初中數(shù)學(xué)人教版九年級(jí)上冊(cè)第二十一章一元二次方程2解一元二次方程 全國(guó)公開課

21.2.1一元二次方程的解法------ 配方法第1課時(shí) 直接開平方法（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解形如的一元二次方程的解法——直接開平方法，能夠熟練而準(zhǔn)確的運(yùn)用開平方法求一元二次方程的解2．通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，知識(shí)遷移到解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程，體會(huì)由未知向已知轉(zhuǎn)化的思想方法．（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)運(yùn)用開平方法解形如（mx+n）2=p（p≥0）的方程．（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)通過根據(jù)平方根的意義解形如x2=n的方程，知識(shí)遷移到形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，理解一元二次方程“降次”──轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問題．課前預(yù)習(xí)1.方程x2﹣9=0的解是（）A．x=3B．x=9C．x=±3D．x=±92.如果x=﹣3是一元二次方程ax2=c的一個(gè)根，那么該方程的另一個(gè)根是（）A．3B．﹣3C．0D．13.方程（1﹣x）2=2的根是（）A．﹣1，3B．1，﹣3C．，D．，4.方程5y2﹣3=y2+3的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)是（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)5.方程x2=2的解是．（五）疑惑摘要：預(yù)習(xí)之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請(qǐng)記下來，課堂上我們共同探討．1、典型例題例1．解方程：（1）2x2﹣8=0；（2）（2x﹣3）2=25．例2．若關(guān)于x的一元二次方程x2﹣k=0有實(shí)數(shù)根，則（）A．k＜0B．k＞0C．k≥0D．k≤0例3．長(zhǎng)沙市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10m2提高到14.4m課后作業(yè)一、選擇題1.下列方程能用直接開平方法求解的是()+2=0 +1=0 C.(x-2)2=4 +4=22.一元二次方程(x+6)2=16可化為兩個(gè)一元一次方程，其中一個(gè)一元一次方程是x+6=4，則另一個(gè)一元一次方程是()=4 =-4 +6=4 +6=-4，x2是一元二次方程3(x-1)2=15的兩個(gè)解，且x1＜x2，下列說法正確的是()小于-1，x2大于3 小于-2，x2大于3，x2在-1和3之間 ，x2都小于34.關(guān)于x的一元二次方程2x2-3x-a2+1=0的一個(gè)根為2，則a的值為() B. D.±5.對(duì)形如(x+m)2=n的方程，下列說法正確的是()A.用直接開平方得x=-m± B.用直接開平方得x=-n±C.當(dāng)n≥0時(shí)，直接開平方得x=-m±D.當(dāng)n≥0時(shí)，直接開平方得x=-n±二、填空題6.若代數(shù)式(2x-1)2的值是25，則x的值為_______7.完成下面的解題過程：(1)解方程：2x2-8=0；解：原方程化成_______，開平方，得_______，則x1=_______，x2=_______.(2)解方程：3(x-1)2-6=0.解：原方程化成_______，開平方，得_______，則x1=______，x2=_______.8.若a為方程(x-)2=100的一根，b為方程(y-4)2=17的一根，且a，b都是正數(shù)，則a-b=.9.若一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是m+1與2m-4，則=_______.三、解答題10.用直接開平方法解下列方程：(1)x2-25=0；(2)4x2=1；(3)3(x+1)2=；(4)(3x+2)2=25.11.已知方程(x-1)2=k2+2的一個(gè)根是x=3，求k的值和另一個(gè)根.12．某工程隊(duì)再我市實(shí)施棚戶區(qū)改造過程中承包了一項(xiàng)拆遷工程。原計(jì)劃每天拆遷1250m2，因?yàn)闇?zhǔn)備工作不足，第一天少拆遷了20％.從第二天開始，該工程隊(duì)加快了拆遷速度，第三天拆遷了求：(1)該工程隊(duì)第一天拆遷的面積；(2)若該工程隊(duì)第二天、第三天每天的拆遷面積比前一天增加的百分?jǐn)?shù)相同，求這個(gè)百分?jǐn)?shù).