高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁高一下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．已知向量，，且與共線，則（

）A． B． C．1 D．22．已知在三角形中，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．設(shè)的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，，，則邊（

）A．2 B． C． D．14．已知復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A． B． C．2 D．5．已知袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球，現(xiàn)從中有放回地摸球8次（每次摸出一個球，放回后再進(jìn)行下一次摸球），規(guī)定每次摸出紅球計3分，摸出白球計0分，記隨機(jī)變量表示摸球8次后的總分值，則（

）A．8 B． C． D．166．如圖所示是水平放置的的直觀圖，軸，，則是A．直角三角形 B．等腰三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形7．如圖，長方體中，，，那么異面直線與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．8．《九章算術(shù)》中將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（

）A． B． C． D．二、多選題9．某籃球運動員在最近幾次參加的比賽中的投籃情況如下表：投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球的次數(shù)1005518記該籃球運動員在一次投籃中，投中兩分球為事件A，投中三分球為事件B，沒投中為事件C，用頻率估計概率的方法，得到的下述結(jié)論中，正確的是（

）A． B．C． D．10．如圖，在棱長均相等的正四棱錐中，M、N分別為側(cè)棱、的中點，O是底面四邊形對角線的交點，下列結(jié)論正確的有（

）A．平面 B．平面平面C． D．平面11．為了解某地高一學(xué)生的期末考試語文成績，研究人員隨機(jī)抽取了100名學(xué)生對其進(jìn)行調(diào)查，根據(jù)所得數(shù)據(jù)制成如圖所示的頻率分布直方圖（各組區(qū)間均為左閉右開），已知不低于90分為及格，則（

）A．B．這100名學(xué)生期末考試語文成績的及格率為C．D．這100名學(xué)生期末考試語文成績的及格率為12．下列說法錯誤的有（

）A．如果非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同B．在中，必有C．若，則A，B，C一定為一個三角形的三個頂點D．向量的夾角為，，則三、填空題13．已知平面向量，若向量在向量方向上的投影為，向量在向量方向上的投影為，且，則__________．14．如圖，在一個圓柱內(nèi)挖去一個圓錐，圓錐的頂點是圓柱底面的圓心，圓錐的底面是圓柱的另一個底面.若圓柱的母線長為6，底面半徑為2，則該組合體的表面積等于_____.

