1990年全國(guó)卷高考理科數(shù)學(xué)真題及答案

CC1990全國(guó)卷高理科數(shù)學(xué)題及答案一選擇題（共15小題，小題4分滿60分1分方程=的是（）A．

x=

B．

x=

CD．x=92復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的量按順時(shí)針方旋轉(zhuǎn)

所到的向量對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)

）A．B．C．Di3分如果底面徑和高相等的柱的側(cè)面積是，那圓柱的體積等（）A．B．C．D4分方程sin2x=sinx在區(qū)0，2π內(nèi)的解的個(gè)數(shù)（）A．1B．3D5分已知如圖函數(shù)y=2sin（φ＜）圖象，那么（）A．

，φ=

B．

，﹣

，

D．

，﹣6分函數(shù)

的域是（）A．{﹣2，4}B﹣2，4}C．{﹣2，0，2，4}D﹣4，﹣2，04}7分如果直線與線y=3x關(guān)于直線y=x對(duì)，那么（）A．B．a(chǎn)=，b=6a=，b=

C．a(chǎn)=3﹣2D．a(chǎn)=3，b=68分極坐標(biāo)方4sinθ=5ρ表示的曲是（）

A．圓B橢C．雙線的一支D拋物9分設(shè)全集I={（x，y）|x∈R}，集合M={）|

=1}，N=（x，y）|y≠x+1．那么A．

等（）B（2，3）}

C．（2，3（x10分?德市模擬）若數(shù)x、y足x+2）+y=3，則的最值為（）A．B．C．D11分如圖正棱錐SABC的棱與底面邊長(zhǎng)等如分為SC的點(diǎn)，那異面直線EF與SA所的角等（）A．90°BCD12分已知h＞0設(shè)題甲為：兩個(gè)數(shù)a，b足a﹣b|＜2h；命題為：個(gè)實(shí)數(shù)a滿足﹣1|＜h且b﹣1|＜h那么（）A．甲是乙充分條件，但是乙的必要條B．甲是乙必要條件，但是乙的充分條C．甲是乙充分條件D．甲不是的充分條件，不是乙的必要件13分A，B，C，E人并站成一排，如B必須在A的右邊A，B可不相鄰么同的排法共有）A．24種B．60種C．90D．120種14分以一個(gè)方體的頂點(diǎn)為點(diǎn)的四面體共（）A．70個(gè)B．64個(gè)C．58D個(gè)15分設(shè)函數(shù)y=arctgx圖象沿軸正向平移個(gè)位所得到的圖為C．設(shè)圖象C'C關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱，那C'所應(yīng)的數(shù)是（）A﹣arctg（x﹣B（x．y=﹣arctgD．y=arctg（x+22）（x+2二填空題（共5小題，每小題5，滿分25分

16分雙曲線

的線方程是_________．17分﹣1）（x﹣1+（x﹣1）﹣（x﹣1（x）的展式中，x

的數(shù)等_________．18分?海模擬）已知{a是公差不為的等差數(shù)列，果s是}的前n項(xiàng)的，那么

等_________．19分函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的大值是_________．20分）圖，三棱柱﹣AC，若E分為AB、AC的中點(diǎn)，平面EBC三棱分成體積為V、V的部分，么V：V_________．三解答題（共6小題，滿分65分）21分有四個(gè)數(shù)，其前三個(gè)數(shù)成等數(shù)列，后三個(gè)成等比數(shù)列，且第一個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的和是16第二個(gè)數(shù)與第個(gè)數(shù)的和是12求這個(gè)數(shù)．22分已知sina+sinB=，cosa+cosB=，tg（a+B的值．23分如圖，在三棱中SA⊥面ABC，AB⊥BC．DE垂直平分SC，且分別交AC、SC于D．，SB=BC．以BD棱，以BDE與BDC為的二面角的度．24分設(shè)a為數(shù)，在復(fù)數(shù)集中方程：z．

25分設(shè)橢圓的中心坐標(biāo)原點(diǎn)，長(zhǎng)在軸上離率e=

，知點(diǎn)P）到個(gè)橢圓上的點(diǎn)遠(yuǎn)距離是點(diǎn)坐標(biāo)．

這個(gè)橢的方程求圓上到點(diǎn)P的離等于

的26分（x）=lg

，中a是數(shù)，是任意然數(shù)且n≥2．（）如果f（x）∈﹣∞，1]有意義，求a的取值范圍；（）如果a∈（0，1]，明2f（x＜f（2x）當(dāng)x≠0時(shí)立．參考案一選擇題（共15小題，小題4分滿60分1．考：對(duì)的算性質(zhì)；數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化．分：解：點(diǎn)：

根指數(shù)式與對(duì)數(shù)的互化可知，解∵∴∴故．本主要考查指數(shù)與對(duì)數(shù)式的相轉(zhuǎn)化．

，而得到答案．2．考：復(fù)代數(shù)形式的混運(yùn)算．分：

把數(shù)1+i乘cos﹣）+isin﹣簡(jiǎn)為代形式即可．解：

解復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)向量按順時(shí)針向旋轉(zhuǎn)向）[cos﹣）+isin﹣故．

所到的）]=（1+i），點(diǎn)：

復(fù)旋轉(zhuǎn)，實(shí)際上數(shù)乘以一個(gè)模1的角為﹣本是基礎(chǔ)題．

復(fù)三角形式，注旋轉(zhuǎn)方向，3．考：旋體（圓、圓錐、圓臺(tái)

