第七講機器人動力學

第四章機器人動力學4.1動力學模型4.2牛頓——歐拉方程法習題04二月2023第四章機器人動力學04二月2023動力學研究的問題：機器人各個關節(jié)的運動與關節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）之間的關系。正問題：已知關節(jié)運動，求關節(jié)驅(qū)動力（矩）。逆問題：已知關節(jié)驅(qū)動力（矩），求關節(jié)運動。數(shù)學模型：關節(jié)運動→位移、速度、加速度變化→關節(jié)驅(qū)動力（矩）→驅(qū)動力或驅(qū)動力矩→τi動力學方程：

，i=1，…，n正問題：已知

，求τi。逆問題：已知τi

，求。第四章機器人動力學04二月20234.1動力學模型1、力學分析2、拉格朗日方程法3、動力學模型04二月20234.1動力學模型1、力學分析04二月2023（1）靜力學分析機器人各個關節(jié)處于靜止狀態(tài)。當負載為一重物時：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mg4.1動力學模型1、力學分析04二月2023（1）靜力學分析機器人各個關節(jié)處于靜止狀態(tài)?？紤]桿件自重時：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）：mgf3=mgf2=mgf1=mgm2=mgl2l2l1m1=mg(l1+l2)τ1=0τ2=mgl2τ3=mgm3gm2gm1g4.1動力學模型1、力學分析04二月2023（2）動力學分析機器人各個關節(jié)處于運動狀態(tài)。當負載為一重物時：關節(jié)承受的力和力矩：關節(jié)需要的驅(qū)動力（矩）：f3f2f1m2l2l1m1τ1τ2τ3m34.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023拉格朗日方程的一般形式為：

式中，——廣義力，它可以是力，也可以是力矩；

——系統(tǒng)選定的廣義坐標；

——廣義坐標對時間的一階導數(shù)，即速度；

——拉格朗日函數(shù)，又稱為拉格朗日算子，它被定義為系統(tǒng)的動能與勢能之差L=T-U。4.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023

對給定的機器人，可以按以下幾個步驟建立拉格朗日動力學方程：（1）選取完全并獨立的廣義坐標；（2）選定廣義力；（3）求出系統(tǒng)的動能T和勢能U，并用其構造拉格朗日函數(shù)L=T-U；（4）將以上結(jié)果代入拉格朗日方程式中，即可求得機器人的動力學方程。4.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023例：已知二關節(jié)機器人如圖所示，機器人的兩個連桿長度分別為l1和l2，質(zhì)量分別為m1和m2，且集中在各連桿的端部。若將機器人直接懸掛在加速度為g的重力場中，試用拉格朗日方程建立該機器人的動力學方程。解：①選取連桿繞關節(jié)的轉(zhuǎn)角為變量θ1和θ2

，則系統(tǒng)的廣義坐標就可以選為，即②轉(zhuǎn)動關節(jié)對應的是力矩，所以廣義力就選為，即。θ1θ2m1m2xy關節(jié)1關節(jié)24.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023求出各連桿的動能和勢能：連桿l1的動能為：連桿l1的勢能為：對連桿l2求動能和勢能時，要先寫出其質(zhì)心在直角坐標系中的位置表達式：然后求微分，則其速度就為：由此可得連桿的速度平方值為：4.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023求出各連桿的動能和勢能：從而連桿l2的動能為：勢能為：則可構造出拉格朗日函數(shù)為：

4.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023求出機器人動力學方程：先將拉格朗日函數(shù)對和進行微分，即：4.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023求出機器人動力學方程：再將拉格朗日函數(shù)對和進行微分，即：4.1動力學模型2、拉格朗日方程法04二月2023求出機器人動力學方程：將以上結(jié)果代入方程即可得關節(jié)上的力矩分別為：