四、拓展提高如圖所示，在長(zhǎng)和寬分別是m、n的矩形紙片的四個(gè)角都剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為x的正方形.(1)用m，n，x表示紙片剩余部分的面積；(2)當(dāng)m=12，n=4，且剪去部分的面積等于剩余部分的面積時(shí)，求正方形的邊長(zhǎng).21.2.1一元二次方程的解法------配方法第2課時(shí) 配方法（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．探索利用配方法解一元二次方程的一般步驟；能夠利用配方法解一元二次方程．2．在探索配方法時(shí)，使學(xué)生感受前后知識(shí)的聯(lián)系，體會(huì)配方的過程以及方法．（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1．用配方法解一元二次方程．2．正確理解把形的代數(shù)式配成完全平方式，不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧．（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)化歸思想的應(yīng)用（四）課前預(yù)習(xí)1.將二次三項(xiàng)式x2-4x+1配方后得（）．A．（x-2）2+3B．（x-2）2-3C．（x+2）2+3D．（x+2）2-32.若方程x2-mx+4=0的左邊是一個(gè)完全平方式，則m等于()A.±2 B.±4 3.若x2+6x+m2是一個(gè)完全平方式，則m的值是() B.-3 C.±3 D.以上都不對(duì)4.用適當(dāng)?shù)臄?shù)填空：(1)x2-4x+______=(x-______)2；(2)m2±______m+=(m±______)2.5.若將方程x2+6x=7化為(x+m)2=16，則m=______.6.用配方法解下列方程：(1)x2-4x-2=0; (2)2x2-3x-6=0； (3)x2+x-2=0.（五）疑惑摘要：預(yù)習(xí)之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請(qǐng)記下來，課堂上我們共同探討。典型例題例1、用配方法解方程：（1）x2﹣2x﹣24=0；（2）3x2+8x-3=0；（3）x（x+2）=120.例2、用配方法證明：二次三項(xiàng)式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．例3、已知代數(shù)式x2﹣2mx﹣m2+5m﹣5的最小值是﹣23，求m的值．課后作業(yè)一、選擇題1.一元二次方程x2﹣8x﹣1=0配方后為（）A．（x﹣4）2=17B．（x+4）2=15C．（x+4）2=17D．（x﹣4）2=17或（x+4）2=172.用配方法解方程x2-x+1=0，正確的是()A.(x-)2=1,x1=,x2=- B.（x-）2=，x=C.(x-)2=，原方程無實(shí)數(shù)解 D.(x-)2=，原方程無實(shí)數(shù)解3.若，那么p、q的值分別是（）=4，q=2=4，q=-2C.p=-4，q=2=-4，q=-24.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左邊是一個(gè)完全平方式，則m等于() 或6 或-6 或-6填空題5．用配方法解一元二次方程x2+6x-11=0，則方程可變形為．6.一元二次方程x2﹣6x+a=0，配方后為（x﹣3）2=1，則a=．7．當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式3x2﹣6x的值等于12．8.已知一元二次方程x2-6x+q=0可以配方成(x-p)2=7的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成．三、解答題9.用配方法解下列方程:(1)2x2+7x-4=0； (2)x2-2x-6=x-11；(3)x(x+4)=6x+12； (4)3(x-1)(x+2)=x-7.10.啦啦同學(xué)用配方法推導(dǎo)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式時(shí)，對(duì)于b2-4ac>0的情況，她是這樣做的：由于a≠0，方程ax2+bx+c=0變形為：x2+x=-ca,第一步x2+x+()2=-+()2，第二步(x+)2=，第三步x+=(b2-4ac>0)，第四步x=.第五步(1)啦啦的解法從第四步開始出現(xiàn)錯(cuò)誤；事實(shí)上，當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是x=______(2)用配方法解方程：x2-2x-24=0.11.若要用一根長(zhǎng)20厘米的鐵絲，折成一個(gè)面積為16平方厘米的矩形方框，則應(yīng)該怎樣折呢？12．閱讀下面的材料并解答后面的問題：小李：能求出x2+4x﹣3的最小值嗎？如果能，其最小值是多少？