《復(fù)變函數(shù)》第1章

復(fù)變函數(shù)

（第四版）

電子教案合肥工業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院2/4/20231《復(fù)變函數(shù)》(第四版)第一章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)§1復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的概念復(fù)變函數(shù)——自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù).復(fù)變函數(shù)研究的中心對(duì)象:解析函數(shù)．復(fù)變函數(shù)論又稱(chēng)為解析函數(shù)論．i—虛數(shù)單位i2

=－1復(fù)數(shù)：z=x+iy(或

z=x+yi),x,

y為實(shí)數(shù)實(shí)部：x=Re(z)虛部：y=Im(z)純虛數(shù)：z=iy(y

≠0)2/4/20232《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算(1)加(減)法:(2)乘法:按多項(xiàng)式法則相乘z=0x=y=0z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,z1=z2

x1=x2,y1=y2注意：任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小.z1=x1+iy1,z2=x2+iy2,共軛復(fù)數(shù)：z1±

z2=(x1

±

x2)+i(y1

±

y2)z1·

z2=(x1+iy1)(x2+

iy2)=(x1x2－

y1y2)+i(x2y1+

x1y2)2/4/20233《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(3)除法:復(fù)數(shù)的運(yùn)算滿(mǎn)足交換律、結(jié)合律和分配律.(4)共軛復(fù)數(shù)性質(zhì)i)ii)iii)iv)2/4/20234《復(fù)變函數(shù)》(第四版)證例1解:P.4設(shè)z1=5－5i,z2=－3+4i,求與2/4/20235《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例2解:設(shè)求Re(z),Im(z)與2/4/20236《復(fù)變函數(shù)》(第四版)§2復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面,復(fù)數(shù)的其它表示法復(fù)數(shù)的加減法可用向量的三角形法則和平行四邊形法則.(1)z=x+iy點(diǎn)(

x,y)?(

幾何表示法

)直角坐標(biāo)平面

xoy復(fù)平面.x

—實(shí)軸y

—虛軸(2)z=x+iy?(

向量表示法

)模由此:or2/4/20237《復(fù)變函數(shù)》(第四版)結(jié)論:輻角:輻角主值:(兩邊之和大于第三邊)(兩邊之差小于第三邊)(z

0)無(wú)窮多個(gè),相差2kπ.k=0,±1,±2,……當(dāng)z=0時(shí),|z|=0,而輻角不確定.2/4/20238《復(fù)變函數(shù)》(第四版)Argz的主值argz(z

0)可由Arctan的主值arctan來(lái)確定:例:其中z=－3+3i(圖示)2/4/20239《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(3)三角表示法(4)指數(shù)表示法例由歐拉公式得求和的輻角主值.解:2/4/202310《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例1解:1)將下列復(fù)數(shù)化為三角表示式與指數(shù)表示式:1)2)(或∵z

在第三象限)∴三角式:指數(shù)式:書(shū)P.72/4/202311《復(fù)變函數(shù)》(第四版)解:2)例2.見(jiàn)書(shū)P.8…(自閱)續(xù)上頁(yè)例1三角式:指數(shù)式:2/4/202312《復(fù)變函數(shù)》(第四版)平面圖形與復(fù)數(shù)形式方程例3通過(guò)兩點(diǎn)

z1=x1+iy1與z2=x2+iy2的直線的方程解法一:由過(guò)兩點(diǎn)(x1,y1),(x2,y2)的直線的參數(shù)方程得復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程解法二:如圖,z－z1與z2－z1共線即z2ozz12/4/202313《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例4解:1)解:2)求下列方程所表示的曲線1)|z+i|=2;2)|z

－2i|=|z+2|;3)幾何上看|z+i|=|z

－(－i)

|=2:的距離為2的點(diǎn)軌跡,即中心為(－i

),半徑為2的圓.