15．如圖，在四棱錐中，四個側(cè)面都是頂角為的等腰三角形，側(cè)棱長均為分別是上的點，則四邊形周長的最小值為__________．16．定義一個同學(xué)數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)5次數(shù)學(xué)考試成績均不低于120分（滿分150分）”.現(xiàn)有甲?乙?丙三位同學(xué)連續(xù)5次數(shù)學(xué)考試成績的數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)都是正整數(shù)）的描述：①甲同學(xué)的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為128；②乙同學(xué)的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為121；③丙同學(xué)的5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)為125，極差為10，總體均值為125.則數(shù)學(xué)成績一定優(yōu)秀的同學(xué)是___________.四、解答題17．已知向量、的夾角為，且，（1）求的值；（2）求與的夾角的余弦.18．已知某區(qū)、兩所初級中學(xué)的初一年級在校學(xué)生人數(shù)之比為，該區(qū)教育局為了解雙減政策的落實情況，用分層抽樣的方法在、兩校初一年級在校學(xué)生中共抽取了名學(xué)生，調(diào)查了他們課下做作業(yè)的時間，并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了如下頻率分布直方圖：(1)在抽取的名學(xué)生中，、兩所學(xué)校各抽取的人數(shù)是多少？(2)該區(qū)教育局想了解學(xué)生做作業(yè)時間的平均時長（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）和做作業(yè)時長超過小時的學(xué)生比例，請根據(jù)頻率分布直方圖，估計這兩個數(shù)值；(3)另據(jù)調(diào)查，這人中做作業(yè)時間超過小時的人中的人來自中學(xué)，根據(jù)已知條件填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時間超過小時”與“學(xué)?！庇嘘P(guān)？做作業(yè)時間超過小時做作業(yè)時間不超過小時合計校校合計附表：附：.19．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求B；(2)若，求△ABC的面積的最大值．20．如圖，已知在長方體中，，，點E是的中點.(1)求證：平面EBD；(2)求三棱錐的體積.21．在中國共產(chǎn)主義青年團(tuán)成立100周年之際，某校舉辦了“強(qiáng)國有我，挑戰(zhàn)答題”的知識競賽活動，已知甲、乙兩隊參加，每隊3人，每人回答且僅回答一個問題，答對者為本隊贏得1分，答錯得0分.假設(shè)甲隊中3人答對的概率分別為，，，乙隊中每人答對的概率均為，且各人回答問題正確與否互不影響.(1)分別求甲隊總得分為1分和2分的概率；(2)求活動結(jié)束后，甲、乙兩隊共得4分的概率.22．一個四棱錐木塊如圖所示，點O在△PBC內(nèi)，過點O將木塊鋸開，使截面平行于直線PC和AB，請作出截面，即畫出截面與木塊表面相交的每條線段，并說明作法及理由．參考答案：1．A【分析】計算和的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示列方程即可求解.【詳解】因為，，所以．，因為與共線，所以，解得：，故選：A.2．A【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到的取值范圍，再利用余弦定理表示出，最后根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以，即，解得，由余弦定理，所以，因為，所以，所以，即；故選：A3．D【分析】求出三角形的三個內(nèi)角，然后由正弦定理得結(jié)論．【詳解】因為且，所以，．又，由正弦定理，得，即，解得．故選：D．4．A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算，以及復(fù)數(shù)的模運算，即可求解.【詳解】解：，故,所以,故選：A5．D【分析】先利用古典概型概率計算公式求出從袋中隨機(jī)取出一球，該球為紅球的概率，然后利用二項分布的方差計算公式得到有放回地摸球8次摸到紅球的個數(shù)的方差，因為，利用方差的性質(zhì)即可得到答案【詳解】由題意，袋子中有除顏色外完全相同的4個紅球和8個白球，從袋中隨機(jī)取出一個球，該球為紅球的概率為，現(xiàn)從中有放回地摸球8次，每次摸球的結(jié)果不會相互影響，表示做了8次獨立重復(fù)試驗，用表示取到紅球的個數(shù)，則故：又因為根據(jù)方差的性質(zhì)可得：故選：D6．A【分析】由直觀圖得到∠BAC=90°，且AB≠AC，所以△ABC是直角三角形.【詳解】因為軸，所以∠BAC=90°，因為，直觀圖中與軸平行的線段是原長度的與軸平行的線段與原長度相等，所以AB≠AC.所以△ABC是直角三角形.故選A【點睛】本題主要考查斜二測畫法和直觀圖，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.7．A【分析】連接，則異面直線與所成角，然后在中求解即可【詳解】連接，則異面直線與所成角，設(shè)，因為，，所以，所以，，，所以由余弦定理得，因為，所以，所以異面直線與所成角的正弦值是，故選：A8．B【分析】先分析出三棱錐的外接球就是一個長方體的外接球，直接求出長方體的外接球的半徑為R，求出球的表面積.【詳解】將三棱錐放在一個長方體中，如圖示：則三棱錐的外接球就是一個長方體的外接球，因為，，為直角三角形，所以.設(shè)長方體的外接球的半徑為R，則，故.所以外接球的表面積為.故選：B.【點睛】多面體的外接球問題解題關(guān)鍵是找球心和半徑，求半徑的方法有：(1)公式法；(2)多面體幾何性質(zhì)法；(3)補(bǔ)形法；(4)尋求軸截面圓半徑法；(5)確定球心位置法．9．ABC【分析】求出事件A，B的頻率即得對應(yīng)概率，再用互斥事件的加法公式計算，然后逐一判斷得解.【詳解】依題意，，，顯然事件A，B互斥，，事件B，C互斥，則，于是得選項A，B，C都正確，選項D不正確.故選：ABC10．ABC【分析】A選項，由中位線證明線線平行，推導(dǎo)出線面平行；B選項，在A選項的基礎(chǔ)上證明面面平行；從而推導(dǎo)出D錯誤；由勾股定理的逆定理得到，從而得到.【詳解】因為O為底面四邊形對角線的交點，所以O(shè)為的中點，由M是的中點，可得，因為在平面，平面，所以平面，A正確；同理可推得平面，而，所以平面平面，B正確；因為平面，故不可能垂直平面，D錯誤；設(shè)該正四棱錐的棱長為a，則，所以，因為，所以，C正確.