選修2-1-3.2立體幾何中的向量方法教案范文

課題3.2立體幾何中的量方法第76-79課時）（周三、周四、周五、周一；2010年元月6日、7日、8日、日）【教學(xué)標(biāo)】．在學(xué)習(xí)了方向向量的基礎(chǔ)上理解平面的法向量的概念，為進(jìn)一步運用打好基礎(chǔ)；．學(xué)會由直線的方向向量和平面的法向量的關(guān)系及向量的運算來判斷或證明直線、平面的位置系；．學(xué)會運用直線的方向向量、平面的法向量及向量的運算來解決關(guān)于直線、平面的夾角及距離問題（主要是關(guān)于角的問題）；．能初步利用向量知識解決相關(guān)的實際問題及綜合問題。【教學(xué)點】【教學(xué)點】【教學(xué)程】

向量運算在立體幾何證明與計算中的應(yīng)用．在運用向量知識解決立體幾何問題時的向量問題的轉(zhuǎn)化與恰當(dāng)?shù)倪\算方式．前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的基本知識，并利用空間向量初步解決了一些立體幾何問題，已初步感受到空間向量在解決立體幾何問題中的重要作用，并從中體會到了向量運算的強大作用。這一節(jié)，我們將全面地探究向量在立體幾何中的運用，較系統(tǒng)地總結(jié)出立體幾何的向量方法。為此，首先簡單回顧一下相關(guān)的基本知識和方法：．線l的方向的義．量特關(guān)及角最的空用標(biāo)示

（1a//b

；（2⊥

；（3aa=

；（4cos＜a,＞

。前面，我們主要是利用向量的運算解決了立體幾何中關(guān)于直線的問題，如：兩直線垂直問題；兩直線的夾角問題；特殊線段的長的問題等等……若再加入平面，會出現(xiàn)更多的的問題，如：線面、面面的位置關(guān)系問題；線面的夾角問題；二面角的問題等等……而且都是立體幾何中的重要問題，這些問題用向量的知識怎樣來解決呢？直線可由其方向向量確定并由其來解決相關(guān)的問題，平面又由怎樣的向量來確定呢？—這問就我將探或決主問…同學(xué)們都知道：垂直于同一條直線的兩個平面。由此我們應(yīng)該會想象出怎樣的向量可確定平面的方向了……下面請同學(xué)們合作探究一下這方面的知識和方法：（）平的向：。（）直、面幾重的置系充條：請同學(xué)們根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的幾何意義直觀地得出直線、平面的幾種特殊的位置關(guān)系的充要條件（用直線的方向向量或平面的法向量來表達(dá)）設(shè)直線l,的向向量分別為

a面，的法向量分別為

u，v

則：l

∥

；

l

⊥

；l

∥

；

l

⊥

∥；⊥

?！?/p>

小試牛】1．設(shè)直線l,的向向量分別為

a

，

，根據(jù)下列條件判斷直l,m的位置關(guān)系：

aaa

=（2，-1），=（1，2），b=（0，0），b

=（6，-3，-6；=（-2，32；=（0，0）。2．平面

的法向量分別為

u，v

，根據(jù)下列條件判平

置關(guān)系：

uuu

=（-2，2，），v=（1，2），v=（2v

=（6，-4，4；=（-2，-4，4；3．如圖，在正方體ABCDACD中，、分是BB、1111的中點，求證：D平．（你能用幾種方法呢？）

（）用量法明—面平平的定理【

定理】個面的兩相直與一平平，這個面行已：線

l,m和

平面

，ll與m交，l

∥

m∥證∥的法向量【分】據(jù)∥u∥v都是平

以只要證明∥v

即可需要證明u，v【證明直

l,m

的方向向量分別為

a

b

的法向量分別為

uv

，D11D11【點評量法解題“三步曲”：（1）化向量問題→（2進(jìn)行向量運算→（3翻譯向量運算結(jié)果，回到圖形問題.關(guān)于兩殊點間距離問題此類問題前面已經(jīng)接觸過，下面再來總結(jié)及拓展一下：問題

如圖一個結(jié)晶體的形狀為平行面,其中頂點A端點的三條棱長都相等,且它們彼此的夾角都是60°,么以這個頂點為端點的晶體的對角線的長與棱長有什么關(guān)系。【分析【解析

1

CA

D

BCA

B【點評到空間兩點間的距離問題，往往把兩點間的距離表示為以這兩點為起點和終點的向的。把向進(jìn)恰分解運向量

模滿的系式：?uu

來進(jìn)行針對性地運算和求解……【探究本題中平行六面體的另一條對角線的長與棱長有什么關(guān)?如果一個平行六面體的各棱長都相,并且以某一頂點為端點的各棱的夾角都是等于這個平行六面體的對角線長可以確定棱長?

