《工程電磁場(chǎng)》課件 第六章 時(shí)變電磁場(chǎng)

第六章時(shí)變電磁場(chǎng)大理大學(xué)工程學(xué)院羅凌霄編修1大理大學(xué)羅凌霄編修2§6-1傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流§6-2全電流定理

§6-3電磁感應(yīng)定律§6-4麥克斯韋電磁場(chǎng)方程組

§6-5時(shí)變電磁場(chǎng)中不同媒質(zhì)交界面的邊界條件、解的唯一性定理§6-6電磁場(chǎng)能量、坡印廷矢量及能量流§6-7電磁動(dòng)態(tài)位及其微分方程第六章時(shí)變電磁場(chǎng)本章所研究的對(duì)象，為時(shí)變電磁場(chǎng)。場(chǎng)中各物理量不僅是空間坐標(biāo)的函數(shù)，而且也是時(shí)間的函數(shù)。本章將要研究統(tǒng)一的電磁場(chǎng)同時(shí)存在的兩個(gè)方面——隨時(shí)間變動(dòng)的電場(chǎng)與隨時(shí)間變動(dòng)的磁場(chǎng)。大理大學(xué)羅凌霄編修3

1.傳導(dǎo)電流傳導(dǎo)電流是由自由電荷在導(dǎo)電媒質(zhì)中作有規(guī)則的運(yùn)動(dòng)而形成的電流。§6-1傳導(dǎo)電流、運(yùn)流電流和位移電流傳導(dǎo)電流服從于歐姆定律。2.運(yùn)流電流體分布的電荷在空間中遷移形成的電流叫做運(yùn)流電流。運(yùn)流電流將不服從于歐姆定律。設(shè)無(wú)阻力空間某微小區(qū)域內(nèi)，存有以速度

運(yùn)動(dòng)的電荷體密度ρ，在此空間作一無(wú)限小六面體。圖6-1空間無(wú)限小六面體(6-1)大理大學(xué)羅凌霄編修4dt時(shí)間內(nèi)穿過(guò)微小側(cè)面積dS的電量為微小面元dS上任一點(diǎn)的電流密度為考慮到運(yùn)流電流的方向沿正電荷運(yùn)動(dòng)方向，故空間任一點(diǎn)的運(yùn)流電流密度則穿過(guò)的電流為(6-2)(6-3)(6-4)(6-5)需要注意的是，這里的是任一點(diǎn)處的總的電荷密度，是這些電荷的整體移動(dòng)速度。大理大學(xué)羅凌霄編修5可以證明，如果把看做導(dǎo)體中載流子的電荷密度，看做載流子的漂移速度，那么也等于傳導(dǎo)電流密度。當(dāng)有幾種載流子并存時(shí)，傳導(dǎo)電流密度可以表示為這個(gè)規(guī)律無(wú)論是在有非電性場(chǎng)處（電源內(nèi)部）還是無(wú)非電性場(chǎng)處（電源外部）都是成立的。其中是第i種載流子的電荷密度，是第i種載流子的漂移速度。大理大學(xué)羅凌霄編修6

3.極化電流處于電介質(zhì)中的電場(chǎng)，在其變動(dòng)過(guò)程中，電介質(zhì)的極化強(qiáng)度將發(fā)生變化，從而引起電偶極子正、負(fù)電荷的振蕩，于是會(huì)形成一種電流，這種電流叫做極化電流。極化電流由束縛電荷的振蕩形成，而非自由電荷的運(yùn)動(dòng)形成。由于這種電流是束縛電荷發(fā)生微觀位移的結(jié)果，因而稱(chēng)之為位移電流?？梢宰C明，極化電流密度?？梢?jiàn)，只要極化強(qiáng)度隨時(shí)間變化，就會(huì)有極化電流。極化電流也具有磁效應(yīng)。極化電流概念以及極化電流密度公式是由麥克斯韋建立的，它是位移電流的一部分。大理大學(xué)羅凌霄編修4.真空位移電流圖7-18

電路中含有電容，導(dǎo)致傳導(dǎo)電流不連續(xù)在平行板電容器極板附近選取一個(gè)閉合路徑L，以此回路為邊線作兩個(gè)曲面S1和S2，S1和導(dǎo)線相交，S2和導(dǎo)線不相交。假設(shè)安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒情形仍然成立，則對(duì)于S1面有導(dǎo)線通過(guò)對(duì)于S2面沒(méi)有導(dǎo)線通過(guò)，就沒(méi)有電流通過(guò)，因此對(duì)于同一個(gè)閉合路徑，由于選擇的曲面不同，積分導(dǎo)致了不同的結(jié)果，出現(xiàn)了矛盾。所以安培環(huán)路定理在非穩(wěn)恒情形不成立。

