(壓軸題)高中數(shù)學高中數(shù)學選修2-2第四章《定積分》測試卷

22一、選題1．設

a

xdxb,c

，則

bc

的大小關系為（）

A．b

B．

C．

．2已知函數(shù)

f

的圖像如圖所示，

f

的導函數(shù)，則下列數(shù)值排序正確的是（）A．

f

f

C．

2f

3．定積分

[x

]

的值為（）A．

．

．

．

4

4．曲線

y

，

y

和直線

圍成的圖形面積是（）A．

B．

C．

．e

5．

1

(1

2

)

（）A．

B．

C．

．

6．已知二次函數(shù)

f

的圖像如圖所示，它與軸圍圖形的面積為（）A．

B．

43

C．

．27．由直線

yxy

，及ｘ軸所圍成平面圖形的面積為（）A．

1B．

0

221C．0

．

8．曲線A．

ysin與直線B．2

y

圍成的封閉圖形的面積是πC．

．

π9．若向區(qū)域

落在由直線yx與曲線y

x圍區(qū)域內的概率為）A．

B．

C．

．

10．

1

1

（）0A．1

B．

C．

．

11．

4

（）A．

B．C．4

．

12．曲線

yx

，y

1x

，x

圍成的封閉圖形的面積為A．

2ln

B．

2ln

C．

+2ln

．

+2ln2二、填題13．線x＝、線y＝+1與線y＝圍的圖形的面積為____．14．曲線

ysin.x與線x

所圍成的平面圖形的面積______.15．算16．圖所示，則陰影部分面積是

.

00．若

的展開式中項系數(shù)為4，

a

x

dx

________________218．直線

，

x

3

，

與曲線

y

所圍成的圖形的面積等于________．19．項式(ax

)的展開式的第二項的系數(shù)為

,則

的值為_____．20．線三、解題

與直線

所圍成的封閉圖形的面積____________．21．知函數(shù)

f()x

（R）

Fx)

（bR

）（）論

fx)

的單調性；（）

a

，

()()()

，若xx

（

0xx）是(x1

的兩個零點，且12

，試問曲線

y(x)

在點

處的切線能否與軸行？請說明理由.22．知函數(shù)

f(

，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)

)(2)

.（）函數(shù)

(x)f(x)(x

的單調區(qū)間；（）函數(shù)

F(x)

f(xxmxx

的值域為R，實數(shù)m的值范.23．知函數(shù)

f(xln

，R。（）曲線

f(x

在點（，）的切線與直線

垂直，求a的值；（）a，試問曲線

f()

與直線

y2

是否有公共點？如果有，求出所有公共點；若沒有，請說明理由。24．圖，有一塊半圓形空，開發(fā)商計劃建一個矩形游泳池

ABCD

及其矩形附屬設施EFGH

，并將剩余空地進行綠化，園林局要求綠化面積應最大化．其中半圓的圓心為O

，半徑為

，矩形的一邊AB在徑上，點

C

、D、

、H在周上，、在CD，且BOG

，設

BOC

．（）游泳池其附屬設施的占地面積為

f

，求

f

的表達式；（）樣設計能符合園林局的要求？

xxxx25．有一個以、OB為徑的扇形池塘，在OAOB上別取點C、D，OA、OB分交AB于E、F且

BD

，現(xiàn)用漁網(wǎng)沿著DE、EO

、OF、FC將池塘分成如圖所示的養(yǎng)殖區(qū)已知

OA

，

，EOF

2

）（）區(qū)的總面積為

，求的；（）養(yǎng)殖區(qū)、的每平方千米的年收入分別是萬元、萬、萬，試問：當

為多少時，年總收入最大？26．

的開式中任取一項，設所取項為有理項的概率為α，求

1

d0【參答案試卷處理標記，不要除1D解析：【解析】根據(jù)微積分定理，

a

x233

，

b

，

x44

，所以，選擇D。2．A

解析：【解析】解：觀察所給的函數(shù)圖象可知：

f

f4

f'