,那么由3.本題的晶體相對的兩個面之間的距離是多?【分析顯然，第個問題問題.1似；第２個問題問題1逆向問題所列的式子應(yīng)該是一樣的，只不過未知數(shù)的位置不同……；第３個問題略有挑戰(zhàn)性，可把兩個面之間的距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離或點到面的距離——對于這個問題，同學(xué)們可在課后先探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié)……下面我們再來看一個問題.1逆向問題：問題.２圖，甲站在水庫底面上的點A處，乙站在水壩斜面上的點B。從A，B直線

l

（庫底與水壩的交線）的距離和BD分為和b的為c,的長為d。求庫底與水壩所成二面角余弦值。/8【分析如上面的分析，此題問題.1逆向問題，解決方法問題致……【解析

BCD

A【點評此可體會解決一類數(shù)學(xué)問題的方法，從而以靜制動，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識、法應(yīng)用的本質(zhì)。

方【探究

．題中如果AC和BD夾可以測出，而AB知，其他條件不變，可以計算出AB長嗎？．果已知一個四棱柱的各棱長和一條對角的長且以同一頂點為端點的各棱間的夾都相等，那么可以確定各棱之間夾角的余弦值嗎？．果已知一個四棱柱的各棱長都等于a，且以某一頂點為端點的各棱間的夾角都等，么可以確定這個四棱柱相鄰兩個夾角的余弦值嗎？【分析】然個問題又回到問題.1形式２個問題是問題.1逆向問題但第３個問題又是略有挑戰(zhàn)性，需要通過做輔助線構(gòu)出問.

２

的圖形模式……對于這個問題，同樣是同學(xué)們先課后探究一下，以后在進(jìn)行總結(jié)……關(guān)于直、平面的位關(guān)系的證及夾角問問題

如，在四棱錐—ABCD中底面ABCD是方形，側(cè)棱⊥底面ABCD，E是的點，作EF⊥PB交PB于點。求證：PA∥平面；求證：⊥面EFD求二面角－PBD的小?！痉治鲱}包括：判定直線與平面平行和垂直及計算二面角的大小——均可用向量方法來解決。題目中的

ＰＦＥＤＣ垂直條件非常適合建立空間直角坐標(biāo)系來表示向量?！窘馕?/p>

Ａ

Ｂ【點評此題涉及到的問題都是立體幾何中的重點問題。通過解決過程來看，若條件適合建立空間坐標(biāo)系系表示向量來解決問題還是較簡潔的——轉(zhuǎn)化為目標(biāo)明確的坐標(biāo)運算……(2)同學(xué)們可用傳統(tǒng)法（不用向量）解決一下，比較各自的特點，便于解決問題時能恰當(dāng)選擇方法——可大體上分為三種方法：傳統(tǒng)法；向量法；坐標(biāo)向量法。當(dāng)然也可把這三種方法結(jié)合起來使用……直線與平面所成的角怎樣用向量來解決呢？同學(xué)們可借助此題的背景來求直線PA與平PBC成角：關(guān)于點平面的距離題利用問題的條件（改為）求出點A平面PBC的離——總結(jié)出點到平面的距離的求法：/8關(guān)于實問題問題4.塊均勻的正三角形面的鋼板的質(zhì)量為在它的頂點處分別受力，，F(xiàn)，每個12力與同它相鄰的三角形的兩邊之間的角都是o，

FFF200kg2

，塊鋼板在這些力的作用下將怎樣運動？這三個力是多少時，才能提起這塊鋼板？【分析鋼板所受重力500

，

垂直向下作用在三角形的中心若能將各頂點處所受的力，，F(xiàn)用向量形式表示，求出合力，就能判斷鋼板的運動狀態(tài)。12【解析【點評題是力的合成問題，用向量將其表示，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量來表示……知線思方線題線1．）設(shè)平的法向量為(1,2,-2),平面法向量為(-2,-4,k),∥則k=；則k=。（2l的方向向量為(2,1,m),平的法向量為(1,

,2),l

⊥

則m=；若l∥

則m=.2．圖，已知線段AB在面，段AC，段⊥AB，線段DD，DBD'30，如果AB＝，＝＝，求CD間的距離．或一個矩形ABCD以BD為折成直二面角求A、C之的距離3（）如圖，空間四邊形BCD的每條邊和長都等于，點M,N分是CD的中點，求證：⊥ABMN⊥CDAMBNC（2）如圖，已知正方體ABCD——’CDC和CB相于點O,連結(jié)DO，求證：⊥C

DD

C’

’D

CA

B4.

如圖，、N分是棱長為1的方體C'D

的棱'

、'

的中點．求異面直線MN與CD

所成的角．5．

如圖，正方體ABCD——’B’D中，點EF別是BB，CD的點。求證：面AED面AF’D’

C’A’

B’D

F

C

6．

如圖，正方體ABCD——’B’D中，點EF,GH,KL分別是AB，B，B’C，D’，’D，棱的中點。求證：A’⊥平面EF