 為y－a＝(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y軸上的截距為1.答案 112.利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性：設(shè)函數(shù)y＝f(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f′(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；如果在某個區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內(nèi)為常函數(shù).注意 如果已知f(x)為減函數(shù)求參數(shù)取值范圍，那么不等式 f′(x)≤0恒成立，但要驗證f′(x)是否恒等于0，增函數(shù)亦如此.[回扣問題12] 若函數(shù)f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數(shù)，則a的取值范圍是________.解析 f(x)＝ax3－x2＋x－5的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝3ax2－2x＋1.a>0，1由f′(x)≥0在R上恒成立，得解得a≥3.＝4－12a≤0，當＝1時，′(＝－2≥0，當且僅當x＝1時取等號，∴a≥1a3fx)(x1)3.1答案3，＋∞00處有極值的充分13.對于可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)，錯以為f′(x)＝0是函數(shù)y＝f(x)在x＝x條件.[回扣問題13]若函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極小值10，則a＋b＝________.f（1）＝a2＋a＋b＋1＝10，解析 由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′（1）＝2a＋b＋3＝0，a＝4， a＝－3，解得 或 經(jīng)驗證，當a＝4，b＝－11時，滿足b＝－11 b＝3，題意；當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2≥0恒成立，不滿足題意，舍去 .答案 －7溯源回扣三 三角函數(shù)與平面向量1.三角函數(shù)值是比值，是一個實數(shù)，這個實數(shù)的大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只由角α的終邊位置決定.[回扣問題1]已知角α的終邊經(jīng)過點P(3，－4)，則sinα＋cosα的值為________.解析43由三角函數(shù)定義，sinα＝－，cosα＝，551∴sinα＋cosα＝－5.1 2.求y＝Asin(ωx＋φ)的單調(diào)區(qū)間時，要注意 ω，A的符號.若ω<0時，應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式將x的系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)后再求解；在書寫單調(diào)區(qū)間時，不能弧度和角度混用，需加2kπ時，不要忘掉k∈Z，所求區(qū)間一般為閉區(qū)間 .π[回扣問題2] 函數(shù)y＝sin－2x＋3的遞減區(qū)間是________.π解析 y＝－sin2x－3，ππππ5令2kπ－2≤2x－3≤2kπ＋2，k∈Z，得kπ－12≤x≤kπ＋12π，k∈Z.π5答案kπ－12，kπ＋12π(k∈Z)3.在三角函數(shù)求值中，忽視隱含條件的制約導(dǎo)致增解 .153ππ[回扣問題3]已知cosα＝7，sin(α＋β)＝14，0<α<2，0<β<2，則cosβ＝________.π1π1解析∵0<α<2且cosα＝7<cos3＝2，π π∴3<α<2，π π又0<β<2，∴3<α＋β<π，5 3 3 2π又sin(α＋β)＝14<2，∴3<α＋β<π.2 11∴cos(α＋β)＝－ 1－sin（α＋β）＝－14，43sinα＝1－cosα＝7.cosβ＝cos[(α＋β)－α]1＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝2.答案

