高中數學 基本不等式02 新人教A必修5

普通高中課程標準實驗教科書必修5§3.4基本不等式§3.4基本不等式.2002年在北京舉行的第24屆國際數學家大會會標.思考:(1)會標中含有怎樣的幾何圖形？

(2)能否在這個圖案中找出一些不等關系？探究1.問2：Rt△AEB,Rt△BFC,Rt△CGD,Rt△DHA是全等三角形，其面積之和是S'=———問1：在正方形ABCD中,設CG=a,DG=b,則正方形的面積為S=————，問3：S與S'有什么樣的關系？從圖形中易得，s>s',即ADBCEFGHba.探究2問題1：它們有相等的情況嗎？何時相等？ADBCEFGHbaABCDE(FGH)ab.

圖片說明：當a=b時，即小正方形EFGH縮為一個點，這時有：

a=b形的角度數的角度

當a=b時,a2+b2－2ab

=(a－b)2=0ABCDE(FGH)ab.結論：一般地，對于任意實數a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立此不等式稱為重要不等式問題2：當a、b為任意實數時，上式還成立嗎？.如果

也可寫成

a＞0,b＞0,當且僅當a=b時，等號成立。

此不等式稱為基本不等式探究3.概念算術平均數幾何平均數(1)兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.(2)兩個正數的等差中項不小于它們的等比中項..abOABPQ基本不等式的幾何意義如圖,AB是圓O的直徑，Q是AB上任一點，AQ=a,BQ=b,過點Q作PQ垂直AB,則PQ=_____,半徑AO=_____。問題：請比較半徑AO與半弦長PQ的關系？幾何意義：圓的半徑不小于圓的半弦長。探究4.例1.(1)已知并指出等號成立的條件.(2)已知與2的大小關系,并說明理由.(3)已知能得到什么結論?請說明理由.應用一：利用基本不等式判斷代數式的大小關系.例1：（1）用籬笆圍成一個面積為100m的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短，最短的籬笆是多少？結論1：兩個正變量積為定值，則和有最小值，當且僅當兩值相等時取最值。.（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形菜園的長和寬各為多少時，菜園的面積最大，最大面積是多少？解：設矩形菜園的長為xm，寬為ym，則2（x+y）=36,x+y=18，矩形菜園的面積為xym2。=18/2=9，得xy81，當且僅當x=y時,等號成立，此時，x=y=9。

因此，這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m2。.例3、（1）用籬笆圍一個面積為100m2的矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，所用籬笆最短。最短籬笆是多少？（2）一段長為36m的籬笆圍成一矩形菜園，問這個矩形的長、寬各為多少時，菜園的面積最大。最大面積是多少？.例4、某工廠要建造一個長方形無蓋貯水池，其容積為4800立方米，深為3米，如果池底每平方米的造價為150元，池壁每平方米的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價是多少？.應用基本不等式求最值的條件：

a與b為正實數若等號成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等a+b與ab有一個為定值.1.兩個不等式（1）（2）當且僅當a=b時，等號成立。注意：1.兩公式條件，前者要求a,b為實數；后者