高中數(shù)學(xué) 平均數(shù)及其估計(jì) 蘇教必修3

平均數(shù)及其估計(jì).1、眾數(shù)在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。2、中位數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)（或兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。3、平均數(shù)

=(x1+x2+……+xn)/n復(fù)習(xí)回顧眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù).思考1：在初中我們學(xué)過的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)的概念，這些數(shù)據(jù)都是反映樣本信息的數(shù)字特征，對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)如何求眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？.如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？.【問題】

我國(guó)是世界上嚴(yán)重缺水的國(guó)家之一，城市缺水問題較為突出，某市政府為了節(jié)約生活用水，計(jì)劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個(gè)居民月用水量標(biāo)準(zhǔn)a，用水量不超過a的部分按平價(jià)收費(fèi)，超出a的部分按議價(jià)收費(fèi).通過抽樣調(diào)查，獲得100位居民2007年的月均用水量如下表（單位：t）：.3.12.52.02.01.51.01.61.81.91.63.42.62.22.21.51.20.20.40.30.43.22.72.32.11.61.23.71.50.53.83.32.82.32.21.71.33.61.70.64.13.22.92.42.31.81.43.51.90.84.33.02.92.42.41.91.31.41.80.72.02.52.82.32.31.81.31.31.60.92.32.62.72.42.11.71.41.21.50.52.42.52.62.32.11.61.01.01.70.82.42.82.52.22.01.51.01.21.80.62.2.

分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率

[0，0.5）40.04[0.5，1）正80.08[1，1.5）正正正150.15[1.5，2）正正正正220.22[2，2.5）正正正正正250.25[2.5，3）正正140.14[3，3.5）正一60.06[3.5，4）40.04[4，4.5]20.02

合計(jì)1001.00.月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考2：在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，你認(rèn)為眾數(shù)應(yīng)在哪個(gè)小矩形內(nèi)？由此估計(jì)總體的眾數(shù)是什么？取最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.25作為眾數(shù)..月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考3：在頻率分布直方圖中，每個(gè)小矩形的面積表示什么？中位數(shù)左右兩側(cè)的直方圖的面積應(yīng)有什么關(guān)系？.思考4：在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個(gè)小矩形的面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估計(jì)總體的中位數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.5×0.01÷0.25=0.02，中位數(shù)是2.02..思考4：在城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，從左至右各個(gè)小矩形的面積分別是0.04，0.08，0.15，0.22，0.25，0.14，0.06，0.04，0.02.由此估計(jì)總體的中位數(shù)是什么？月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O0.5-0.04-0.08-0.15-0.22=0.01，0.5×0.1÷0.25=0.02，中位數(shù)是2.02.

.月均用水量/t頻率組距0.50.40.30.20.10.511.522.533.544.5O思考5：從直方圖估計(jì)總體在各組數(shù)據(jù)內(nèi)的平均數(shù)分別為多少？0.25，0.75，1.25，1.75，2.25，2.75，3.25，3.75，4.25.

.思考6：根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，將頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積相加，就是樣本數(shù)據(jù)的估值平均數(shù).由此估計(jì)總體的平均數(shù)是什么？0.25×0.04+0.75×0.08+1.25×0.15+1.75×0.22+2.25×0.25+2.75×0.14+3.25×0.06+3.75×0.04+4.25×0.02=2.02（t）.

平均數(shù)是2.02.平均數(shù)與中位數(shù)相等，是必然還是巧合？.思考7：從樣本數(shù)據(jù)可知，該樣本的眾數(shù)是2.3，中位數(shù)是2.0，平均數(shù)是1.973，這與我們從樣本頻率分布直方圖得出的結(jié)論有偏差，你能解釋一下原因嗎？

頻率分布直方圖損失了一些樣本數(shù)據(jù)，得到的是一個(gè)估計(jì)值，且所得估值與數(shù)據(jù)分組有關(guān).注:在只有樣本頻率分布直方圖的情況下，我們可以按上述方法估計(jì)眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)，并由此估計(jì)總體特征..如何根據(jù)樣本頻率分布直方圖，分別估計(jì)總體的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)？（1）眾數(shù)：最高矩形下端中點(diǎn)的橫坐標(biāo).（2）中位數(shù)：直方圖面積平分線與橫軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（3）平均數(shù)：每個(gè)小矩形的面積與小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)的乘積之和.......例2

某工廠研制甲、乙兩種電燈泡．為了比較這兩種電燈泡的平均使用壽命，從兩種電燈泡中各抽取了20個(gè)進(jìn)行使用壽命試驗(yàn)，得到如下數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）：燈泡甲：

16101590154016501450165015701630169017201520144015001510154014001420153015201510燈泡乙：

16701610155014901430161015301430141015801520144015001510154014001420153015201510根據(jù)上述兩個(gè)樣本，能對(duì)兩種燈泡的平均使用壽命作出什么估計(jì)？.解：甲、乙兩種燈泡的樣本平均數(shù)分別是：甲種燈泡比乙種燈泡的平均使用壽命長(zhǎng)一些.由＞可以估計(jì)：.思考：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)一般不受少數(shù)幾個(gè)極端值的影響，這在某些情況下是一個(gè)優(yōu)點(diǎn)，但它對(duì)極端值的不敏感有時(shí)也會(huì)額成為缺點(diǎn)，你能舉例說(shuō)明嗎？樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)說(shuō)明什么問題？你怎樣理解“我們單位的收入水平比別的單位高”這句話的含義?？..小張通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)表中工資的平均數(shù)恰為并沒有錯(cuò).但這個(gè)問題中總體的平均數(shù)能客觀反映工人工資的水平嗎？在此問題中，計(jì)算平均數(shù)的式子可以寫為一般地如取值為的頻率分別為，則其平均數(shù)為.如：樣本數(shù)據(jù)收集有個(gè)別差錯(cuò)不影響中位數(shù)；大學(xué)畢業(yè)生憑工資中位數(shù)找單位可能收入較低.

平均數(shù)大于（或小于）中位數(shù)，說(shuō)明樣本數(shù)據(jù)中存在許多較大（或較?。┑臉O端值.

這句話具有模糊性甚至蒙騙性，其中收入水平是員工工資的某個(gè)中心點(diǎn)，它可以是眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)....解法3:還可以用中位數(shù)進(jìn)行估計(jì)平均數(shù)..1.若M個(gè)數(shù)的平均數(shù)是X,N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是Y,則M+N個(gè)數(shù)的平均數(shù)是___________，．，；

和和的樣本平均數(shù)分別是，那么一組數(shù)的平均數(shù)是

2.如果兩組數(shù).小結(jié)：1．能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