《電路》邱關(guān)源g(第五版)第14章

第14章線性動態(tài)電路的復(fù)頻域分析14.1拉普拉斯變換的定義14.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)14.3拉普拉斯反變換的部分分式展開14.4運算電路14.5用拉普拉斯變換法分析線性電路14.6網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義14.7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點14.8極點、零點與沖激響應(yīng)14.9極點、零點與頻率響應(yīng)首頁本章重點重點

(1)拉普拉斯變換的基本原理和性質(zhì)

(2)掌握用拉普拉斯變換分析線性電路的方法和步驟(3)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的概念(4)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點返回拉氏變換法是一種數(shù)學(xué)積分變換，其核心是把時間函數(shù)f(t)與復(fù)變函數(shù)F(s)聯(lián)系起來，把時域問題通過數(shù)學(xué)變換為復(fù)頻域問題，把時域的高階微分方程變換為頻域的代數(shù)方程以便求解。應(yīng)用拉氏變換進(jìn)行電路分析稱為電路的復(fù)頻域分析法，又稱運算法。14.1

拉普拉斯變換的定義1.拉氏變換法下頁上頁返回例一些常用的變換對數(shù)變換乘法運算變換為加法運算相量法時域的正弦運算變換為復(fù)數(shù)運算拉氏變換F(s)(頻域象函數(shù))對應(yīng)f(t)(時域原函數(shù))下頁上頁返回2.拉氏變換的定義定義[0,∞)區(qū)間函數(shù)

f(t)的拉普拉斯變換式：正變換反變換s

復(fù)頻率下頁上頁返回積分下限從0

開始，稱為0

拉氏變換。積分下限從0+

開始，稱為0

+

拉氏變換。積分域注意今后討論的均為0

拉氏變換。[0,0＋]區(qū)間

f(t)=(t)時此項

0象函數(shù)F(s)

存在的條件：下頁上頁返回如果存在有限常數(shù)M和c

使函數(shù)f(t)

滿足：則f(t)的拉氏變換式F(s)總存在，因為總可以找到一個合適的s

值使上式積分為有限值。下頁上頁象函數(shù)F(s)

用大寫字母表示,如I(s)，U(s)原函數(shù)f(t)

用小寫字母表示，如i(t),

u(t)返回3.典型函數(shù)的拉氏變換(1)單位階躍函數(shù)的象函數(shù)下頁上頁返回(3)指數(shù)函數(shù)的象函數(shù)(2)單位沖激函數(shù)的象函數(shù)下頁上頁返回14.2拉普拉斯變換的基本性質(zhì)1.線性性質(zhì)下頁上頁證返回例1解例2解根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)，求函數(shù)與常數(shù)相乘及幾個函數(shù)相加減的象函數(shù)時，可以先求各函數(shù)的象函數(shù)再進(jìn)行相乘及加減計算。下頁上頁結(jié)論返回2.微分性質(zhì)下頁上頁證若足夠大0返回例解下頁上頁利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)求下列函數(shù)的象函數(shù)返回推廣：解下頁上頁返回下頁上頁3.積分性質(zhì)證應(yīng)用微分性質(zhì)0返回下頁上頁例解返回4.延遲性質(zhì)下頁上頁證返回例1求矩形脈沖的象函數(shù)解根據(jù)延遲性質(zhì)下頁上頁1Ttf(t)o返回求周期函數(shù)的拉氏變換設(shè)f1(t)為一個周期的函數(shù)例2解下頁上頁...tf(t)1T/2To返回下頁上頁對于本題脈沖序列返回14.3拉普拉斯反變換的部分分式展開用拉氏變換求解線性電路的時域響應(yīng)時，需要把求得的響應(yīng)的拉氏變換式反變換為時間函數(shù)。由象函數(shù)求原函數(shù)的方法：(1)利用公式(2)對簡單形式的F(s)可以查拉氏變換表得原函數(shù)下頁上頁(3)把F(s)分解為簡單項的組合部分分式展開法返回利用部分分式可將F(s)分解為：下頁上頁象函數(shù)的一般形式待定常數(shù)討論返回待定常數(shù)的確定：方法1下頁上頁方法2求極限的方法令s=p1返回下頁上頁例解法1返回解法2下頁上頁原函數(shù)的一般形式返回下頁上頁K1、K2也是一對共軛復(fù)數(shù)注意返回下頁上頁返回例解下頁上頁返回下頁上頁返回例解下頁上頁返回

n=m

時將F(s)化成真分式和多項式之和由F(s)求f(t)