124.已知三角形兩邊及一邊對角，利用正弦定理解三角形時，注意解的個數(shù)討論，可能有一解、兩解或無解 .在△ABC中，A>B?sinA>sinB.[回扣問題4] 在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為 a，b，c且a＝1，c＝ 3.π若C＝3，則角A＝________.acasinC1解析由正弦定理得sinA＝sinC，即sinA＝c＝2.π π又a<c，所以A<C，所以0<A<3，所以A＝6.π答案65.設(shè)兩個非零向量a，b，其夾角為θ，當θ為銳角時，a·b>0，且a，b不同向；故a·b>0是θ為銳角的必要不充分條件；當θ為鈍角時，a·b<0，且a，b不反向，故a·b<0是θ為鈍角的必要不充分條件.[回扣問題5]已知向量a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，設(shè)a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是____________.解析 因為θ為銳角，所以0<cosθ<1.a·b又因為cosθ＝|a||b|＝2λ＋1，25·λ＋1所以0<2λ＋1且2λ＋1≠1，225·λ＋15·λ＋12λ＋1>0，1所以解得λ>－2，2λ＋1≠2λ≠2，5·λ＋1，所以λ的取值范圍是λλ>－1且λ≠2.2答案λλ>－1且λ≠226.切忌混淆三角形“四心”，注意不同的向量表示形式.回扣問題→→→→→[6]若O是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足|OB||OB|，則△ABC的形狀為________.解析→→＝→＋→－→OC||OBOC2OA|→ → → → → → →|CB|＝|AB＋AC|，即|AB－AC|＝|AB＋AC|.故以AB，AC為鄰邊的平行四邊形為矩形 .因此△ABC是以A為直角頂點的直角三角形 .答案 直角三角形溯源回扣四 數(shù)列與不等式1.已知數(shù)列的前n項和Sn求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.事實上，當n＝1時，a1＝S1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.[回扣問題1] 已知數(shù)列{an}對任意的n∈N*都滿足a1＋2a2＋22a3＋?＋2n－1an＝8－5n，則數(shù)列{an}的通項公式為________.解析當n≥2時，由于a1＋2a2＋22a3＋?＋2n－1an＝8－5n，那么a1＋2a2＋22a3＋?＋2n－2an－1＝8－5(n－1)，兩式對應(yīng)相減可得 2n－1an＝8－5n－[8－5(n－1)]＝－5，所以an＝－n51.2－5而當n＝1時，a1＝3≠－21－1＝－5，所以數(shù)列{an}的通3，n＝1，項公式為an＝ －2n5－1，n≥2.3，n＝1，答案an＝5－2n－1，n≥22.等差數(shù)列中不能熟練利用數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化已知條件，并靈活整體代換進行基本運算.如等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知Sn＝n＋1，求an時，Tn 2n＋3 bn無法正確賦值求解.[回扣問題2]等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項和分別為n3n－18Sn，Tn，且S＝，則aTn2n＋3b8＝________.a2aa1＋a15S3×15－14＝3.解析由等差數(shù)列的性質(zhì)，b8＝2b8＝＝T15＝2×15＋3b1＋b15答案

433.運用等比數(shù)列的前 n項和公式時，易忘記分類討論 .一定分q＝1和q≠1兩種情況進行討論.[回扣問題 3] 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為 Sn，若S3＋S6＝S9，則公比 q＝________.解析 (1)當q＝1時，顯然S3＋S6＝S9成立.(2)當q≠1時，由S3＋S6＝S9，a1（1－q3） a1（1－q6） a1（1－q9）得 ＋ ＝ .1－q 1－q 1－q3 6由于1－q≠0，得q＝1，∴q＝－1.4.利用等差數(shù)列定義求解問題時，易忽視 an－an－1＝d(常數(shù))中，n≥2，n∈N*的限bn＋1*制，類似地，在等比數(shù)列中，bn＝q(常數(shù)且q≠0)，忽視n∈N的條件限制.[回扣問題4](2015·安徽卷改編已知數(shù)列{an}中，a1＝a＝1，a＋＝a＋1≥，)2n1n2(n2)則數(shù)列{an}的前9項和等于________.解析由a2＝，n＋1＝n＋1≥，∴數(shù)列n從第2項起是公差為1的等差數(shù)1aa2(n2){a}2列，∴S9＝a1＋a2＋a3＋?＋a98（8－1）1＝1＋8a2＋2×2＝23.答案 235.解形如一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數(shù)a的討論導(dǎo)致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論.[回扣問題5] 若不等式x2＋x－1<m2x2－mx對x∈R恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________.解析原不等式化為(m2－1)x2－＋＋1>0對x∈R恒成立.(m1)x(1)當m2－1＝0且m＋1＝0，不等式恒成立，∴m＝－1.m2－1>0，2(2)當m－1≠0時，則m>1或m<－1，