，整理可得：

2f

.本題選擇選項.3．B解析：【解析】試題分析：由定積分的幾何意義有

4x

表示的是以(2,0)

為圓心，半徑為2的圓的

部分，而表的直線yx

，x2,x

軸所圍成的面積，故

[x

]

表示的圖形如下圖的陰影部分，面積為

.故選考點：定積分幾何意義方的化.4．D解析：【解析】試題分析：根據(jù)題意畫出區(qū)域，作圖如下，由

{

yxy

解得交點為0，），∴所求面積為：

1111214322同，分面積即1111214322同，分面積即S

x

x

考點：定積分及其應用5．D解析：【解析】因

2]dx

2dxx2

，故設

x

]2

，則1212，應選答案D。

sin

2

2

1d(22426．B解析：【解析】設

f

f

的圖象上，則a

，由定積分幾何意義，圍成圖形的面積為S

，故選7．C解析：【解析】如圖，由直線，，x軸成平面形是紅色的部分，它和圖中藍色部分的面積1

1相∵藍色部

.0

0本題選擇C選項.

x(1,0)x(1,0)8．D解析：【解析】曲線

ysinx

與直線

y

51的兩個交點坐標分別(,,),6則封閉圖形的面積為

5π6π

11sindxcosxx|2

5π6π6

π36本題選擇選項.點睛：用積分基本定理求定積分，關鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)此外，如果被積函數(shù)是絕對值函數(shù)或分段函數(shù)，那么可以利用定積分對積分區(qū)間的可加性，將積分區(qū)間分解，代入相應的解析式，分別求出積分值相加．(2)根定積分的幾何意義可利用面積求定積．(3)若y＝(x)為函數(shù)，則

＝9．B解析：【解析】區(qū)域

y積為，據(jù)定積分定理可得直線x

與曲線y

圍成區(qū)域的面積為

dx

3x22326

，根據(jù)幾何概型概率公式可得該點落在由直線與線y10．解析：【分析】

x

1圍成區(qū)域內的概率為，選．6令1x2

,(，表以為圓心，以1為半徑的圓的上半圓，再利用定積分的幾何意義求解即.

1111【詳解】令1x

,，所以

(x22

，

(

，它表示以

(1,0)

為圓心，以1為徑的圓的上半圓，如圖所示，0

1

表示由

xxy

1和半圓圍成的曲邊梯形的面積，即個的面4積由題得

14

個圓的面積為

144

.由定積分的幾何意義得

0

1

.故選：【點睛】本題主要考查定積分的求法，意在考查學生對這些知識的理解掌握水.11．解析：【分析】設y

2

，變換得到

42dx

的幾何意義為圖中陰影面積，計算面積得到答.【詳解】設y

2，則

x

2

2

，其中

，

0

.

4

dx

的幾何意義為圖中陰影面積，設

BOC，易知

6

，則S故選：

1113OA22

.

S2112111S2112111【點睛】本題考查了定積分的幾何意義，意在考查學生的計算能力和轉化能.12．解析：【解析】【分析】聯(lián)立方程組，確定被積區(qū)間和被積函數(shù)，得出曲邊形的面積(4x)即可求2解，得到答案．【詳解】1由題意，聯(lián)立方程組1，得x，2所以曲線

y4x

，y

1x

，x2

圍成的封閉圖形的面積為

(4dxxx|2x22

2

ln2))2ln]22

，故選．【點睛】本題主要考查了利用定積分求解曲邊形的面積，其中解答中根據(jù)題意求解交點的坐標，確定被積分區(qū)間和被積函數(shù)，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填題13．【分析】如圖所示：計算交點為計算積分得到面積【詳解】依題意令e+1＝ex+1得x＝1所以直線x＝0y＝與曲線y＝ex+1圍成的區(qū)域的面積為S故答案為：1【點睛】本題考查了利用積分求面積意在考

