專題29異面直線所成的角-教師版

典高數(shù)試解與式2018版考29：面線成角【考綱要求】1.能用向量方法解決直線與直線直線與平面、平面與平面的夾角的計算問.2.了解向量方法在研究立體幾何題中的應.【命題規(guī)律】異面直線的知識是高考的熱點問題，選擇、填空、解答題都有可能進行考.預計2018年高考對本知識的考查空間向量的應用，仍然是以簡單幾何體為載體解決線線問題．【型考題式（）間線直夾的題例【2017全國3卷理，為間中兩條互相垂直的線，等腰直角三角形的直角邊AC所在直線與a

，

都垂直，斜邊

以直線

為旋轉軸旋轉，有下列結論：①當直線與a成角，與角②當直線與a成角，與角③直線AB

與a

所稱角的最小值為

45

；④直線AB

與a

所稱角的最小值為；其中正確的________.（填寫有正確結論的編號）【答案】②③【解析】由題意知，，，AC三直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖．不妨設圖中所示正方體邊長為1故，AB2，邊AB直線AC為轉軸旋轉，則點持不變，點運軌跡是以為心，1為半徑的圓．以為坐標原點，以為

x

軸正方向，軸正方向，CA

為z軸正方向建立空間直角坐標系．則D(1,0,0)，A，直線

a

的方向單位向量

a

，

．點始坐標為

(0,1,0)

，

直線b的方向單位向量

(1,0,0)b．設B在運動過程中的坐標

B

，其中為CD的角，

[0,2π

．那么'

在運動過程中的向量AB

，

．當

與夾為即

，

2cos

cos

3

2

1．22因為cos

，所以cos

2．所以cos．2因為

π0,

．所以

=

，此時

與b夾角為60以正確，①錯誤．故填②③.【方法技巧歸納】求空間兩條直線的夾角，可以先考察兩條直線是否異面垂直，若垂直，則化為線面垂直問題或用平移法轉化為共面垂直，結合勾股定理加以證.一般情形，可通過平移后通過解斜三角形求兩條異面直線所成的.【變式例中條件兩直線的夾角浙文知面四邊形ABCD，AB=BC=3CD=1AD=

，∠ADC=90°.沿直線AC將ACD翻成△直線AC與BD'成角的余弦的最大值______.【答案】

66

【解析】試題分析：如圖，連接BD，設直線

AC

與

所成的角為

．O

是

的中點由知得6，

OB

為軸

OA

為軸過

O

與平面

垂直的直線為z軸，建立空間直角坐標系，則

6300)，B(,0,0)，C,0)作222于HD翻過程中始與垂，CH

CDCA

166

，則OH

63

，

3，因此D'(63

36

設∠DHD′=3030630則BD',,66

uur，平的單位向量為

n

，zD

HAx所以

,n

BD'BD'n

＝

，所以

cos

，cos得最6大值，為．6【變式二改編例題中結論，解態(tài)問題浙江嵊州市二?！吭谒睦庵鵅CD11

中，

AA

平面

AC1

底

ABCD

是邊長為

的正方形側棱

AA1的長為，

為側棱

BB1

上的動點（包括端點（）

A．對任意的

，

，存在點

，使得

DEC1B．當且僅當a，存在點，使得DEC11C．當且僅當a時存點E，得DEC11D．當且僅當

a

時，存在點

，使得

BDEC11【答案】（）面線夾例【全國2卷理知三棱柱

C中ABC120，，11BC1

，則異面直線

AB

1

與

BC1

所成角的余弦值為（）A．

B．

155

π152π152πC．

105

D．

【答案】【解析】M，N，P

分別為

，，BC中，則，夾角為MN和NP夾或其補角（異面線所成角為，知，NPBC，222作中Q則可知△為角三角形．PQ，

AC△，AC

AB

，

則MQ

7，則△MQP中MPMQ，22則△中

22PM2

22

.又異面線所成角為0，，余值為．故選C.25【方法技巧歸納1.利用向量法求異面直線所成角的步驟

222．注意向量法求異面直線所成與向量夾角的區(qū)別，尤其是取值范圍．【變式1編目條件和結，利用向量法求解東北師大附中、哈爾濱師大附中遼寧省實驗中學四模知四棱錐

ABCD

中，PAAB2,

分別是,的中點，則異面直線AE與所角余弦值為（）A.

B.

C.

1D.【答案】【解析】建立如圖所示空間直角坐標系，可知

.2,0

．則

2,

，則

cos,

BF

1121122

１６

．故本題答案選C．

【變式2編目條件和結，利用普通方法求解屆北省邢臺市高三上學期第二次月考】如圖，在四棱錐PABCD中PO面，

為線段

的中點，底面為菱形，PCa

則異面直線與PC所成角的正弦值）A.

