數(shù)列求和7種方法(方法全-例子多)

11n133.11n133數(shù)列求的本方法技一總：列和7方：利等、比列和式錯(cuò)相法和反相法和分相法和裂消法和分求法合法和利數(shù)通法和二等數(shù)求的法逆相法等數(shù)的和法錯(cuò)相法三逆相法錯(cuò)相法數(shù)求的個(gè)本法一利常求公求利用下列常用求和公式求和是數(shù)求和的最基本最重要的方1、差數(shù)列求和公式：

Sn

n)1nnad22、比數(shù)列求和公式：

na(1)an111

((3、

(n

、

nnk

2

n1)(2n5、

3n(n

[1]

x3

32

，求

x3

的前n解：由

x3

32由等比數(shù)列求和公式得.

23

（利用常用公式）

*n＝.*n＝x)＝1

1)

－

12[2]S＝1+2+3+，n∈N,n

f(n

(nS

的最大解：由等差數(shù)列求和公式得

Sn

11nS(2)2

（利用常用公式）∴

f(n

(n

＝

nn264＝

164n34(n

18n

)50

150∴當(dāng)

n

88

，即n時(shí)，

f(nmax

150.

ｎ2223ｎ22232題1.比列

的ｎ和S＝2－１則ｎ＝題2若+…+(=bn+，則==.

.解

原

式=

答

案二錯(cuò)相法和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù){a}的nnn項(xiàng)和，其{a}b}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)nn[3]

xx2x3

……①解：由題可知

n

的項(xiàng)是等差數(shù){2n－1}的項(xiàng)與等比數(shù){

的項(xiàng)之積設(shè)

xSx

x

……②

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得

(1Sxx3x4

（錯(cuò)位相再利用等比數(shù)列的求和公式得：

Sxn

1n1

(2

n.

n.n∴

Sn

(2

n

(22

n

)[4]

2,,,232n

前的2解：由題可知}的項(xiàng)是等差數(shù){的通項(xiàng)與等比數(shù)}項(xiàng)之積2n設(shè)

242nS22232

…………………22nS2223n

……………

（設(shè)制錯(cuò)位）①－②得

222n(1)S222122n2n

（錯(cuò)位相∴

S4n

n2練習(xí)題1

已知求列a的前nSnn答案：.

.練題2

的n項(xiàng)和____答：三反相法和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序數(shù)列相加，就可以得到n

()

[5]

2nn證明：設(shè)

……①把①式右邊倒轉(zhuǎn)過來得C

(2nC

（反序）又由.

mCn

可得

xxcosC

C

C

……………②①+②得

)2(

（反序相加）∴

(n

[6]

sin222289

的值解：設(shè)

Ssin

sin

sin

sin

…………①將①式右邊反序得Ssin

sin

…………

（反序）又因?yàn)?/p>

sincos(90

2

x

（反序相加）2

2

2

2

2

cos

2

2

2

89

cos

2

89

＝89∴＝44.5題1已知函數(shù).

.明：

；

的值解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，后證明左=右邊用第1題已經(jīng)證明結(jié)論可知，.

.兩式相加得：所以.

nannnn332.nannnn332練習(xí)、求值：四分法和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再其合并即[7]的前n和：

1

114,a2

n

，…解：設(shè)

Sn

112)aa2將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得1Sa

（分組）當(dāng)a＝1

Sn

n(3nn＝22

（分組求和）11當(dāng)時(shí)n1a[8]前n

(3nnn＝22解：設(shè)

k(kk

1)(2k

2

∴

(k(2n

k

)k將其每一項(xiàng)拆開再重新組合得

3

（分組）k

k＝

2(1

.

n.n＝

n(n2(n1)(222

（分組求和）＝

n(n22

(2)五裂法和這是分解與組合思想在數(shù)列求和的具體應(yīng)用的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，終達(dá)到求和的目項(xiàng)分（）

afn

f()

）

sin1cos

tan

）

an

111n(n

n

)()1)(2n2nn）

an

11[n(n2n((n2)

](6)

n

12(1nn(2nn(n

n）

a

11)()(An)CAn）

a

1nn

n[9]求數(shù)列

11

12

,

1n

,

的前n解：設(shè)

an

1nn

n

（裂項(xiàng)）則

Sn

11

12

1n

（裂項(xiàng)求和）＝＝

(1)3n

2)[10]在數(shù){}中，n

a

12，n

，求數(shù){}項(xiàng)的n.

n.n解：

an

1nnn2∴

18()nn2

（裂項(xiàng)）∴}的前n和1111S))))]23n

（裂項(xiàng)求和）＝

8(1

18)n[11]求證：

11cos1cos0cossin1解：設(shè)

S

110cos1cos2∵

sin1coscos(

tan(tan

（裂項(xiàng)）∴

S

110cos1cos2cos89

（裂項(xiàng)求和）＝

1

{(tan1)(tan))8988]}＝

1sin1

(tan89tan)

1＝＝sin1

cos1sin∴成立練題1..

.答：

.練題2。

答案：.

cos(180六分求法合法和針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求n[12]的值.解：設(shè)Sn∵

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴S＝（cos3°+）+·n）+＝

（合并求和）[13]數(shù){a}n

aa3,a2,13n

，求2002解：設(shè)S＝2002

aa123

2002由

aa3,a1

n

n

n

可得aa4aa712……a

6

6k

3,a

6

a

6k

a

6k

a

6k

∵

a

6

6

6

6

6k

6k

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）∴＝2002

aa123

2002

（合并求和）＝

aa1367

6

6

6

1993

1994

1998

a1999

2000

a

2001

2002＝

a1999

a

2000

2001

2002＝

a

6k

6

a

6k

6＝5[14]在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若

aalogaa563

的值解：設(shè)

logn313由等比數(shù)列的性質(zhì).

anp

（找特殊性質(zhì)項(xiàng)）

.和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

log

a

log

a

Nlog

a

N

得(logaa)logaan331032536

（合并求和）＝

(log

3

a(log)11036＝

log933＝10練習(xí)、求和：.

.練

習(xí)

題1

設(shè)

，

則答案

.練題2

．若S則n

S+S＋Ｓ173350

等于

).

222212312nA.1C.0.2解n項(xiàng)要分奇偶分別解決S

答案：A練習(xí)題3

100+98-97

的值是A.5000B.5050解：并項(xiàng)求和，每?jī)身?xiàng)合并，原=案B七利數(shù)的項(xiàng)和先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分，找出數(shù)列的通項(xiàng)及其特征，然后再利用數(shù)列的通項(xiàng)揭示的規(guī)來求數(shù)列的前和，是一個(gè)重要的方[15]求

n1

之和解：由于

11個(gè)1

999k個(gè)1

k

（找通項(xiàng)及特征）∴

n個(gè)1＝

111(10(10999

n

（分組求和）＝＝

1(109n1n99＝

181

n

n.

nnann.nnann[16]已知數(shù){}n

n

(nn

求ann

的解：∵

(an

n

)n

1(nn2)(n4)

]

（找通項(xiàng)及特征）＝

8

11(2)(n(nn4)

]

（設(shè)制分組）＝

4

11)8()n2n

（裂項(xiàng)）∴

11(a))()nnn

（分組、裂項(xiàng)求和）＝＝

143133

1)4提高練：1．知數(shù)n項(xiàng)和，并