＝（m＋1）2－4（m2－1）<0.5即 5 所以m>3或m<－1.m>3或m<－1.5綜合(1)(2)知，m的取值范圍為(－∞，－1]∪3，＋∞.5答案 (－∞，－1]∪3，＋∞6.容易忽視使用基本不等式求最值的條件，即“一正、二定、三相等”導(dǎo)致錯解，如求函數(shù)f(x)＝x2＋2＋1的最值，就不能利用基本不等式求解最值.x2＋2[回扣問題6]已知，b>0，＋＝，則＝1＋4的最小值是________.a>0ab1yab14b4a解析∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴y＝a＋b·(a＋b)＝5＋a＋b≥9，當且僅當b＝2a時等號成立.答案 97.求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數(shù)的幾何意義導(dǎo)致錯解，如 y－2是x＋2指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)與點(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內(nèi)的點(x，y)到點(1，1)的距離的平方等.x－2y＋4≥0，[回扣問題7] (2016·江蘇卷)已知實數(shù)x，y滿足 2x＋y－2≥0，則x2＋y2的取值3x－y－3≤0，范圍是________.解析 作滿足條件的可行域如圖中陰影部分所示 .d＝ x2＋y2可以看作坐標原點 O與可行域內(nèi)的點(x，y)之間的距離.數(shù)形結(jié)合，知d的最大值是OA的長，d的最小值是點O到直線2x＋y－2＝0的距離.x－2y＋4＝0，由 得A(2，3)，3x－y－3＝0，∴dmax＝|OA|＝|0＋0－2|2.22＋32＝13，dmin＝＝2252＋124則d的最小值為5，最大值為13，∴x2＋y2的取值范圍是4，13.54答案 5，138.對于通項公式中含有(－1)n的一類數(shù)列，在求Sn時，切莫忘記討論 n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或an＋1＝q(n≥2)，求{an的通項公式，要注意分n的奇偶n－1}a性討論.[回扣問題8](2015·山東卷改編若n＝2n－1，且bn＝(－1)n－14n，則數(shù)列{bn})aanan＋1的前n項和Tn＝________.解析bn＝－n－14n－n－1111)＝1)2n－1＋(anan＋1(2n＋1.當n為偶數(shù)時，Tn＝1＋111111＋1－3－3＋5＋5＋7－?＋－2n－12n31，2n－12n＋12n∴Tn＝1－＝.2n＋12n＋1當n為奇數(shù)時，Tn＝1＋111111＋1＋3－3＋5＋5＋7－?－－－12n32n112n－1＋，2n＋11＝2n＋2∴Tn＝1＋，2n＋12n＋12n（n為偶數(shù)），2n＋1故Tn＝2n＋2（n為奇數(shù)）.2n＋1答案 Tn＝

2n （n為偶數(shù)），2n＋12n＋22n＋1（n為奇數(shù)）9.求解不等式、函數(shù)的定義域、值域時，其結(jié)果一定要用集合或區(qū)間表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次項系數(shù)符號的影響 .2 1[回扣問題9] 已知關(guān)于x的不等式ax＋bx＋c<0的解集是xx<－2，或x>－2，則ax2－bx＋c>0的解集為________.解析∵ax2＋bx＋c<0的解集為xx<－2或x>－1，2∴a<0，且c＝，－b＝－5，a1a25225∴b＝2a，c＝a，故ax－bx＋c>0化為ax－2ax＋a>0，251由于a<0，得x－2x＋1<0，解之得2<x<2.答案1，22溯源回扣五 立體幾何1.由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，根據(jù)三視圖的規(guī)則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線為虛線.在還原空間幾何體實際形狀時一般是以正(主)視圖和俯視圖為主.[回扣問題1] 在如圖所示的空間直角坐標系 O－xyz中，一個四面體的頂點坐標分別是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2).給出編號為①，②，③，④的四個圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 ( )A.①和②

B.③和①C.④和③ D.④和②解析 在坐標系中標出已知的四個點，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④，俯視圖為②，D正確.答案 D2.易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式1中的系數(shù)3.[回扣問題2] (2017·鄭州質(zhì)檢)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側(cè)視圖為半圓，則該幾何體的體積 V＝________.解析該幾何體為半個圓錐，由三視圖知，圓錐的高h＝32－12＝2，21122因此V＝2×3×22×π·1＝3π.2答案 3π3.不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，這是因為忽視面面垂直的性質(zhì)定理中m?α的限制條件.[回扣問題3] 已知m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面.給出下列命題：①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β.②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n.③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內(nèi)的無數(shù)條直線.④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α，且n∥β.⑤若m，n為異面直線，則存在平面 α過m且使n⊥α.其中正確的命題序號是________.解析 ①錯誤.如正方體中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交線為AA′.直線AC⊥AA′，但AC不垂直面ABB′A′，同時AC也不垂直面ADD′A′；②正確.實質(zhì)上是兩平面平行的性質(zhì)定理 .③錯誤.在上面的正方體中，A′C不垂直于平面 A′B′C′D′，但與B′D′垂直.這樣A′C就垂直于平面A′B′C′D′內(nèi)與直線B′D′平行的無數(shù)條直線.④正確.利用線面平行的判定定理即可 .⑤正確.如正方體中AA′?平面AA′D′D，而CD⊥平面AA′D′D，且AA′與CD異面.答案 ②④⑤4.忽視三視圖的實、虛線，導(dǎo)致幾何體的形狀結(jié)構(gòu)理解錯誤 .[回扣問題4] 如圖，一個簡單凸多面體的三視圖的外輪廓是三個邊長為