代數(shù)推導(dǎo):設(shè)z=x+iy

則|x+(y+1)i|=2x2+(y+1)2

=4|z

－2i|=|z+2|——到點(diǎn)2i

和－2距離連結(jié)2i和－2的線段的垂直平分線.與點(diǎn)－i相等的點(diǎn)軌跡:|x+(y－2)i|=|(x+2)+yi|x2+(y－2)2=(x+2)2+y2

y=－x(見(jiàn)書(shū)P10圖1.5)2/4/202314《復(fù)變函數(shù)》(第四版)解:3)問(wèn):

續(xù)上頁(yè)例41－y=4y=－3|z+3

|+|z+1|=4

中z

的軌跡?到定點(diǎn)z

=－3和z=－1的距離和為常數(shù)——橢圓.(左焦點(diǎn))(右焦點(diǎn))2/4/202315《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.復(fù)球面任取一與復(fù)平面切于原點(diǎn)的球面,原點(diǎn)稱(chēng)球面的南極,過(guò)原點(diǎn)且垂直平面的直線與球面的交點(diǎn)稱(chēng)為球面的北極.連接平面上任一點(diǎn)與球面北極的直線段與球面有一個(gè)交點(diǎn),又在平面上引入一個(gè)假想點(diǎn)∞與球面北極對(duì)應(yīng),構(gòu)成擴(kuò)充復(fù)平面與球面點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng),即復(fù)數(shù)與球面上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng),球面稱(chēng)為復(fù)球面.2/4/202316《復(fù)變函數(shù)》(第四版)規(guī)定:注:1.在高等數(shù)學(xué)中,∞可以分為+∞和－∞.而在復(fù)變函數(shù)中只有唯一的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞.(這樣才能與復(fù)球面一一對(duì)應(yīng))2.引入唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)∞在理論上有重要意義.∞可以作為復(fù)平面的唯一的邊界點(diǎn).在擴(kuò)充的復(fù)平面上,直線可看成是一個(gè)圓.|∞|=+∞α≠∞,α+∞=∞+α=∞α－∞=∞－α=∞α

·∞=∞·α=∞無(wú)特殊說(shuō)明,平面仍指有限平面.2/4/202317《復(fù)變函數(shù)》(第四版)§3復(fù)數(shù)的乘冪與方根1.乘積與商(兩端可能值相等,即集相等)2/4/202318《復(fù)變函數(shù)》(第四版)幾何意義:特別:z1·z2:z1

逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度argz2,并伸長(zhǎng)

|z1|到|z2|倍.z2

順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度argz1,并伸長(zhǎng)iz1

——對(duì)z1

實(shí)行一次旋轉(zhuǎn)變換,旋轉(zhuǎn)角

2/4/202319《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例1方法一:已知正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)為z1=1與z2=2+i,求它的另一個(gè)頂點(diǎn).解:設(shè)z3=x+yi

??2/4/202320《復(fù)變函數(shù)》(第四版)方法二:類(lèi)似可得續(xù)上頁(yè)例1(書(shū)P14圖1.8)Z3xy0Z1Z2Z3/32/4/202321《復(fù)變函數(shù)》(第四版)補(bǔ)例:證:若|z1|=|z2|=|z3|.求證

三點(diǎn)共圓=αZ1Z2Z32/4/202322《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.冪與根╰—棣莫弗(DeMoivre)公式—╯z

的n

次方根:(n為負(fù)整數(shù)時(shí)亦成立)r=1:(k=0,1,2,…,n-1)為以原點(diǎn)為中心,為半徑的圓的內(nèi)接正n

邊形的n個(gè)頂點(diǎn).2/4/202323《復(fù)變函數(shù)》(第四版)特別:補(bǔ)例1:1的n

次方根也叫n

次單位根.1的三次方根:∴x11+x7+x3=x2+x+1解:∵x3－1=(x－1)(x2+x+1),而x2+x+1=0故x

是一個(gè)三次單位根.從而x11=

x9·x2

=x2,x7=x,x3=1.=0已知

x2+x+1=0,求x11+x7+x3

的值.2/4/202324《復(fù)變函數(shù)》(第四版)補(bǔ)例2:證:求證易知比較虛部與實(shí)部,即得所證.2/4/202325《復(fù)變函數(shù)》(第四版)補(bǔ)例3:解:但(1+z)5=(1－z)5

驗(yàn)證知z≠1.故原方程可寫(xiě)成:則w5=1.k=0,1,2,3,4故原方程的根為:解方程2/4/202326《復(fù)變函數(shù)》(第四版)§4區(qū)域1.區(qū)域的概念(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)zo的δ–鄰域:|z–zo|<δ的全體點(diǎn).