5B.C.5

D.

【答案】【解析】如圖，

AC,DB面從DO，EO,DB所以DE4OD5sinDEO故，故選B.DE55

2

2

a

【數(shù)學思想】1.轉化與化歸的思想方法是數(shù)學最基本的思想方法，數(shù)學中一切問題的解當然包括解)都離不開轉化與化歸，數(shù)形結合思想體現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉化；函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了函數(shù)、方程、不等式間的相互轉化；分類討論思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉化，以上三種思想方法都是轉化與化歸思想的具體體現(xiàn)。各種變換方法、分析法、反證法、待定系數(shù)法、構造法等都是轉化的手段。所以說，轉化與化歸是數(shù)學思想方法的靈.2.轉包括等價轉化和非等價轉化，非等價轉化又分為強化轉化和弱化轉化等價轉化要求在轉化過程中的前因后果既是充分的又是必要的，這樣的轉化能保證轉化的結果仍為原問題所需要的結果，非等價轉化其過程則是充分的或必要的，這樣的轉化能給人帶來思維的啟迪，找到解決問題的突破口，非等價變形要對所得結論進行必要的修.非等價轉化（強化轉化和弱化轉化）在思維上帶有跳躍性，是難點，在壓軸題的解答中常常用到，一定要特別重視！3.轉化與化歸的原則（）悉化原則：將不熟悉和難解的問題轉化為熟知的易解的或已經(jīng)解決的問題；（）觀化原則：將抽象的問題轉化為具體的直觀的問題；（）單化原則：將復雜的問題轉化為簡單的問題，將一般性的問題轉化為直觀的特殊的問題；將實際問題轉化為數(shù)學問題，使問題便與解.（）難則反原則：若過正面問題難以解決，可考慮問題的反面，從問題的反面尋求突破的途徑；（）維度原則：將高維度問題轉化成低維度問4.轉化與化歸的基本類型（）正反、一般與特殊的轉；（）常與變量的轉化；（）數(shù)形的轉化；（）數(shù)各分支之間的轉化；（）相與不相等之間的轉化（）實問題與數(shù)學模型的轉.5．常見的轉化方法（）接轉化法：把原問題直接轉化為基本定理、基本公式或基本圖形問題；（換元法運“換元”把標準形式的方程不等式函數(shù)轉化為容易解決的基本問題；

（）數(shù)法：引進參數(shù)，使原問題的變換具有靈活性，易于轉化；（）造法：“構造”一個合適的數(shù)學模型，把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題；（坐標法以標系為工具用數(shù)方法解決解析幾何問題是化方法的一種重要途徑；（）比法：運用類比推理，猜測問題的結論，易于確定轉化的途徑；（）殊化方法：把原問題的形式向特殊化形式轉化，并證明特殊化后的結論適合原問題；（）般化方法：若原問題是某個一般化形式問題的特殊形式且有較難解決，可將問題通過一般化的途徑進行轉化；（）價問題法：把原問題轉化為一個易于解決的等價命題，達到轉化目的；（）集法難反）若正面問題難以解決，可將問題的結果看作集合，而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集，通過解決全集U及集獲得原問題的解.立體幾何中的轉化與化歸，主要利用直接轉化法或坐標法，將空間問題轉化成平面問題、將幾何問題轉化成代數(shù)問題加以解.【間的圍理誤意】解決此類問題，要注意各種空間角的給定范圍，容易在范圍上出現(xiàn)問.【例題練1屆河省武邑中學五模】正四面體ABCD中，M是AD的中，是點底面BCD內(nèi)射影，則異面直線BM與AO所角的余弦值為（）

在A.