的步驟：求真分式分母的根，將真分式展開成部分分式求各部分分式的系數(shù)

對每個部分分式和多項式逐項求拉氏反變換下頁上頁小結(jié)返回例解下頁上頁返回14.4運算電路基爾霍夫定律的時域表示：1.基爾霍夫定律的運算形式下頁上頁根據(jù)拉氏變換的線性性質(zhì)得KCL、KVL的運算形式對任一結(jié)點對任一回路返回u=Ri2.電路元件的運算形式電阻R的運算形式取拉氏變換電阻的運算電路下頁上頁uR(t)i(t)R+-時域形式：R+-返回電感L的運算形式取拉氏變換,由微分性質(zhì)得L的運算電路下頁上頁i(t)+

u(t)

-L+

-sLU(s)I(s)+-時域形式：sL+U(s)I(s)

-返回電容C的運算形式C的運算電路下頁上頁i(t)+

u(t)

-C時域形式：取拉氏變換,由積分性質(zhì)得+

-1/sCU(s)I(s)-+1/sCCu(0-)+U(s)I(s)

-返回耦合電感的運算形式下頁上頁i1**L1L2+_u1+_u2i2M時域形式：取拉氏變換,由微分性質(zhì)得互感運算阻抗返回耦合電感的運算電路下頁上頁+-+sL2+sM++sL1-----+返回受控源的運算形式受控源的運算電路下頁上頁時域形式：取拉氏變換b

i1+_u2i2_u1i1+R+__+R返回3.RLC串聯(lián)電路的運算形式下頁上頁u(t)RC-+iLU(s)R1/sC-+sLI(s)時域電路拉氏變換運算電路運算阻抗返回下頁上頁運算形式的歐姆定律u(t)RC-+iL+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)拉氏變換返回下頁上頁+-U(s)R1/sC-+sLI(s)+-Li(0-)返回電壓、電流用象函數(shù)形式；

元件用運算阻抗或運算導(dǎo)納表示；電容電壓和電感電流初始值用附加電源表示。下頁上頁電路的運算形式小結(jié)例給出圖示電路的運算電路模型。1F100.5H50V+-uC+-iL51020解t=0時開關(guān)打開uc(0-)=25ViL(0-)=5A時域電路返回注意附加電源下頁上頁1F100.5H50V+-uC+-iL51020200.5s-++-1/s25/s2.5V5IL(s)UC(s)t>0

運算電路返回14.5應(yīng)用拉普拉斯變換法分析線性電路由換路前的電路計算uc(0-),iL(0-)

；畫運算電路模型，注意運算阻抗的表示和附加電源的作用；應(yīng)用前面各章介紹的各種計算方法求象函數(shù)；反變換求原函數(shù)。下頁上頁1.運算法的計算步驟返回例1(2)

畫運算電路解(1)

計算初值下頁上頁電路原處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)閉合，試用運算法求電流i(t)。1V1H11Fi+-11/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回(3)

應(yīng)用回路電流法下頁上頁1/ss11/sI(s)+-1+-uC(0-)/s返回下頁上頁(4)反變換求原函數(shù)返回下頁上頁例2，求uC(t)、iC(t)。圖示電路RC+ucis解畫運算電路1/sC+Uc(s)R返回下頁上頁1/sC+Uc(s)R返回t=0時打開開關(guān)

,求電感電流和電壓。例3下頁上頁解計算初值+-i10.3H0.1H10V23i2畫運算電路10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回下頁上頁10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23注意返回UL1(s)下頁上頁10/s0.3s1.5V0.1sI1(s)+-+-23返回3.75ti1520下頁上頁uL1-6.56t-0.375(t)00.375(t)uL2t-2.190返回下頁上頁注意由于拉氏變換中用0-初始條件，躍變情況自動包含在響應(yīng)中，故不需先求t=0+時的躍變值。兩個電感電壓中的沖擊部分大小相同而方向相反，故整個回路中無沖擊電壓。滿足磁鏈?zhǔn)睾?。返回下頁上頁返?4.6網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的定義1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H（s）的定義線性時不變網(wǎng)絡(luò)在單一電源激勵下，其零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵的像函數(shù)之比定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。下頁上頁返回

零狀態(tài)電路在單一電源作用下，其響應(yīng)r(t)的象函數(shù)R(s)與激勵e(t)的象函數(shù)E(s)之比，定義為該電路的網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)。