S1S2L+q-qRI7大理大學(xué)羅凌霄編修圖7-18

電路中含有電容，導(dǎo)致傳導(dǎo)電流不連續(xù)麥克斯韋認(rèn)為，如果能夠給傳導(dǎo)電流加一點(diǎn)東西，構(gòu)成新的電流，使從左向右流過(guò)曲面S1和S2的這種新的電流相等，用這種新的電流代替安培環(huán)路定理中的電流，那么安培環(huán)路定理就發(fā)展為在非穩(wěn)恒情形仍然成立的規(guī)律。從左向右流過(guò)曲面S1和S2的這種新的電流相等，則這種新的電流流出閉合曲面的代數(shù)和等于零，所以它的電流線是閉合的，故而這種新的電流叫做連續(xù)（電）流。麥克斯韋成功地構(gòu)造了連續(xù)流，并且后來(lái)的實(shí)驗(yàn)證明，經(jīng)他修正的安培環(huán)路定理的確是普遍成立的規(guī)律。這是麥克斯韋最偉大的學(xué)術(shù)成就。S1S2L+q-qRI8大理大學(xué)羅凌霄編修9圖6-2電源以傳導(dǎo)電流形式給導(dǎo)體供電考慮如圖6-2所示的兩個(gè)導(dǎo)體，其間具有電容，現(xiàn)把它們連接到帶有開(kāi)關(guān)的直流電源上。在開(kāi)關(guān)閉合的瞬間，電源將向兩導(dǎo)體電容系統(tǒng)充電，導(dǎo)體所帶的下面來(lái)考慮如何構(gòu)造連續(xù)流：自由電量q系由電源以傳導(dǎo)電流的形式供給。根據(jù)電荷守恒定律（麥克斯韋認(rèn)為這個(gè)規(guī)律是可靠的），流入閉合曲面S內(nèi)的傳導(dǎo)電流等于導(dǎo)體上自由電量隨時(shí)間的增加率，即大理大學(xué)羅凌霄編修10為了構(gòu)造連續(xù)流，麥克斯韋假定，高斯定理在一般情形依然成立。所以，(6-7)(6-6)（6-7）式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)，得(6-7*)由（6-6）和（6-7*）式，得大理大學(xué)羅凌霄編修11可見(jiàn)，和構(gòu)成連續(xù)流。叫做位移電流密度，用表示。(6-9)(6-8)由于，所以位移電流密度其中就是極化電流密度。故大理大學(xué)羅凌霄編修12(6-10)電介質(zhì)內(nèi)可以有極化電流，導(dǎo)體內(nèi)也可以有極化電流，但真空中沒(méi)有極化電流。叫做真空位移電流密度（或本底極化電流密度）。真空位移電流和極化電流統(tǒng)稱(chēng)為位移電流。圖6-2電源以傳導(dǎo)電流形式給導(dǎo)體供電在圖（6-2）所示的情況下，傳導(dǎo)電流和位移電流構(gòu)成連續(xù)流。真空位移電流同樣顯示出磁效應(yīng)。大理大學(xué)羅凌霄編修13例6-1

空間某點(diǎn)的電位移矢量依照的規(guī)律變化。求該點(diǎn)的位移電流密度表達(dá)式。

解按位移電流密度，故空間任一點(diǎn)的位移電流密度為

例6-2雷云放電以前，與地面感應(yīng)電荷形成一均勻電場(chǎng)，設(shè)此均勻電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度為5000V/cm，若雷云放電時(shí)間為1μs，求放電時(shí)此區(qū)域內(nèi)位移電流密度之值。解由于雷云放電時(shí)間為1μs，故電場(chǎng)強(qiáng)度(由5000V/cm降為零)的變化率的絕對(duì)值大理大學(xué)羅凌霄編修14例6-3

點(diǎn)電荷q沿半徑為R的圓周以角速度ω轉(zhuǎn)動(dòng)。寫(xiě)出其在圓心處位移電流密表達(dá)式。

解此點(diǎn)電荷轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，其在圓心所產(chǎn)生的電位移矢量為圖6-4例6-3圖式中：

為隨時(shí)間變化的矢量。

的模不變，其方向隨時(shí)間而變。由位移電流密度表達(dá)式，得其中為圓的切向單位矢量，指向角度增大的一側(cè)。大理大學(xué)羅凌霄編修15§6-2全電流定理在空間繞任意導(dǎo)體作任意閉合曲面S，此時(shí)若有電源以傳導(dǎo)電流形式向該導(dǎo)體充電，同時(shí)有自由體電荷進(jìn)入該閉合曲面，那么根據(jù)電荷守恒定律，穿入曲面S的傳導(dǎo)電流與運(yùn)流電流應(yīng)等于曲面S內(nèi)自由電量q隨時(shí)間的增加率圖6-5全電流示意全電流連續(xù)性原理或(6-12)(6-11)此時(shí)穿出曲面S的位移電流則為(6-13)大理大學(xué)羅凌霄編修16由于(6-14)(6-15)所以故或其中叫做全電流密度（全遷移電流密度）。