2B.C.D.5【答案】【解析】6如圖，設正四面體的棱長是1，則BM，高AO2

，設點M在

底面內(nèi)的射影是N，MN

，所以BMN即所求異面直線所成角則NM2cosBM

，應選答案B。2屆南省六市高三下期第二次聯(lián)考】如圖，

G

，

，M，

分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示

GH

，

MN

是異面直線的圖形的序號為（）A.①②B.③④C.①③D.②④【答案】3屆川省廣元市高三第三次高考適應性統(tǒng)考于面體

,有以下命題①若

,則點

在底面

內(nèi)的射影是

的外心；②若,

,則

在底面

內(nèi)的射影是

的內(nèi)心；③四面體的四個面中最多有四個直角三角形若四面體表面積為.其中正確的命題是A.①B.③④C.①②D.【答案】

的6條長都為1,則它的內(nèi)切的

2222【解析】由題設

，故頂點

在底面內(nèi)的射影是底面中心，故命題①是正確的；四面體中的四個面中最多有四個直角三角形，如圖，故命題③是正確的；對于命題②，如圖，盡管,,點

在底面

內(nèi)的射影不是

的內(nèi)心，即命題②是錯誤的；33若四面體的6條都為1，則它體積V432

，又設內(nèi)切球的半徑為r

則

2V12

則

S

即命題④也是正確的。應選答案D4屆西省臨汾市高三前適應性訓練】已知平，及直線a,b（）

下列說法正確的是A.若線,b

與平面所成角都是30

，則這兩條直線平行B.若線,b與面所成角都是30，則這兩條直線不可能垂直C.若線a,b

平行，則這兩條直線中至少有一條與平平D.若線a,b垂，則這條直線與平面可能都垂直【答案】【解析】解：由題意逐一分析所給的選項：若直線b

與平面

所成角都是

，則這兩條直線不一定平行；若直線a,b

與平面所角都是

，則這兩條直線可能垂直；若直線a,b

平行，則這兩條直線中可能兩條都與平面

不平行；若直線a,b

垂直，則這兩條直線與平面不可能都垂直；本題選擇選項

5屆北省張家口市高三上學期期末考試棱柱

中，

為等邊三角形，平面，，，分是，A.B.C.D.

的中點

與

所成角的余弦值）【答案】【解析】三棱柱

中，

為等邊三角形，如圖：

的中點為，結

，則有，有

所四邊形

為平行四邊形所，在

或其補角即為所求不設則中，由余弦定理可得：，故選C.6屆吉林省百校聯(lián)盟高TOP20九聯(lián)考】如圖，在長方體

D1

中，AB，BB長方體外的一點點P作線l直線l與線，1

的夾角分別為，，1

1

2

件直l（）A.有1條B.有2條C.3條D.4條【答案】【解析】由題意有：

,,即：

sin

1

2

考與直線

AC,C111

所成的角相同的直線，其在平面

ADCB11

內(nèi)的射影應該平分

AC11

，這樣的直線只有1條同理其補角也存在1條滿題意的直線，這樣找到滿足題意的直線，同理，在處可以找到2條滿題意的直線；綜上可得：滿足條件的直線

l

有4條。本題選擇選項7屆西省西安市西北業(yè)大學附屬中學高三下學期第六次模擬】在正三棱柱AB中，AB2111

，則

與

BC1

所成角的大小為()A.

B.C.D.32【答案】【解析】以為原點,在平面ABC中過AC的線為軸以AC為y軸AA為z軸建空間直角坐標系如圖所示，設BB=

,則A(0,0,0),

B2C2AB

3,1,2,CB

1

，∴AB與CB所角的大小為本題選擇選項

.

8屆西省西安市長安第一中學高三月擬】如圖所示是一幾何體的三視圖，正視圖是一等腰直角三角形斜

長為2側視圖是一直角三角形視為一直角梯形，且

BC

，則異面直線所角的正切值是（）A.1B.

C.

D.

【答案】【解析】如圖，取

的中點E

，連接CE

，依題意得，

BE//

，所以PBE

為異面直線PB

與

CD

所成角，因為

PEBE

，所以

PE2BE2

，故選C.92017年福建泉州新世紀中模面體中，若

3

，

，

，則直線AB

與

CD

所成角的余弦值為（）A.

B.

11C.D.【答案】【解析】如圖所示，該四面體為長方體的個頂點，設長體的長寬高分別為b,

，則：a

2

2

a{224b

，解得：

{b2c3

，問題等價于求解線段AB與線段

'D'

夾角的余弦值，

結合邊長和余弦定理可得：直線AB

與

所成角的余弦值為

。本題選擇選項10屆四川省成都市高中業(yè)班第三次診斷檢測我古代數(shù)學名九算術中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑

中，

平面，且，則異面直線

與

所成角的余弦值為（）A.B.C.

D.【答案】【解析】由題意，可補形成正方體如下圖：

33所以異面直線

與

所成角就是

與

所以角，而

為直角三角形，所以所成角為，。選A.11屆西省孝義市高三學期考前熱身訓練方體

ABCD11

中AAAB2a1111

,點P

在線段

上運動當異面直線

與

BA1

所成的角最大時,則三棱錐

CD11

的體積為()A.

a3aa3B.C.432

D.

3【答案】【解析】如圖所示，連結CD，DCP為銳角，CP1