)()()(SESRsH=零狀態(tài)e(t)r(t)E(s)R(s)由于激勵E(s)可以是電壓源或電流源，響應(yīng)R(s)可以是電壓或電流，故s域網(wǎng)絡(luò)函數(shù)可以是驅(qū)動點阻抗（導(dǎo)納），轉(zhuǎn)移阻抗（導(dǎo)納），電壓轉(zhuǎn)移函數(shù)或電流轉(zhuǎn)移函數(shù)。下頁上頁注意返回1.策動點函數(shù)（驅(qū)動點函數(shù)）策動點阻抗策動點導(dǎo)納2.轉(zhuǎn)移函數(shù)(傳遞函數(shù))轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗轉(zhuǎn)移電壓比轉(zhuǎn)移電流比U2(s)零狀態(tài)無源網(wǎng)絡(luò)I2(s)U1(s)I1(s)零狀態(tài)無源網(wǎng)絡(luò)U(s)I(s)*網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的具體形式下頁上頁注意若E(s)=1，響應(yīng)R(s)=H(s)，即網(wǎng)絡(luò)函數(shù)是該響應(yīng)的像函數(shù)。網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)是電路的沖激響應(yīng)h(t)。返回意義:若e(t)=(t),E(s)

=1，則R(s)=H(s)即：對于零狀態(tài)下的電路，其網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的原函數(shù)為此電路的沖激響應(yīng)。)(th)(L1sH-=)(L1sR-=零狀態(tài)(t)h(t)e(t)r(t)例下頁上頁1/4F2H2i(t)u1++--u21解畫運算電路返回2.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的應(yīng)用由網(wǎng)絡(luò)函數(shù)求取任意激勵的零狀態(tài)響應(yīng)下頁上頁I1(s)4/s2sI(s)U1(s)U2(s)2++--1返回例下頁上頁解畫運算電路電路激勵為，求沖激響應(yīng)GC+ucissC+Uc(s)G返回下頁上頁3.應(yīng)用卷積定理求電路響應(yīng)結(jié)論可以通過求網(wǎng)絡(luò)函數(shù)H(s)與任意激勵的象函數(shù)E(s)之積的拉氏反變換求得該網(wǎng)絡(luò)在任何激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)。

返回K1=3,K2=-3例解下頁上頁圖示電路

，沖激響應(yīng)，求uC(t)。線性無源電阻網(wǎng)絡(luò)+-usCuc+-返回14.7網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的極點和零點1.極點和零點下頁上頁當(dāng)

s=zi

時，H(s)=0，

稱

zi

為零點，zi

為重根，稱為重零點；當(dāng)

s=pj

時，H(s)∞，

稱

pj

為極點，pj

為重根，稱為重極點；返回2.復(fù)平面（或s平面）在復(fù)平面上把H(s)的極點用‘’表示，零點用‘o’表示。零、極點分布圖下頁上頁zi

，

Pj

為復(fù)數(shù)joo返回例繪出其極零點圖。解下頁上頁返回下頁上頁24-1jooo返回14.8極點、零點與沖激響應(yīng)零狀態(tài)e(t)r(t)激勵響應(yīng)下頁上頁1.網(wǎng)絡(luò)函數(shù)與沖激響應(yīng)零狀態(tài)δ(t)h(t)

1R(s)沖激響應(yīng)H(s)和沖激響應(yīng)構(gòu)成一對拉氏變換對。結(jié)論返回H0=-10例已知網(wǎng)絡(luò)函數(shù)有兩個極點為s=0、s=-1，一個單零點為s=1，且有，求H(s)和h(t)解由已知的零、極點得：下頁上頁返回下頁上頁2.極點、零點與沖激響應(yīng)若網(wǎng)絡(luò)函數(shù)為真分式且分母具有單根，則網(wǎng)絡(luò)的沖激響應(yīng)為：討論當(dāng)pi為負(fù)實根時，h(t)為衰減的指數(shù)函數(shù)，當(dāng)pi為正實根時，h(t)為增長的指數(shù)函數(shù)；極點位置不同，響應(yīng)性質(zhì)不同，極點反映網(wǎng)絡(luò)響應(yīng)動態(tài)過程中自由分量的變化規(guī)律。注意返回下頁上頁jo不穩(wěn)定電路穩(wěn)定電路返回下頁上