是非電性場(chǎng)強(qiáng)度。（6-15）式叫做積分形式的全（遷移）電流連續(xù)性原理。大理大學(xué)羅凌霄編修17穿過(guò)不閉合的曲面S的全（遷移）電流全（遷移）電流連續(xù)性原理表明：在時(shí)變場(chǎng)中，全（遷移）電流線無(wú)源，它們是永遠(yuǎn)閉合的，具體地說(shuō)即在傳導(dǎo)電流中斷處，必有運(yùn)流電流、或位移電流接續(xù)。

微分形式的全（遷移）電流連續(xù)性原理為(6-16)需要注意的是，雖然被叫做全（遷移）電流密度，但是其中并未包含磁化電流密度

(或?qū)憺?。把磁化電流（或者叫做束縛電流）加入其中，才構(gòu)成真正的全電流?？梢宰C明磁化電流是連續(xù)的，所以全電流也是連續(xù)的。大理大學(xué)羅凌霄編修18全電流定理磁介質(zhì)中的安培環(huán)路定理是表征恒定磁場(chǎng)的基本方程之一，它的積分形式為，其中I是流過(guò)回路l所圍曲面的自由電流。只要自由電流連續(xù)，安培環(huán)路定理必定成立。在時(shí)變場(chǎng)中，由于自由電流不一定處處連續(xù)，安培環(huán)路定理就失去了存在的前提。但是如果把閉合回路所交鏈的電流的概念加以拓廣，把它理解為全（遷移）電流，即有(6-17)上式稱(chēng)之為全（遷移）電流定理，或者叫做全（遷移）電流的安培環(huán)路定理。它說(shuō)明，磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意回路的線積分，等于穿過(guò)該回路所圍曲面的全（遷移）電流。該式又稱(chēng)為(關(guān)于磁場(chǎng)強(qiáng)度的)麥克斯韋第一積分方程，還可以叫做磁場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)量定律。

大理大學(xué)羅凌霄編修19如果計(jì)及磁化電流，那么（6-17）式變成（6-17）式還可以表示為(6-17*)或者(6-17**)(6-17***)提出位移電流概念，從而把安培環(huán)路定理修正為普遍適用的規(guī)律，是麥克斯韋在電磁場(chǎng)理論方面最重大的理論成就。大理大學(xué)羅凌霄編修20由斯托克斯公式，有式(6-19)即為(關(guān)于磁場(chǎng)強(qiáng)度的)麥克斯韋第一微分方程，也可以叫做磁場(chǎng)強(qiáng)度的旋度定律。麥克斯韋第一方程表明，不僅運(yùn)動(dòng)電荷將產(chǎn)生渦旋磁場(chǎng)，變動(dòng)的電場(chǎng)也將產(chǎn)生變動(dòng)的渦旋磁場(chǎng)。它說(shuō)明電與磁二者間的關(guān)系，因而麥克斯韋第一方程是描述時(shí)變電磁場(chǎng)中不同的兩個(gè)方面——電場(chǎng)與磁場(chǎng)關(guān)系的方程之一，它是解決時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題的一個(gè)基本依據(jù)。(6-18)于是(6-19)補(bǔ)充(6-19*)大理大學(xué)羅凌霄編修21電磁感應(yīng)定律經(jīng)過(guò)法拉第、楞茨的實(shí)驗(yàn)探索和妞蒙、韋伯、麥克斯韋的理論研究，總結(jié)出導(dǎo)體回路內(nèi)所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，等于回路交鏈磁通隨時(shí)間的變化率的負(fù)值，即

表達(dá)式中的負(fù)號(hào)說(shuō)明，導(dǎo)體回路內(nèi)變化磁通產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)，總是企圖產(chǎn)生這樣的感應(yīng)電流，使感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁通，去抵消或者補(bǔ)償引起感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的磁通量的變化。或者使感應(yīng)電流激發(fā)的磁場(chǎng)，去反抗引起感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的原因?！?-3電磁感應(yīng)定律例如當(dāng)線圈回路的正向磁通增長(zhǎng)時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。感應(yīng)電流的方向使它激發(fā)的磁場(chǎng)穿過(guò)回路的磁通去抵消引起感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的磁通量的增加。(6-20)大理大學(xué)羅凌霄編修22