1的正方形，則此多面體的體積為

____________.解析由三視圖可知，幾何體為正方體截去兩個三棱錐后的部分，因為V正方體＝1311121，V三棱錐＝3×1×2＝6，因此，該多面體的體積V＝1－6×2＝3.2答案35.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關(guān)系 .對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系去探求變化后的元素在空間中的位置與數(shù)量關(guān)系.[回扣問題5] (2017·廣州模擬)如圖①，在平面四邊形 ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現(xiàn)將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖②)，設(shè)點E，F(xiàn)分別為棱AC，AD的中點.(1)求證：DC⊥平面ABC；(2)設(shè)CD＝a，求三棱錐A－BFE的體積.(1)證明 在題圖①中，AB＝BD，且∠A＝45°，∴∠ADB＝45°，∠ABD＝90°，則AB⊥BD.在題圖②中，∵平面 ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，AB?平面ABD，∴AB⊥底面BDC，且CD?平面BDC，∴AB⊥CD.又∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC＝B，∴DC⊥平面ABC.(2)解∵E，F(xiàn)分別為AC，AD的中點，∴EF∥CD，又由(1)知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，1∴VA－BFE＝VF－AEB＝3S△AEB·FE.在題圖①中，∵∠ADC＝105°，∴∠BDC＝60°，∠DBC＝30°，1由CD＝a得，BD＝2a，BC＝3a，EF＝2CD＝2a，∴SABC＝1·1＝3a2＝··，△222a3a∴S△AEB＝322a.132133∴VA－BFE＝··＝12a.32a2a溯源回扣六平面解析幾何1.不能準確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關(guān)系，導(dǎo)致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯 .[回扣問題1]直線xcosθ＋3y－2＝0的傾斜角的范圍是________.cosθ33解析tanα＝k＝－3，知－3≤k≤3，π5π∴0≤θ≤6或6≤θ<π.π5π答案0，6∪6，π2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據(jù)直線在兩坐標軸上的截距相等設(shè)方程時，忽視截距為 0的情況.[回扣問題2] 已知直線過點 P(1，5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為________.解析 當截距為0，則直線方程為 y＝5x，當截距不是 0時，設(shè)直線方程為 x＋y＝a，將P(1，5)坐標代入方程，得 a＝6.∴所求方程為5x－y＝0或x＋y－6＝0.答案5x－y＝0或x＋y－6＝03.求兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線x，y的系數(shù)相等的條件，而直接代入公式d＝|C1－C2|22，導(dǎo)致錯誤.A＋B[回扣問題3]直線3x＋4y＋5＝0與6x＋8y－7＝0的距離為________.解析將3x＋4y＋5＝0化為6x＋8y＋10＝0，∴兩平行線間的距離d＝|10－（－7）|1722＝10.6＋817答案104.兩圓的位置關(guān)系可根據(jù)圓心距與半徑的關(guān)系判定，在兩圓相切的關(guān)系中，誤認為相切為兩圓外切，忽視相內(nèi)切的情形；求圓的切線方程時，易忽視斜率不存在的情形.[回扣問題

4]

(1)若點

P(1，2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點

P處的切線方程為________.x2 y2(2)雙曲線a2－b2＝1(a>0，b>0)的左焦點為F1，頂點為A1，A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩圓的位置關(guān)系為________.解析(1)以原點O為圓心的圓過點P(1，2)，∴圓的方程為x2＋y2＝5.1∵kOP＝2，∴切線的斜率k＝－2.1∴切線方程為y－2＝－2(x－1)，即x＋2y－5＝0.1(2)設(shè)線段PF1的中點為P0，雙曲線的右焦點為 F2，則|OP0|＝2|PF2|，由雙曲線定義，|PF1|－|PF2|＝2a，1∴|OP0|＝2|PF1|－a＝R－r，因此兩圓內(nèi)切.答案 (1)x＋2y－5＝0 (2)內(nèi)切5.易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中 a，b，c三者之間的關(guān)系，導(dǎo)致計算錯誤.x2y25[回扣問題5](2015·廣東卷)已知雙曲線C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的離心率e＝4，且其右焦點為F2，，則雙曲線C的方程為()(50)x2y2x2y2A.4－3＝1B.9－16＝1x2y2x2y2C.16－9＝1D.3－4＝1解析∵e＝c＝5，2，0)，a4F(5c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，x2 y2∴雙曲線C的標準方程為16－9＝1.答案 C6.利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件 .如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二， 2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數(shù)， 而不是差的絕對值為常數(shù)，那么其軌跡只能是雙曲線的一支 .[問題回扣6]已知平面內(nèi)兩定點A(0，1)，B(0，－1)，動點M到兩定點A，B的距離之和為4，則動點M的軌跡方程是________.解析 因為|MA|＋|MB|＝4>|AB|，所以點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，2 2 2因此a＝2，c＝1，則b＝ a－c＝3，y2x2所以點M的軌跡方程為4＋3＝1.y2x2答案4＋3＝17.由圓錐曲線方程討論幾何性質(zhì)時，易忽視討論焦點所在的坐標軸導(dǎo)致漏解 .[回扣問題7]已知橢圓x2＋y2＝1的離心率等于3，則m＝________.4m2解析當焦點在x軸上，則a＝2，c＝4－m，∴4－m3，則m＝1.2＝2當焦點在y軸上，則a＝m，c＝m－4，m－4 3m＝2，則m＝16.答案 1或168.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數(shù)是否為零，判別式Δ≥0的限制.尤其是在應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系解決問題時，必須先有“判別式Δ≥0”；在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題都應(yīng)在“ >0”下進行.[回扣問題