4444解析：【分析】如圖所示：計算交點為

計算積分

得到面積.【詳解】依題意，令e＝x，得＝所以直線x＝，y+1與曲線y＝x圍成的區(qū)域的面積為S

x

故答案為：【點睛】本題考查了利用積分求面積，意在考查學生的計算能.14．【分析】三角函數(shù)的對稱性可得求定積分可得【詳解】由三角函數(shù)的對稱性和題意可得S=2=2（sinx+cosx）+﹣0+1）﹣2故答案為2﹣2【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱性和定積解析：2【分析】三角函數(shù)的對稱性可得S=2【詳解】

0

sinx求定積分可得．由三角函數(shù)的對稱性和題意可得S=2

0

sinx=2（|4=2（0故答案為2﹣

2+）2（）=22﹣2

【點睛】本題考查三角函數(shù)的對稱性和定積分求面積，屬基礎題．15．【解析】【分析】利用微積分基本定理直接計算即可【詳解】即答案為【點睛】本題考查了定積分的運算屬于基礎題解析：

【解析】【分析】利用微積分基本定理直接計算即.【詳解】

即答案為.【點睛】本題考查了定積分的運算，屬于基礎題．16．【解析】試題分析：由題意得直線與拋物線解得交點分別為和拋物線與軸負半軸交點設陰影部分的面積為則考點：定積分在求面積中的應用【方法點晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應用其中解答中根據(jù)直線方解析：

【解析】試題分析：由題意得，直線

與拋物線

y

，解得交點分別為

(

和(1,2)

，拋物線

y

與x軸半軸交點(3,0)

，設陰影部分的面積為

，則S

(3

)dx

(3

)

2xdx

)33

．考點：定積分在求面積中的應用．【方法點晴】本題主要考查了定積分求解曲邊形的面積中的應用，其中解答中根據(jù)直線方程與曲線方程的交點坐標，確定積分的上、下限，確定被積函數(shù)是解答此類問題的關鍵，同時解答中注意圖形的分割，在軸方的部分積分為負（積分的幾何意義強調代數(shù)和），著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．

17．【解析】由題意得項的系數(shù)為所以點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項可依據(jù)條件寫出第項再由特定項的特點求出值即可(2)已知展開式的某項求特定項的系數(shù)可由某項得出參數(shù)項解析【解析】由題意得x項的系數(shù)為

a

，所以52e2

1x

525elnxe222點睛：求二項展開式有關問題的常見類型及解題策略(1)求開式中的特定.可據(jù)條件寫出第r

項，再由特定項的特點求出r

值即可已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)可某項得出參數(shù)項，再通項寫出第r項由特定項得出r

值，最后求出其參數(shù)．【解析】試題分析：由定積分的幾何意義可知所求面積為考點：定積分的幾何意義解析3【解析】試題分析：由定積分的幾何意義可知所求面積為2

3

22sinxdxx0

．0考點：定積分的幾何意義．19．或【解析】試題分析：展開后第二項系數(shù)為時時考點1定積分；二項式定理解析：3或【解析】

試題分析：展開后第二項系數(shù)為

32aa時2

x31

，a

時

7x|考點：．積2二項式定理20．【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面積即可求得結論【詳解】曲線y=sinx與直線x=0x=π4y=0所圍成的封閉圖形的面積為0π4sinxdx=-cosx|0故答案

2x22x22解析：【解析】【分析】確定被積函數(shù)與被積區(qū)間利用用定積分表示面即求得結.【詳解】曲線

與直線

所圍成的封閉圖形的面積為，故答案為.【點睛】本題主要考查利用定積分求面積，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于基礎.三、解題21．1）時，

f

，

f(x)

在

單調遞增，所以時，f(調減區(qū)間是

增區(qū)間是

a2

,

）f()

在x

處的切線不能平行于軸。【解析】試題分析：1）對函數(shù)求導，再依據(jù)到函數(shù)值與函數(shù)單調性之間的關系分類探求單調區(qū)間；（）假曲線

g處的切線能否與x軸行，然后依據(jù)假設建立方程組，最后再構造函數(shù)