圖6-6磁通與電動(dòng)勢(shì)的正方向圖6-7感生電動(dòng)勢(shì)的實(shí)際方向

這表明線圈回路所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，其真實(shí)方向與線圈回路電動(dòng)勢(shì)的正方向相反。

大理大學(xué)羅凌霄編修23

麥克斯韋第二方程靜電場(chǎng)和恒定電場(chǎng)是位場(chǎng)，位場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度的線積分與路徑無(wú)關(guān)，位電場(chǎng)強(qiáng)度沿回路的線積分等于零。當(dāng)場(chǎng)域中存在非位電場(chǎng)時(shí)，總電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)路積分并不為零，而等于非位電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)路積分非位電場(chǎng)即是其它形式能量轉(zhuǎn)換為電場(chǎng)能量的場(chǎng)所。麥克斯韋認(rèn)為，處在變化磁場(chǎng)中的不動(dòng)的導(dǎo)體回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)（即感生電動(dòng)勢(shì)），就等于有旋電場(chǎng)強(qiáng)度在導(dǎo)體回路中的環(huán)量，即(6-21)位電場(chǎng)又叫做庫(kù)侖場(chǎng)。非位電場(chǎng)是由變化的磁場(chǎng)激發(fā)的，它又叫做渦旋電場(chǎng)（或有旋電場(chǎng)）。渦旋電場(chǎng)這一概念是由麥克斯韋提出來(lái)的。大理大學(xué)羅凌霄編修24所以，(6-22)根據(jù)電磁感應(yīng)定律，導(dǎo)體回路中的感生電動(dòng)勢(shì)(6-23)(6-24)麥克斯韋認(rèn)為，即使這個(gè)不動(dòng)的回路不是由導(dǎo)體材料構(gòu)成，而是由電介質(zhì)構(gòu)成，或者干脆就是一個(gè)假想的幾何回路，只要它處在變化的磁場(chǎng)中，其中就有可能產(chǎn)生感生電動(dòng)勢(shì)，電磁感應(yīng)定律對(duì)它仍然成立。和導(dǎo)體回路的差別僅僅是其中沒(méi)有感生電流。所以(6-24)式對(duì)不動(dòng)的假想回路依然成立。實(shí)際上，它對(duì)于運(yùn)動(dòng)的假想回路也是成立的。原因在于：大理大學(xué)羅凌霄編修25(6-24)式涉及的是電場(chǎng)強(qiáng)度沿回路的線積分，以及磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間的減少率穿過(guò)回路所圍曲面的通量，所以，即使假想的回路相對(duì)于我們?cè)谄渲袦y(cè)量磁場(chǎng)和電場(chǎng)的參考系作運(yùn)動(dòng)，對(duì)于任意一個(gè)時(shí)刻的回路和它此刻所圈圍的曲面，(6-24)對(duì)它仍然成立。(6-24)(6-24)式叫做麥克斯韋第二積分方程，也可以叫做電場(chǎng)強(qiáng)度的環(huán)量定律。提出渦旋電場(chǎng)概念，并且把電磁感應(yīng)定律改寫(xiě)成(6-24)式，是麥克斯韋在電磁理論方面的第二大理論成就。大理大學(xué)羅凌霄編修26對(duì)電磁感應(yīng)定律的補(bǔ)充說(shuō)明：右邊第一項(xiàng)是由于磁場(chǎng)變化而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，叫做感生電動(dòng)勢(shì)；第二項(xiàng)是由于導(dǎo)體回路運(yùn)動(dòng)而產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，叫做動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)?？梢宰C明，對(duì)于運(yùn)動(dòng)的回路l所圈圍的任意的曲面S，穿過(guò)它的磁通隨時(shí)間的變化率所以，對(duì)于在變化的磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的導(dǎo)體回路，其中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)其中的是回路上的線元矢量的運(yùn)動(dòng)速度。大理大學(xué)羅凌霄編修27根據(jù)斯托克斯公式，故得此即麥克斯韋第二微分方程，或稱(chēng)為微分形式的電磁感應(yīng)定律，還可以叫做電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度定律。麥克斯韋第一方程闡明了變動(dòng)的電場(chǎng)產(chǎn)生變動(dòng)的渦旋磁場(chǎng)，而麥克斯韋第二方程則闡明了變動(dòng)的磁場(chǎng)產(chǎn)生變動(dòng)的渦旋電場(chǎng)。因而麥克斯韋第一與第二方程從不同的方面揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)中電場(chǎng)與磁場(chǎng)之間的相互聯(lián)系。變動(dòng)的電場(chǎng)將在空間產(chǎn)生變動(dòng)的磁場(chǎng)，而變動(dòng)的磁場(chǎng)又將在空間產(chǎn)生變動(dòng)的電場(chǎng)，麥克斯韋就是根據(jù)這一結(jié)論，預(yù)見(jiàn)了電磁波的存在。