小華：能．求解過程如下：因?yàn)閤2+4x﹣3=x2+4x+4﹣4﹣3=（x2+4x+4）﹣（4+3）=（x+2）2﹣7而（x+2）2≥0，所以x2+4x﹣3的最小值是﹣7．問題：（1）小華的求解過程正確嗎？（2）你能否求出x2﹣3x+4的最小值？如果能，寫出你的求解過程．拓展提高通過對(duì)上述12題的練習(xí)，試回答：①當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣2（x﹣1）2+3有最（填寫大或小）值為．②當(dāng)x=時(shí)，代數(shù)式﹣x2+4x+3有最（填寫大或小）值為．③矩形花園的一面靠墻，另外三面的柵欄所圍成的總長(zhǎng)度是16m，當(dāng)花園與墻相鄰的邊長(zhǎng)為多少時(shí)，花園的面積最大？最大面積是多少？2.試說明：不論x，y取何值，代數(shù)式x2+4y2﹣2x+4y+5的值總是正數(shù)．你能求出當(dāng)x，y取何值時(shí)，這個(gè)代數(shù)式的值最小嗎？21.2.2一元二次方程的解法------公式法第1課時(shí) 公式法（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握一元二次方程求根公式的推導(dǎo)，會(huì)運(yùn)用公式法解一元二次方程．2、通過求根公式的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性及嚴(yán)謹(jǐn)性.通過公式的引入，培養(yǎng)學(xué)生尋求簡(jiǎn)便方法的探索精神及創(chuàng)新意識(shí)；通過求根公式的推導(dǎo)，滲透分類的思想．（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、求根公式的推導(dǎo)及用公式法解一元二次方程．2、對(duì)求根公式推導(dǎo)過程中依據(jù)的理論的深刻理解,掌握一元二次方程的求根公式，（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)求根公式的推導(dǎo)及應(yīng)用求根公式法解簡(jiǎn)單的一元二次方程．（四）課前預(yù)習(xí)1.一元二次方程的根的情況為（）A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D．沒有實(shí)數(shù)根2.若關(guān)于的一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．3.下列關(guān)于x的一元二次方程中，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根的方程是（）A．B．C．D．4.若關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____________.5.用公式法解下列方程（1）；（2）.（五）疑惑摘要：預(yù)習(xí)之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請(qǐng)記下來，課堂上我們共同探討.典型例題例1、已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，則該方程根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C.兩個(gè)根都是自然數(shù)D．無實(shí)數(shù)根例2、若關(guān)于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根，則c的值是（）A．﹣1B．1C．﹣4D．4例3、用公式法解下列一元二次方程：（1）x2+2x﹣2=0（2）y2﹣3y+1=0（3）x2+3=2x課后作業(yè)選擇題1．下列一元二次方程中，沒有實(shí)數(shù)根的是（）A．4x2﹣5x+2=0B．x2﹣6x+9=0C．5x2﹣4x﹣1=0D．3x2﹣4x+1=02．若關(guān)于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有實(shí)數(shù)根，則整數(shù)a的最大值為（）A．﹣1B．0C．1D．2等腰直角三角形邊長(zhǎng)分別為a，b，2，且a，b是關(guān)于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的兩根，則n的值為（）A．9B．10C．9或10D．8或104．有兩個(gè)一元二次方程M：ax2+bx+c=0；N：cx2+bx+a=0，其中a?c≠0，a≠c．下列四個(gè)結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A．如果方程M有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，那么方程N(yùn)也有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B．