(半徑為δ的圓域)模zo的去心δ–鄰域:0<|z–zo|<δ.

的鄰域:|z|>M內(nèi)點(diǎn):zoG,zo的某個(gè)鄰域?qū)儆贕,zo為G的內(nèi)點(diǎn)開(kāi)集:集內(nèi)的每個(gè)點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn).連通集:連接G內(nèi)任意兩點(diǎn)的折線也屬于G.區(qū)域:連通的開(kāi)集.邊界點(diǎn):zo的任意一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于G的點(diǎn)又有不屬于G的點(diǎn).zo為邊界點(diǎn)。閉區(qū)域:區(qū)域+邊界=邊界可以是曲線,也可以是孤立點(diǎn).2/4/202327《復(fù)變函數(shù)》(第四版)2.單連通域與多連通域(1)簡(jiǎn)單閉曲線:(2)光滑曲線:設(shè)z(t)=x(t)+iy(t)(a≤t≤b)為復(fù)平面上一條連續(xù)曲線,(x(t),y(t)連續(xù))一條沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱(chēng)為簡(jiǎn)單曲線或約當(dāng)曲線,如果簡(jiǎn)單曲線的起點(diǎn)與終點(diǎn)重合,稱(chēng)為簡(jiǎn)單閉曲線.簡(jiǎn)單曲線自身不相交(t1≠t2?z(t1)≠z(t2))稱(chēng)為光滑曲線.(a≤

t

≤

b)由幾條光滑曲線依次連接而成的曲線,稱(chēng)為按段光滑曲線.曲線z=z(t)=x(t)+iy(t)2/4/202328《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(3)單連通域:從幾何上看:特征:若屬于區(qū)域G的任何簡(jiǎn)單閉曲線C的內(nèi)部也屬于G,則稱(chēng)G為單連通域;否則稱(chēng)為多連通域.單連通域即是無(wú)洞、無(wú)割痕的域.屬于單連通域的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線,在域內(nèi)可以經(jīng)過(guò)連續(xù)變形而縮成一點(diǎn).常見(jiàn)曲線與區(qū)域:2/4/202329《復(fù)變函數(shù)》(第四版)常見(jiàn)曲線與區(qū)域:2/4/202330《復(fù)變函數(shù)》(第四版)1.定義設(shè)G是復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)集,如果有一個(gè)確定的法則存在,按照這一法則,對(duì)于集合G中的每一個(gè)復(fù)數(shù)z,都有一個(gè)或幾個(gè)復(fù)數(shù)w=u+i

v

與之對(duì)應(yīng),那么稱(chēng)復(fù)變數(shù)w

是復(fù)變數(shù)z

的函數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)復(fù)變函數(shù)),記作w=f(z)單值:一個(gè)z

對(duì)應(yīng)w

的一個(gè)值.多值:一個(gè)z

對(duì)應(yīng)w

的兩個(gè)或兩個(gè)以上的值.§5復(fù)變函數(shù)2/4/202331《復(fù)變函數(shù)》(第四版)※

一個(gè)復(fù)變函數(shù)確定了自變量為x、y

的兩個(gè)二元實(shí)變函數(shù).例:z=x+yi,w=f(z)=f(x+i

y)=u+i

v相當(dāng)于兩個(gè)關(guān)系式:u=u(x,y),v=v(x,y).令z=x+iy,w=u+iv

2/4/202332《復(fù)變函數(shù)》(第四版)例:涉及四個(gè)變量x、y、u、v,故不能用一個(gè)平面,也不能用三維空間中的幾何圖形表示.反映z