麥克斯韋第一、第二方程是我們解決時(shí)變電磁場(chǎng)問(wèn)題的基本依據(jù)。

(6-25)(6-26)大理大學(xué)羅凌霄編修28

例6-4設(shè)空間磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直于磁場(chǎng)的平面上，有一形狀如數(shù)字8的閉合回路，圖中斜線區(qū)域的面積分別為求閉合線路中的感生電動(dòng)勢(shì)。解如圖6-8所示，穿過(guò)面積與的磁通分別為圖6-8例6-4圖由于上述兩磁通在閉合線路中的感生電動(dòng)勢(shì)方向相反，取閉合回路感生電動(dòng)勢(shì)e的正方向同e1的正方向一致，則大理大學(xué)羅凌霄編修29例6-5

均勻磁場(chǎng)內(nèi)，磁通密度B=Bmcosωt。設(shè)磁場(chǎng)內(nèi)有一面積為S的平面線圈回路，t=0時(shí)其初始位置于α=0處。當(dāng)線圈按角速度ω1轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，求此平面回路中所產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。圖6-9例6-5圖解如圖6-9，穿過(guò)平面回路所界定的面積S的磁通回路中感應(yīng)的電動(dòng)勢(shì)為大理大學(xué)羅凌霄編修30將前幾節(jié)中所導(dǎo)出的公式稍加匯總，加上媒質(zhì)的特性方程(或稱(chēng)為輔助方程)，就可得到時(shí)變電磁場(chǎng)的一組完整的方程式。即為麥克斯韋方程組?！?-4麥克斯韋電磁場(chǎng)方程組(6-30)(6-29)(6-28)(6-27)(6-32)(6-33)(6-31)洛倫茲力公式是獨(dú)立于麥克斯韋方程組之外的電磁場(chǎng)的基本理論，堪稱(chēng)一流成就。微分表示式不能用在媒質(zhì)交界面處。積分表示式最為基本，普遍適用。大理大學(xué)羅凌霄編修31庫(kù)侖定律、畢-薩-拉定律和電荷守恒定律都可以從麥克斯韋方程組媒質(zhì)特性方程可以借助于洛倫茲力公式和量子力學(xué)推演出來(lái)。所以麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式是電磁場(chǎng)理論的最基本、最核心的規(guī)律。推演出來(lái)。31大理大學(xué)羅凌霄編修32麥克斯韋第一及第二方程描述著統(tǒng)一電磁場(chǎng)兩個(gè)矛盾著的方面——電場(chǎng)與磁場(chǎng)相互依存(一方存在必以它方存在為前提)、相互制約(數(shù)量上、方向上以及變化規(guī)律上是相互約制的)而又相互轉(zhuǎn)化(變動(dòng)電場(chǎng)轉(zhuǎn)化為變動(dòng)磁場(chǎng)，變動(dòng)磁場(chǎng)轉(zhuǎn)化為變動(dòng)電場(chǎng))。式(6-29)說(shuō)明統(tǒng)一的電磁場(chǎng)的兩個(gè)方面之一——磁場(chǎng)本身所具有的另一規(guī)律——無(wú)散度，亦即磁場(chǎng)不可能為單極磁荷所激發(fā)。式(6-30)說(shuō)明統(tǒng)一電磁場(chǎng)的另一方面——電場(chǎng)本身所具有的另一規(guī)律——有散度，亦即電場(chǎng)可以由點(diǎn)源電荷所激發(fā)。式(6-31)、式(6-32)及式(6-33)說(shuō)明統(tǒng)一的電磁場(chǎng)與其所處空間媒質(zhì)的關(guān)系。大理大學(xué)羅凌霄編修33將麥克斯韋方程組的積分方程式分別應(yīng)用于場(chǎng)的不同媒質(zhì)交界面，即可得到時(shí)變電磁場(chǎng)的邊值關(guān)系。

不同電介質(zhì)交界面的邊值關(guān)系

省略導(dǎo)出邊值關(guān)系的過(guò)程，此時(shí)邊值關(guān)系為§6-5時(shí)變電磁場(chǎng)中不同媒質(zhì)交界面的邊值關(guān)系、解的唯一性定理(6-34)(6-35)(6-36)(6-37)大理大學(xué)羅凌霄編修34導(dǎo)體表面介質(zhì)中有圖6-11理想導(dǎo)體表面的電場(chǎng)