2t

導數(shù)的知識斷定假設不成。解：（）f

ax2x(1)當

a

時，

f

單調遞增，（）

a

時，f

有x

,f

-0+

22200x022200x0f

↘

極小值f

↗aa所以時fx的增,(假設

切能平行于x軸

xx

,由假設及題意得：gx.................11................222x2..............................④x0由-得，222122ln1`即x.................⑤1

由得x令，x2

x2lnxx1xx012

x2x2xx.則式可化為

ln

2t

，設函數(shù)

tt

，則4t

,所以函數(shù)

2t

在于是，當

時，有

，即

ln

tt

與矛.所以

f切線不能平行于軸

..點睛：本題以含參數(shù)的函數(shù)解析式為背景，精心設置了兩個問題，旨在考查導數(shù)知識在研究函數(shù)的單調性、極值（最值）等方面的綜合運用。求解第一問時，先函數(shù)的解析式進行求導，再對參數(shù)進行分類討論研究導函數(shù)的值的符號，從而求出函數(shù)的單調區(qū)間；求解第二問時，先假設存在x處的切線平行于x軸然后在假設的前提下進行分析推證，從而得出與已知和假設矛盾的結論，使得問題獲解。22．單增區(qū)間為

(ln

，單調減區(qū)間為

(2)

]

.【解析】試題分析：求函數(shù)的導數(shù)

,解于導函數(shù)的不等,求函的單調區(qū)間即可(2)函的導通過討論m的圍得到函數(shù)的值從確m的體范圍即可試題（）

h

x

.由

h

得

ln2

，由

h

得

.所以函數(shù)

的單調增區(qū)間為

，單調減區(qū)間為

.（）

f

.當時，

f

當時

f

1°當

時，

f

x

上單調遞減，值域為

，

上單調遞減，值域為

，因為

的值域為，所以

e

，即

m.（）由（）知

時，

h

，故（）成立因為

，且

，所以當

m

時，

恒成立，因此

m

.2°當m時，

f所以函數(shù)

f

x

在

.

在（m，）單調遞減，值域為

因為

的值域為，所以

m

，即

m

.綜合1°，可，實數(shù)的值范圍是

10,e

.23．1）a；2）共點為（，）【解析】

，，試題分析：1）據(jù)導數(shù)的幾何意義得到

f'

，即；）構造函數(shù)x

，研究這個函數(shù)的單調性，它和軸的交點個數(shù)即可得到

在（，）（1,負g

，故只有一個公共點。（）數(shù)

f

的定義域為

x2又曲線

y

在點（，

f

）處的切線與直線

x

垂直，所以

f

，即

a（）

時，

f

x

，

x令

x

g

1122當

x

時，

g

，

g

在（

1,

）單調遞減；當

0

時，

g

在（，單調遞增。又

（1,負因此，曲線

f

僅有一個公共點，公共點為1-1）24．1）

2

(2sin

)23

1338【解析】試題分析：1）據(jù)直角三角形求兩個矩形的長與寬，再根據(jù)矩形面積公式可得函數(shù)解析式，最后根據(jù)實際意義確定定義域）利用導數(shù)求函數(shù)最值，求導解得零點，列表分析導函數(shù)符號變化規(guī)律，確定函數(shù)單調性，進而得函數(shù)最值試題（）題意，

cos

，

sin

，且

為等邊三角形，所以，HG，EH

sin，f

EFGHcos

R

．（）符合園局的要求，只要

f

最小，

由（），

f

(2cos2

令

f'

，即

2=0解得

33

或cos

=

（舍去），令=

，當0當

f'f'

是單調減函數(shù)，是單調增函數(shù)，所以當

時0

取得最小值答：當足

33

時，符合園林局要求25．1）

3

（）

6【解析】試題分析：1）問考查解三角函數(shù)的實際應用，由及BDAC可知OD

，根據(jù)條件易證

RtODERtOCF，所以COF