如果方程M的兩根符號(hào)相同，那么方程N(yùn)的兩根符號(hào)也相同C．如果5是方程M的一個(gè)根，那么是方程N(yùn)的一個(gè)根D．如果方程M和方程N(yùn)有一個(gè)相同的根，那么這個(gè)根必是x=15.如果關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是（）A．B．且C．D．且二、填空題6．用公式法解方程2x2﹣7x+1=0，其中b2﹣4ac=，x1=，x2=．7.定義：如果一元二次方程滿足，那么我們稱這個(gè)方程為“鳳凰”方程.已知是“鳳凰”方程，且有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則系數(shù)a,b,c之間滿足何種等量關(guān)系:．8．已知關(guān)于x的一元二次方程kx2－（2k+1）x+k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是．三、解答題9.用公式法解方程：(1)2x2﹣4x=5．(2)2x2﹣2x﹣5=0．(3)x（x）=4．10．已知關(guān)于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）當(dāng)該方程的一個(gè)根為1時(shí)，求a的值及方程的另一根．11．試證明：關(guān)于x的方程（a2－8a+20）x2+2ax+1=0，不論a取何值，該方程都是一元二次方程．四、拓展提高12．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1=0．（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）若x1、x2是原方程的兩根，且|x1﹣x2|=2，求m的值．13.解關(guān)于x的方程2x2+（3m－n）x－2m2+3mn－n221.2.3一元二次方程的解法------因式分解法（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1．應(yīng)用分解因式法解一些一元二次方程．2．能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法．體會(huì)“降次”化歸的思想.解決問題使學(xué)生知道分解因式法是一元二次方程解法中應(yīng)用較為廣泛的簡(jiǎn)便方法，它避免了復(fù)雜的計(jì)算，提高了解題速度和準(zhǔn)確程度．（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、應(yīng)用分解因式法解一元二次方程．2、靈活應(yīng)用各種分解因式的方法解一元二次方程，讓學(xué)生通過比較解一元二次方程的多種方法，感悟用因式分解法使解題簡(jiǎn)便．（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)十字相乘法解一元二次方程．課前預(yù)習(xí)1．方程（2x+1）（x-5）=0的解是_________2．方程2x（x-2）=3（x-2）的解是___________3．方程x（x+1）（x-2）=0的根是（）A．-1，2B．1，-2C．0，-1，2D．0，1，24．若關(guān)于x的一元二次方程的根分別為-5，7，則該方程可以為（）A．（x+5）（x-7）=0B．（x-5）（x+7）=0C．（x+5）（x+7）=0D．（x-5）（x-7）=05．已知方程4x2-3x=0，下列說法正確的是（）A．只有一個(gè)根x=B．只有一個(gè)根x=0C．有兩個(gè)根x1=0，x2=D．有兩個(gè)根x1=0，x2=-6．解方程2（5x-1）2=3（5x-1）的最適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ牵ǎ〢．直接開平方法B．配方法C．公式法D．分解因式法（五）疑惑摘要：預(yù)習(xí)之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請(qǐng)記下來，課堂上我們共同探討．典型例題例1、用因式分解法解方程：（1）2(2x－1)2=(1－2x)（2）4(y＋2)2=(y－3)2.例2、解方程（x﹣1）2﹣5（x﹣1）+4=0時(shí)，我們可以將x﹣1看成一個(gè)整體，設(shè)x﹣1=y，則原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)y=1時(shí)，即x﹣1=1，解得x=2；當(dāng)y=4時(shí)，即x﹣1=4，解得x=5，所以原方程的解為x1=2，x2=5．利用這種方法求方程（2x+5）2﹣4（2x+5）+3=0的解．例3、選擇適當(dāng)方法解下列方程：（1）x2﹣5x+1=0；（2）3（x﹣2）2=x（x﹣2）；（3）2x2﹣2x﹣5=0；（4）（y+2）2=（3y﹣1）2．課后作業(yè)一、選擇題1.方程5x(x+3)=3(x+3)的解為（）A.B.C.D.2.