電介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面的邊值關(guān)系

由于電磁波不能透入理想導(dǎo)體內(nèi)部，故導(dǎo)體內(nèi)將不存在電場(chǎng)與磁場(chǎng)，亦即

。

大理大學(xué)羅凌霄編修35沿導(dǎo)體表面無(wú)運(yùn)流電流，亦無(wú)位移電流沿導(dǎo)體表面流動(dòng)，得。此處

表示垂直流過(guò)單位長(zhǎng)度上的面?zhèn)鲗?dǎo)電流值。圖6-12介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面的磁場(chǎng)最后將磁通連續(xù)性原理的積分表達(dá)式運(yùn)用于場(chǎng)的邊界，則得。小結(jié)：介質(zhì)與理想導(dǎo)體交界面處的邊界條件為（6-41）（6-40）（6-39）（6-38）大理大學(xué)羅凌霄編修36解的唯一性定理時(shí)變電磁場(chǎng)的求解問(wèn)題，同樣是一個(gè)求解偏微分方程滿足定解條件的解的問(wèn)題，是一個(gè)既有初始條件又有邊界條件的定解問(wèn)題，或稱(chēng)為混合問(wèn)題。

時(shí)變電磁場(chǎng)同樣存在著唯一性定理，所求定解問(wèn)題滿足下述條件的解具有唯一性，其具體內(nèi)容如下：設(shè)被邊界Γ所界定的場(chǎng)域Ω中，若已知：

1.t=0時(shí)，場(chǎng)域Ω中每點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度E的初始值與磁場(chǎng)強(qiáng)度H的初始值；