8]

(2017·西安調(diào)研)已知橢圓

x2 y2W：a2＋b2＝1(a>b>0)的焦距為

2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為－

1，O為坐標原點

.(1)求橢圓

W的方程；(2)設(shè)斜率為k的直線l與W相交于A，B兩點，記△AOB面積的最大值為 Sk，證明：S1＝S2.(1)解 由題意，得W的半焦距c＝1，右焦點F(1，0)，上頂點M(0，b).b－0∴直線MF的斜率kMF＝0－1＝－1，解得b＝1.由a2＝b2＋c2，得a2＝2.2∴橢圓W的方程為x2＋y2＝1.設(shè)直線的方程為，y1，2，y2，由方程組y＝kx＋m，(2)證明ly＝kx＋m，設(shè)A(x1x2)B(x)22＋y＝1，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.①－4km2m2－2由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝1＋2k2，x1x2＝1＋2k2.2－4km22m2－2∴|AB|＝1＋k1＋2k2－4×＋212k＝1＋k2221＋2k28（2k－m＋1），∵原點O到直線y＝kx＋m的距離d＝|m|2，1＋k∴S△AOB＝1＋2222時，S△AOB＝2|AB|d＝2m（2k－m＋1），當k＝112km2（3－m2），3∴當m2＝322時，S△AOB有最大值S1＝2，驗證滿足①式，當k＝2時，△AOB＝22（9－m2），S9m292，驗證①式成立.因此S1＝S2.∴當m＝時，SAOB的最大值S2＝2△2溯源回扣七 概率與統(tǒng)計1.混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當成頻率，導(dǎo)致樣本數(shù)據(jù)的頻率求錯

.[回扣問題1]從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學生的高校招生檢驗表中視力情況進行統(tǒng)計，其結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示.若某高校A專業(yè)對視力的要求在0.9以上，則該班學生中能報 A專業(yè)的人數(shù)為________.解析 該班學生視力在 0.9以上的頻率為(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.40，所以能報A專業(yè)的人數(shù)為50×0.40＝20.答案 202＝n（ad－bc）22.在獨立性檢驗中，K（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d)所給出的檢驗隨機變量K2的觀測值k，并且k的值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大，可以利用數(shù)據(jù)來確定“X與Y有關(guān)系”的可信程度.[回扣問題2]為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關(guān)，對該班50名學生進行了問卷調(diào)查，得到了如下的2×2列聯(lián)表：分類喜愛打籃球不喜愛打籃球合計男生20525女生101525合計302050則至少有________的把握認為喜愛打籃球與性別有關(guān) (請用百分數(shù)表示).附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828由列聯(lián)表，k＝50（20×15－10×5）2解析≈8.333.25×25×30×20又P(K2≥7.879)＝0.005，且8.333>7.879，∴至少有99.5%的把握認為喜愛籃球與性別有關(guān) .答案 99.5%3.應(yīng)用互斥事件的概率加法公式，一定要注意確定各事件是否彼此互斥，并且注意對立事件是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件 .[回扣問題3] 拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數(shù)，設(shè)事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B為出現(xiàn)2點，已知P(A)＝1，P(B)＝1，求出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率之和為________.262解析由互斥事件概率加法公式，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3.答案23混淆直線方程＝＋與回歸直