平面上的一個(gè)點(diǎn)集G(定義集合)到w平面上一個(gè)點(diǎn)集G*(函數(shù)值集合)的一個(gè)映射.x2+y2≤1u2+v2≥1※

幾何意義:2/4/202333《復(fù)變函數(shù)》(第四版)代入法：已知將其寫(xiě)成關(guān)于z=x+iy

的解析式.補(bǔ)例:解:常用的方法有三種.2/4/202334《復(fù)變函數(shù)》(第四版)設(shè)零法：將式中項(xiàng)湊成x

±iy

的組合設(shè)式中y

=0,得

f(x),代回f(z)最簡(jiǎn)單拼湊法：2/4/202335《復(fù)變函數(shù)》(第四版)Gz平面G*w平面z－原象w－象(映象)w=f(z)今后不再區(qū)分函數(shù)與映射(變換).若G

與G*的映射是一一對(duì)應(yīng),則有逆映射z=φ(w).即w=f[φ(w)],

z=φ[f(z)].2.映射的概念2/4/202336《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(1)w=

——關(guān)于實(shí)軸的一個(gè)對(duì)稱(chēng)映射(將z與w重疊)象與映象是關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)的全同圖形.例:2/4/202337《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(2)w=z2

z=x+yi

w=u+iv,u=x2－y2,v=2xy.argw=2argz

——輻角增大一倍.角形域→角形域→2/4/202338《復(fù)變函數(shù)》(第四版)z

平面:x2－y2=c1,2xy=c2(以y=±x

和坐標(biāo)軸為漸近線的等軸雙曲線)兩族平行直線:u=c1,v=c2.(圖示見(jiàn)書(shū)P24圖1.17)2/4/202339《復(fù)變函數(shù)》(第四版)1.函數(shù)的極限(1)定義:(2)幾何意義w

=f(z)在

zo的去心鄰域0<|z－zo|<ρ內(nèi)有定義.?ε>0,?δ(ε)>0,使

0<|z－zo|<δ

時(shí),有|f(z)－A|<ε

則稱(chēng)A

為

f(z)當(dāng)z

趨向于zo時(shí)的極限,

當(dāng)變點(diǎn)z

一旦進(jìn)入zo的充分小的δ去心鄰域時(shí),

它的象點(diǎn)f

(z)就落入A

的預(yù)先給定的ε

鄰域中.

§6復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性2/4/202340《復(fù)變函數(shù)》(第四版)(4)極限的計(jì)算Th1.定義在形式上與敘述方法上十分相似,意義卻大不相同.z

→zo

的任意性更強(qiáng),條件更苛刻.其相同點(diǎn)是:只是z(或x)進(jìn)入

zo(或xo)的δ

鄰域.它的象點(diǎn)f

(z)(或f

(x))就進(jìn)入A

的ε

鄰域,而且它們有相同的極限運(yùn)算法則.設(shè)f(z)=u(x,y)+iv(x,y),A=uo+ivo,zo=xo+iyo,則:?(3)與實(shí)變函數(shù)極限的異同2/4/202341《復(fù)變函數(shù)》(第四版)??ε>0,?δ>0,當(dāng)

0<|(x+iy)－(xo+iyo)

|<δ

時(shí),|(u+iv)－(uo+ivo)

|<ε

,|(u－uo)+i(v－vo)

|<ε

.?|u－uo|<ε

,|v－vo|<ε

,?證:

必要性.2/4/202342《復(fù)變函數(shù)》(第四版)??ε>0,?δ>0,?|f(z)－A|=|(u－uo)+i(v－vo)

|≤|u－uo|+|v－vo|=ε?證:

充分性.2/4/202343《復(fù)變函數(shù)》(第四版)由此知：復(fù)變函數(shù)極限的定義，形式上與一元實(shí)函數(shù)類(lèi)似，實(shí)質(zhì)上卻相當(dāng)于二元函數(shù)的極限。（導(dǎo)致導(dǎo)數(shù)概念的