2.當(dāng)t＞0的所有時(shí)間內(nèi)，邊界面Γ上電場(chǎng)強(qiáng)度的切線分量Et或者磁場(chǎng)強(qiáng)度的切線分量Ht。則麥克斯韋電磁場(chǎng)方程組具有唯一確定解。亦即時(shí)變電磁場(chǎng)的解，由電磁場(chǎng)初始值，及t＞0時(shí)邊界上的電場(chǎng)強(qiáng)度切線分量或者磁場(chǎng)強(qiáng)度切線分量所唯一確定。大理大學(xué)羅凌霄編修37電磁場(chǎng)能量在時(shí)變電磁場(chǎng)中，電場(chǎng)與磁場(chǎng)同時(shí)存在，因此任何一瞬間，空間任一點(diǎn)的電磁能量密度應(yīng)為此時(shí)電場(chǎng)能量密度與磁場(chǎng)能量密度之和，即§6-6電磁場(chǎng)能量、坡印廷矢量及能量流這是麥克斯韋由邏輯推理所得的假設(shè)之一，至今尚無(wú)直接實(shí)驗(yàn)證明，不過(guò)建立在此假設(shè)之上的許多理論，卻為實(shí)踐所證實(shí)。時(shí)變電磁場(chǎng)中場(chǎng)量是隨時(shí)間而變動(dòng)的，場(chǎng)的能量狀態(tài)亦是隨時(shí)間而變動(dòng)的。對(duì)于線性媒質(zhì)(6-43)大理大學(xué)羅凌霄編修38坡印廷矢量及能量流時(shí)變電磁場(chǎng)中，由于電場(chǎng)與磁場(chǎng)的不斷變化，并由空間一點(diǎn)傳遞到另一點(diǎn)，因而形成傳播于空間攜帶著電磁能量的電磁波，無(wú)論是電訊系統(tǒng)或電力系統(tǒng)，它們的功率傳輸過(guò)程都是電磁能量在空間的傳播過(guò)程。下面研究電源（指化學(xué)電源、溫差電源、光電源）外部的不動(dòng)的導(dǎo)體中的電磁場(chǎng)：設(shè)空間某點(diǎn)的電磁能量密度為則該點(diǎn)電磁能量密度隨時(shí)間的變化率為(6-44)(6-45)(6-46)大理大學(xué)羅凌霄編修39——該點(diǎn)所在處單位體積內(nèi)電場(chǎng)用以增加運(yùn)流電流體電荷的動(dòng)能所供給的功率?！擖c(diǎn)處電磁能量密度隨時(shí)間的增加率?！擖c(diǎn)處電場(chǎng)對(duì)傳導(dǎo)電流作功的功率密度。由于假設(shè)導(dǎo)體不動(dòng)，又處于電源（指化學(xué)電源、溫差電源、光電源）外部，所以此功率密度等于傳導(dǎo)電流引起的焦?fàn)枱釗p耗功率密度。所以等式左端代表該點(diǎn)電磁場(chǎng)能量密度隨時(shí)間的增加率與單位體積內(nèi)電磁場(chǎng)能量耗散功率之和。大理大學(xué)羅凌霄編修40(6-49)兩邊求體積分，得(6-50)對(duì)根據(jù)高斯公式，（6-49）式右邊的所以大理大學(xué)羅凌霄編修41圖6-13穿出閉合曲面的坡印廷矢量圖即為單位時(shí)間內(nèi)穿入閉合曲面S的電磁能量為單位時(shí)間內(nèi)穿出閉合曲面S的電磁能量（6-50）式左端是體積V內(nèi)電磁場(chǎng)能量隨時(shí)間的增加率以及電磁場(chǎng)能量的耗散功率之和。由于體積V內(nèi)沒(méi)有電源可以提供電磁能量，根據(jù)能量守恒定律，V中單位時(shí)間內(nèi)增加的電磁能與損耗的電磁能的總和，應(yīng)等于單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)V的邊界面S流入V中的電磁場(chǎng)能量。所以(6-50)大理大學(xué)羅凌霄編修42它的大小等于單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過(guò)單位面積的電磁能量，方向沿著電磁能量傳輸?shù)姆较?。顯然，垂直于和所組成的平面。的單位為瓦特每平方米(W/m2)。坡印矢量描述了電磁能在空間傳播的規(guī)律：無(wú)論是電力傳輸或電訊傳輸，都必須是通過(guò)空間電磁場(chǎng)來(lái)實(shí)現(xiàn)能量傳送的。圖6-14坡印廷矢量的確定單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)曲面S的電磁能量等于所以電磁能流密度矢量（坡印廷矢量）為（6-51）大理大學(xué)羅凌霄編修43忽略導(dǎo)線的電阻和電阻壓降，設(shè)雙輸電線所加電壓為u，流過(guò)的電流為i。設(shè)兩根導(dǎo)線之間的距離遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于導(dǎo)線的半徑，那么電軸對(duì)于導(dǎo)線幾何軸線的偏離可圖6-15兩平行輸電線的電場(chǎng)和磁場(chǎng)內(nèi)穿過(guò)面元dS的能量平行雙輸電線的功率傳輸以忽略。于是，在兩軸線的垂面內(nèi)，到兩軸線的距離的比值為常數(shù)的點(diǎn)既組成磁感線，也組成等位線。它們都是兩簇偏心圓。因?yàn)殡妶?chǎng)線與等位線處處正交，而磁感線與等位線重合，所以此時(shí)電場(chǎng)線與磁感線處處正交，將空間劃分為無(wú)數(shù)正交網(wǎng)孔。大理大學(xué)羅凌霄編修44圖6-15兩平行輸電線的電場(chǎng)和磁場(chǎng)內(nèi)穿過(guò)面元dS的能量取任一網(wǎng)孔k，令其沿電場(chǎng)線方向的邊長(zhǎng)為dn，沿磁感線方向的邊長(zhǎng)為dm。網(wǎng)孔的面積為dS=(dn×dm)。單位時(shí)間內(nèi)穿過(guò)此面元dS的電磁能量(6-52)(6-53)由于兩根磁感線（亦即兩根等位線）之間的電位差是一樣的Edn是兩根磁感線之間的電位差能流密度矢量垂直紙面向里傳輸功率大理大學(xué)羅凌霄編修45在以上的推導(dǎo)過(guò)程中忽略了導(dǎo)線的電壓降。如果考慮導(dǎo)線電壓降，取電場(chǎng)強(qiáng)度E的軸線分量Ez進(jìn)行計(jì)算，知道電磁能量還會(huì)滲漏進(jìn)導(dǎo)線中。

圖6-16兩平行輸電線電場(chǎng)可見(jiàn)，輸電線所傳輸?shù)哪芰?，并非由?dǎo)線內(nèi)部傳送，而是通過(guò)線外的空間，以電磁波的方式（穩(wěn)恒情形是恒定能量流的形式）傳播的，此時(shí)傳輸線僅起引導(dǎo)作用。大理大學(xué)羅凌霄編修46電磁矢量動(dòng)態(tài)位的達(dá)朗貝爾方程在時(shí)變電磁場(chǎng)中，由于（6-54），可引入電磁矢量動(dòng)態(tài)位，并定義

具有多值性，

可附加任意標(biāo)量場(chǎng)的梯度而不影響

的單值性。(6-55)(6-56)(6-57)(6-58)(6-59)§6-7電磁動(dòng)態(tài)位及其微分方程

稱(chēng)之為電磁標(biāo)量動(dòng)態(tài)位，簡(jiǎn)稱(chēng)為電磁標(biāo)量位。大理大學(xué)羅凌霄編修47若空間媒質(zhì)為線性時(shí)，在不考慮運(yùn)流電流的情況下，引用麥克斯韋第一方程，則有當(dāng)媒質(zhì)均勻時(shí)(6-60)(6-61)由矢量公式(6-63)(6-62)大理大學(xué)羅凌霄編修48對(duì)于所引入的