4.1動力學模型3、動力學模型04二月2023將得到的機器人動力學方程簡寫為如下形式：當機器人有n個關節(jié)時，上式可推廣為普遍形式：

4.1動力學模型3、動力學模型04二月2023將上式進一步簡化為如下所示的矩陣形式：

上式也稱為機器人的動力學模型。式中：是機器人動力學模型中的慣性力項，表示機器人操作機的質(zhì)量矩陣，它是n×n階的對稱矩陣，。

是n×1階矩陣，表示機器人動力學模型中非線性的耦合力項，包括離心力（自耦力）和哥氏力（互耦力）。也是n×1階矩陣，表示機器人動力學模型中的重力項。

4.2牛頓——歐拉方程法04二月20231、牛頓——歐拉方程2、遞推計算公式3、遞推算法應用4.2牛頓——歐拉方程法04二月2023牛頓——歐拉方程原理：將機器人的每個桿件看成剛體，并確定每個桿件質(zhì)心的位置和表征其質(zhì)量分布的慣性張量矩陣。當確定機器人坐標系后，根據(jù)機器人關節(jié)速度和加速度，則可先由機器人機座開始向手部桿件正向遞推出每個桿件在自身坐標系中的速度和加速度，再用牛頓——歐拉方程得到機器人每個桿件上的慣性力和慣性力矩，然后再由機器人末端關節(jié)開始向第一個關節(jié)反向遞推出機器人每個關節(jié)上承受的力和力矩，最終得到機器人每個關節(jié)所需要的驅(qū)動力（矩），這樣就確定了機器人關節(jié)的驅(qū)動力（矩）與關節(jié)位移、速度和加速度之間的函數(shù)關系，即建立了機器人的動力學方程。4.2牛頓——歐拉方程法04二月2023牛頓——歐拉方程遞推過程：正向遞推：已知機器人各個關節(jié)的速度和加速度→從1～n遞推出機器人每個桿件在自身坐標系中的速度和加速度→機器人每個桿件質(zhì)心上的速度和加速度→再用牛頓——歐拉方程得到機器人每個桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩。反向遞推：根據(jù)正向遞推的結(jié)果→從n～1遞推出機器人每個關節(jié)上承受的力和力矩→得到機器人每個關節(jié)所需要的驅(qū)動力（矩）。4.2牛頓——歐拉方程法04二月20231、牛頓——歐拉方程（1）牛頓方程→慣性力①矢量。②質(zhì)心上的線加速度。4.2牛頓——歐拉方程法04二月20231、牛頓——歐拉方程（2）歐拉方程→慣性力矩①矢量。②質(zhì)心上的慣性張量矩陣。4.2牛頓——歐拉方程法04二月20231、牛頓——歐拉方程（2）歐拉方程→慣性力矩慣性張量矩陣：a.坐標系：與桿件坐標系同向，位于桿件質(zhì)心上。b.元素名稱：Icxx，Icyy，Iczz——慣性矩；Icxy=Icyx,Icyz=Iczy,Iczx=Icxz——慣性積。4.2牛頓——歐拉方程法04二月20231、牛頓——歐拉方程（2）歐拉方程→慣性力矩慣性張量矩陣：理論計算方法：實驗測試法：

慣量擺儀器。4.2牛頓——歐拉方程法04二月20232、遞推計算公式（1）正向遞推：已知機器人各個關節(jié)的速度和加速度：①從1～n遞推出機器人每個桿件在自身坐標系中的速度和加速度；②機器人每個桿件質(zhì)心上的速度和加速度；③機器人每個桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩。4.2牛頓——歐拉方程法04二月20232、遞推計算公式（1）正向遞推：以第一種桿件坐標系為例①桿件速度和加速度遞推計算公式建立相鄰兩個桿件的坐標系：{i-1}、{i}。Oiii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式已知：i關節(jié)速度和加速度

i-1桿件速度和加速度計算：i桿件速度和加速度04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式分析：I、坐標系:

相鄰桿件位姿矩陣II、關節(jié)速度和加速度的矢量化：04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式04二月2023關節(jié)iii-1Xi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：②桿件質(zhì)心上的速度和加速度04二月2023iXiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：③桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩慣性力：慣性力矩：04二月2023iXiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法04二月20232、遞推計算公式（1）正向遞推：以第二種桿件坐標系為例①桿件速度和加速度遞推計算公式建立相鄰兩個桿件的坐標系：{i-1}、{i}。ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式已知：i關節(jié)速度和加速度

i-1桿件速度和加速度計算：i桿件速度和加速度04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式分析：I、坐標系:

相鄰桿件位姿矩陣II、關節(jié)速度和加速度的矢量化：04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：①桿件速度和加速度遞推計算公式04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：②桿件質(zhì)心上的速度和加速度04二月2023iXiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（1）正向遞推：③桿件質(zhì)心上的慣性力和慣性力矩慣性力：慣性力矩：04二月2023iXiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法04二月20232、遞推計算公式（2）反向遞推：已知機器人各個桿件的慣性力和慣性力矩：①從n～1遞推出機器人每個關節(jié)承受的力和力矩；②機器人每個關節(jié)的驅(qū)動力或驅(qū)動力矩。4.2牛頓——歐拉方程法04二月20232、遞推計算公式（2）反向遞推：以第二種桿件坐標系為例①關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式建立相鄰兩個桿件的坐標系：{i-1}、{i}ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（2）反向遞推：①關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式已知：i-1桿件的慣性力和慣性力矩

i關節(jié)承受的力和力矩計算：i-1關節(jié)承受的力和力矩04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（2）反向遞推：①關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式分析：I、坐標系:

相鄰桿件位姿矩陣II、i-1桿件受力分析：04二月2023ii-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1XiZiOi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（2）反向遞推：①關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式以i-1桿件為研究對象，由達朗貝爾原理可得：04二月2023i-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1Oi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（2）反向遞推：①關節(jié)承受的力和力矩遞推計算公式以i-1桿件為研究對象，由達朗貝爾原理可得：04二月2023i-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-1Oi4.2牛頓——歐拉方程法2、遞推計算公式（2）反向遞推：②關節(jié)驅(qū)動力（矩）平移關節(jié)：回轉(zhuǎn)關節(jié)：則關節(jié)驅(qū)動力（矩）為：04二月2023i-1關節(jié)iXi-1Zi-1Oi-14.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用（1）遞推初始條件①正向遞推機座0的速度和加速度：*考慮桿件自重或手部負載為重物時：為描述在機座坐標系{0}中的標準重力加速度。04二月2023gx0z0o04.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用（1）遞推初始條件②反向遞推機器人手部負載：04二月20234.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用（2）遞推應用條件①已知機器人的關節(jié)變量及其速度和加速度；②已知任一桿件i相對于與自身坐標系{i}方向相同的坐標系{Ci}所描述的慣性張量及其質(zhì)心在自身坐標系{i}中的位置矢量（可用實驗等方法確定）；③已知相鄰桿件的位姿矩陣及必要的初始數(shù)據(jù)。04二月20234.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用（2）遞推應用條件第二種坐標系下遞推算法正向遞推:04二月20234.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用（2）遞推應用條件第二種坐標系下遞推算法反向遞推:04二月20234.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用例：已知二自由度機器人如圖所示，機器人兩個桿件的長度分別為和，且其質(zhì)量和都集中在桿件的端頭。若用第二種方法建立機器人的坐標系，當機器人各個關節(jié)的位移、速度和加速度已知時，試用牛頓——歐拉遞推算法計算各關節(jié)的驅(qū)動力矩。04二月2023θ1θ2m1m2xy關節(jié)1關節(jié)24.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：建立坐標系如圖所示。相鄰桿件的位姿矩陣為：04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y24.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推已知關節(jié)速度和加速度分別為，由于考慮桿件的重量，所以機座的運動參數(shù)（初始條件）設為：04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(1)正向遞推04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(2)反向遞推由于機器人手部無負載，所以初始條件為：04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法3、遞推算法應用解：(2)反向遞推關節(jié)2受的力和力矩：04二月2023θ1θ2m1m2x0y0關節(jié)1關節(jié)2x1x2y1y2g4.2牛頓——歐拉方程法