故選ABC．11．AD【分析】根據(jù)直方圖的規(guī)則，先算出a，再根據(jù)直方圖算出及格率.【詳解】依題意可得：20a=1-20×（0.006+0.008+0.014+0.02）=0.04，即a=0.002；及格率為1-20×（0.006+0.014）=0.6=60%；故選：AD.12．AC【分析】直接利用向量的線性運算，向量的夾角運算，三角形法則，向量的模的求法判斷A、B、C、D的結(jié)論．【詳解】解：對于A：非零向量與的方向相同或相反，那么的方向必與或的方向相同或為零向量，故A錯誤；對于B：在中，必有，故B正確；對于C：若，則，B，C一定為一個三角形的三個頂點，或A、B、C三點共線時，也成立，故C錯誤；對于D：，故D正確.故選：AC．13．【分析】設(shè)的夾角為，向量在向量方向上的投影為，求得，由向量在向量方向上的投影為，求得，利用，即可求解.【詳解】設(shè)的夾角為，因為向量在向量方向上的投影為，所以，因為，所以．因為向量在向量方向上的投影為，所以，所以，所以，所以.故答案為：．14．【分析】先求得挖去的圓錐的母線長,從而求得圓錐的側(cè)面積，再求圓柱的側(cè)面積和一個底面積，從而求得組合體的表面積.【詳解】挖去的圓錐的母線長為，則圓錐的側(cè)面積等于，圓柱的側(cè)面積為，圓柱的一個底面面積為，所以組合體的表面積為.故答案為：【點睛】本題考查了圓錐，圓柱的側(cè)面積的公式，組合體的表面積的理解，屬于容易題.15．【詳解】把四棱錐四個側(cè)面展開，分別是三角形PAB，三角形PBC，三角形PCD，三角形，，所以AE+EF+FG+的最小值為,在三角形中，PA==，，所以=故答案為點睛：找周長最小是側(cè)面展開的問題，棱錐的側(cè)面展開就是沿著一條側(cè)棱剪開，展開即可，最后化曲為直即為最小值，放在對應(yīng)的三角形里解決.16．乙【分析】根據(jù)中位數(shù)、均值、眾數(shù)、極差等概念，找出滿足條件的5個數(shù)，看最小的能否小于120即可判斷．【詳解】在①中，甲同學(xué)的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為125，總體均值為128，可以找到很多反例，如118，119，125，128，150，故甲同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不一定優(yōu)秀；在②中，乙同學(xué)的5個數(shù)據(jù)的中位數(shù)為127，眾數(shù)為121，所以前三個數(shù)為121，121，127，則后兩個數(shù)肯定大于127，故乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績一定優(yōu)秀；在③中，丙同學(xué)的5個數(shù)據(jù)的眾數(shù)為125，極差為10，總體均值為125，最大值與最小值的差為10，若最大值為129，則最小值為119.即119，125，125，127，129，故丙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績不一定優(yōu)秀.綜上，數(shù)學(xué)成績一定優(yōu)秀的同學(xué)只有乙.故答案為：乙．17．（1）（2）.【分析】（1）先求出的值，再開方即可求出的值；（2）設(shè)與的夾角為，由可以求出.【詳解】（1），；（2）設(shè)與的夾角為，，，故與的夾角的余弦.【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積，正確使用數(shù)量積的定義運算，對于，一般先平方，再開方進(jìn)行求解.18．(1)、兩校所抽取人數(shù)分別為、；(2)估計該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時間的平均時長為小時，該區(qū)有的學(xué)生做作業(yè)時長超過小時；(3)列聯(lián)表答案見解析，有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時間超過小時”與“學(xué)校”有關(guān).【分析】（1）設(shè)、兩校所抽取人數(shù)分別為、，根據(jù)已知條件列出關(guān)于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得解；（2）將頻率分布直方圖中每個矩形底邊的中點值乘以對應(yīng)矩形的面積，可得出該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時間的平均時長，計算出頻率直方圖中后三個矩形的面積之和，可得出該地區(qū)做作業(yè)時長超過小時的學(xué)生比例；（3）根據(jù)題中信息完善列聯(lián)表，計算出的觀測值，結(jié)合臨界值表可得出結(jié)論.(1)解：設(shè)、兩校所抽取人數(shù)分別為、，由已知可得，解得.(2)解：由直方圖可知，學(xué)生做作業(yè)的平均時長的估計值為（小時）.由，可知有的學(xué)生做作業(yè)時長超過小時.綜上，估計該區(qū)學(xué)生做作業(yè)時間的平均時長為小時，該區(qū)有的學(xué)生做作業(yè)時長超過3小時.(3)解：由（2）可知，有（人）做作業(yè)時間超過3小時.故填表如下（單位：人）：做作業(yè)時間超過小時做作業(yè)時間不超過小時合計校校合計，所以有的把握認(rèn)為“做作業(yè)時間超過小時”與“學(xué)?！庇嘘P(guān).19．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化邊為角，然后利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡計算可求出角B；（2）由余弦定理可得，再利用基本不等式可求出，從而可求出的面積的最大值(1)因為，由正弦定理得：，即，因為，，所以結(jié)合得(2)若，，由余弦定理得注意到，，由均值不等式，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，于是，故的面積的最大值．20．(1)證明見解析(2)1【分析】（1），證明，然后由線面平行的判定定理可得線面平行；（2）用換底法求三棱錐的的體積．（1）因為四邊形ABCD為矩形，且，則O為AC的中點，又因為E為的中點，則，∵平面EBD，平面EBD，因此，平面EBD；（2）在長方體中，平面，因此，.21．(1)甲隊總得分為分的概率為，分的概率為；(2)【分析】（1）利用相互獨立事件和互斥事件的概率公式計算可得；（2）首先求出活動結(jié)束甲、乙兩隊得分及所對應(yīng)的概率，再利用相互獨立事件和互斥事件的概率公式計算可得；(1)解：依題意記甲隊總得分為分為事件，甲隊總得分為分為事件，則，，所以甲隊總得分為分的概率為，分的概率為；(2)解：依題意甲隊總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；乙隊總得分為分的概率為，得分的概率為，得分的概率為，得分的概率為；則活動結(jié)束后，甲、