場(chǎng)，給其散度

以一約束條件，這一約束條件的選擇當(dāng)然應(yīng)使求解的方程簡(jiǎn)化，并能單值地確定電磁矢量位與電磁標(biāo)量位。這一約束條件可以選擇洛倫茲條件，即上式即為電磁矢量位應(yīng)滿足的達(dá)朗貝爾方程。在穩(wěn)恒情況下，它退化為矢量磁位滿足的泊松方程。(6-64)(6-65)當(dāng)空間不存在傳導(dǎo)電流時(shí)，則得電磁矢量位所滿足的波動(dòng)方程，即(6-66)其中的于是大理大學(xué)羅凌霄編修49且由于電磁標(biāo)量位的達(dá)朗貝爾方程在媒質(zhì)為均勻時(shí)，運(yùn)用麥克斯韋方程組中電位移矢量的散度方程，并考慮洛倫茲約束條件可得電磁標(biāo)量位的達(dá)朗貝爾方程。上式即為電磁標(biāo)量位所應(yīng)滿足的達(dá)朗貝爾方程。在穩(wěn)恒情形，它退化為電位滿足的泊松方程。(6-67)(6-68)(6-69)(6-70)故即(6-71)考慮洛倫茲條件得大理大學(xué)羅凌霄編修50當(dāng)空間不存在自由體電荷密度時(shí)，則得電磁標(biāo)量位所滿足的波動(dòng)方程

(6-72)

時(shí)變電磁場(chǎng)邊值問(wèn)題的求解，可從求解達(dá)朗貝爾方程著手。實(shí)際問(wèn)題中，由于空間傳導(dǎo)電流并不存在，因此通常需要求解的只是波動(dòng)方程。大理大學(xué)羅凌霄編修51滯后位波動(dòng)方程解的形式如何，它與靜態(tài)場(chǎng)的解究竟有什么不同之處？設(shè)均勻媒質(zhì)空間，有一點(diǎn)電荷q，其量值隨時(shí)間t變化，原因是它的電荷與周?chē)姾捎薪粨Q。根據(jù)獨(dú)立作用原理和疊加原理，可以單獨(dú)考慮此點(diǎn)電荷所起的作用。在此情況下，對(duì)于場(chǎng)源以外空間各點(diǎn)，均滿足波動(dòng)方程。選擇點(diǎn)電荷所在點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，在選擇球面坐標(biāo)情況下，電磁標(biāo)量位波動(dòng)方程具有如下形式：

由于場(chǎng)量以電荷所在點(diǎn)為中心而具有球面對(duì)稱(chēng)關(guān)系，因而場(chǎng)量?jī)H為半徑r和t的函數(shù)，所以上式變成大理大學(xué)羅凌霄編修52(6-74)(6-73)上述表達(dá)式與電路中無(wú)損耗均勻輸電線方程相似，比照無(wú)損耗均勻輸電線方程的解，上式的解有如下形式：(6-75)(6-76)也可寫(xiě)成故大理大學(xué)羅凌霄編修53可見(jiàn)電磁標(biāo)量位是一個(gè)由入射波(直波)分量與反射波(回波)分量所組成的具有波動(dòng)性質(zhì)的量。入射波分量由點(diǎn)電荷源沿半徑方向四周發(fā)散，而反射波分量則由四周沿半徑相反方向向點(diǎn)電荷源匯集。任何一個(gè)分量的波陣面都是一個(gè)球面，因此稱(chēng)這種波為球面波。

在無(wú)限大均勻媒質(zhì)空間，由于此時(shí)無(wú)反射波存在，故有(6-77)將上式變形，則(6-78)電磁動(dòng)態(tài)位方程的特例，即電磁矢量位、電磁標(biāo)量位將滿足各自的靜態(tài)方程。也就是說(shuō)恒定磁場(chǎng)與靜電場(chǎng)不過(guò)是時(shí)變電磁場(chǎng)在場(chǎng)源不隨時(shí)間變化情況下的特例。

大理大學(xué)羅凌霄編修54此函數(shù)

稱(chēng)為電磁標(biāo)量滯后位，它說(shuō)明：空間任一點(diǎn)的電磁標(biāo)量位的變化，較之引起此變化的點(diǎn)源電荷的變化，要滯后一個(gè)傳播時(shí)間r/v。亦即經(jīng)過(guò)時(shí)間r/v，場(chǎng)點(diǎn)才感受到場(chǎng)源發(fā)生的變化。將此式與式(6-78)比較，可見(jiàn)應(yīng)具有與相同的量綱，因而式(6-78)應(yīng)為(6-79)(6-80)若場(chǎng)源點(diǎn)電荷值q不隨時(shí)間變化，則大