方程x2﹣2x=3可以化簡(jiǎn)為（）A．（x﹣3）（x+1）=0B．（x+3）（x﹣1）=0C．（x﹣1）2=2D．（x﹣1）2+4=03.下列方程中，不適合用因式分解法的是()A.B.C.D.4．實(shí)數(shù)a、b滿足（a+b）2+a+b-2=0，則（a+b）2的值為（）A．4B．1C．-2或1D．4或15.已知方程的一個(gè)根為-1，那么方程的根為()A.B.C.D.以上答案都不對(duì)二、填空題6.如果，則的值為__________________.7.以1和—3為兩根的一元二次方程是______________.8．解一元二次方程x2+2x﹣3=0時(shí)，可轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程，請(qǐng)寫出其中的一個(gè)一元一次方程．9．已知y=x2+x-6，當(dāng)x=________時(shí)，y的值為0；當(dāng)x=________時(shí)，y的值等于24．10．已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，則x2+y2的值為．三、解答題11．解下列方程：（1）x2﹣2x+1=0（2）x2﹣2x﹣2=0（3）（x﹣3）2+2（x﹣3）=0．12．選擇合適的方法解下列方程.（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）3x2﹣4x﹣1=0；（3）x（x﹣1）=3﹣3x；（4）x2﹣2x+1=0．13．為了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4=0，我們可以將x2﹣1看作一個(gè)整體，然后設(shè)x2﹣1=y，則（x2﹣1）2=y2，那么原方程可化為y2﹣5y+4=0，解得y1=1，y2=4．當(dāng)y=1時(shí)，x2﹣1=1，x2=2，x=±．當(dāng)y=4時(shí)，x2﹣1=4，x2=5，x±．故原方程的解為x1=，x2=﹣，x3=，x4=﹣．請(qǐng)借鑒上面的方法解方程（x2﹣x）2﹣5（x2﹣x）+6=0．四、綜合拓展1.已知（x2+y2﹣3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．2.已知一元二次方程（ab－2b）x2+2（b－a）x+2a－ab=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的值．21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用．2、培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律；（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo)．2、正確理解根與系數(shù)的關(guān)系，靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系。（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)公式的各種變形（四）課前預(yù)習(xí)1．（2015?溧水縣一模）一元二次方程2x2﹣3x﹣5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2，則x1+x2的值為（）A．B．﹣C．﹣D．2．（2015?金華）一元二次方程x2+4x﹣3=0的兩根為x1、x2，則x1?x2的值是（）A．4B．﹣4C．3D．﹣33．（2014?浠水縣校級(jí)模擬）已知x1、x2是方程x2+3x﹣1=0的兩根，則（）A．x1+x2=﹣3，x1?x2=﹣1B．x1+x2=﹣3，x1?x2=1C．x1+x2=3，x1?x2=﹣1D．x1+x2=3，x1?x2=14．（2015?衡陽）若關(guān)于x的方程x2+3x+a=0有一個(gè)根為﹣1，則另一個(gè)根為（）A．﹣2B．2C．4D．﹣35．（2015?廣西）已知實(shí)數(shù)x1，x2滿足x1+x2=7，x1x2=12，則以x1，x2為根的一元二次方程是（）A．x2﹣7x+12=0B．x2+7x+12=0C．x2+7x﹣12=0D．x2﹣7x﹣12=06．（2015春?遂寧校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程x2﹣4x+2=0的兩個(gè)根是m和n，則mn=，m+n=．（五）疑惑摘要：預(yù)習(xí)之后，你還有哪些沒有弄清的問題，請(qǐng)記下來，課堂上我們共同探討。典型例題例1、已知關(guān)于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0（1）當(dāng)m取何值時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根？（2）設(shè)x1、x2是方程的兩根，且（x1﹣x2）2﹣x1x2=26，求m的值．例2、已知：關(guān)于x的方程x2+2x﹣k=0有