專：計(jì)題．分：設(shè)柱高為h推出底面半，求出圓柱的側(cè)積，然后求出柱的體積即可到選項(xiàng)．解：

解設(shè)圓柱高為h，底面半徑為．由意知，S=，∴h=，∴V=（）?h=．故．點(diǎn)：本是基礎(chǔ)，考查圓柱的面積、體積的算及其關(guān)系，查計(jì)算能力，考題型．4．考：正弦數(shù)的圖象；數(shù)（ωx+φ）的象變．專：計(jì)算．分：

通二倍角公式化的2sinxcosx=sinx，而推斷sinx=0或cosx=，進(jìn)而求出x的值．解：解：sin2x=2sinxcosx=sinx或cosx=∵x（0，2）∴x=或故C

或點(diǎn)：本題要考查了三函數(shù)的二倍角式．屬基礎(chǔ)題5．考：由（φ的部圖象確定其解式．專：計(jì)題；數(shù)形結(jié)合．分：

由象過(guò)（0，1）|φ|＜，求出ψ的值函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)ω+=2π，求出ω

，0五法作的過(guò)程知解：

解因?yàn)楹瘮?shù)圖象0，1以1=2sin，φ=，∵|φ|＜

，∴，函數(shù)y=2sin（ωx+

∵函圖象過(guò)點(diǎn)（

，0∴0=2sin（?

+

五點(diǎn)作圖的過(guò)程知ω?

+

=2，∴ω=2，上，φ=故．

，ω=2，點(diǎn)：本考查五點(diǎn)法作的方法，在本圖中的一個(gè)完的標(biāo)準(zhǔn)周期內(nèi)圖象上的五個(gè)鍵點(diǎn)的橫坐標(biāo)

分為：，，，，2．6．考：函的值域；三角數(shù)的化簡(jiǎn)求值專：計(jì)題；分類討論分：根正切和余切的義求出函數(shù)的義域，分四種況由三角函數(shù)的符號(hào)，去掉對(duì)值求解．解：

解由題意知，函的定義域{≠，k∈Z}下由各個(gè)象限三角函數(shù)值的號(hào)來(lái)確定在個(gè)象限中函數(shù)值當(dāng)x是第象限角，因所有三角數(shù)值大于零，；當(dāng)x是第象限角，因?yàn)橹挥姓荡笥诹?，故y=1﹣1﹣1﹣1=；當(dāng)x是第象限角，因?yàn)檎兄涤嗲兄荡笥诹愎蕐=﹣1﹣1+1+1=0；當(dāng)x是第象限角，因?yàn)橹挥杏嘀荡笥诹悖蕐=﹣2；所函數(shù)的值域是{﹣2，0，4}．故．點(diǎn)：本主要考查了三函數(shù)的定義以符號(hào)，根據(jù)定求出函數(shù)的定域，由三角函值的符號(hào)進(jìn)化簡(jiǎn)求值．7．考：反數(shù)．分：本考查對(duì)為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象之間關(guān)系、反函數(shù)求法等相關(guān)知；本可有兩種方法其一，求出y=ax+2的反數(shù)其與y=3x﹣b的應(yīng)系相等獲得，其由互為反函數(shù)象上的點(diǎn)之間對(duì)稱關(guān)系，通在圖象上取特點(diǎn)求解．解：解法：由題意，函y=3x﹣b反數(shù)為

，與y=ax+2對(duì)可得a=，b=6法：在y=ax+2上點(diǎn)（，2則（，0在y=3x﹣b上故得；又﹣6上點(diǎn)0，點(diǎn)﹣6，0在y=ax+2上代入a=，由可得a=，b=6答：a=，b=6點(diǎn)：本解題思清晰，方向明，運(yùn)算量也小屬于容易題目這里提供了兩方法，比較可各有特，直接求反函過(guò)程簡(jiǎn)捷，較簡(jiǎn)單，特值代，小巧易行，程稍繁．8．考簡(jiǎn)單曲線的坐標(biāo)方程．分先在極坐標(biāo)程4sinρ兩邊同乘以ρ再利用直角坐與極坐標(biāo)間的系，即利用ρcos，ρsinθ=y，=x+y，行代換即得直坐標(biāo)系，再利直角坐標(biāo)方程可進(jìn)行判斷．

解解：將方程4sinθ=5兩邊都乘以p得：ρsinρ，化直角坐標(biāo)方程5x+5y﹣4y=0它示一個(gè)圓．故．點(diǎn)本題考查點(diǎn)極坐標(biāo)和直角標(biāo)的互化，能極坐標(biāo)系中用坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的置，體在極坐標(biāo)系和面直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置區(qū)別，能進(jìn)行坐標(biāo)和直角坐的互化．9．考：交并、補(bǔ)的混合運(yùn)算．分：先簡(jiǎn)集合M再計(jì)算．解：解∵M(jìn)={（x，y）|y=x+1或（x，y≠，3）}，∴，又．∴．故案選B點(diǎn)：本主要考了集合間的交并，補(bǔ)混合運(yùn)，注意弄清各合中的元素．10．考：簡(jiǎn)單性規(guī)劃．專：計(jì)算．分：

先斷出方程表示圖形，再給賦幾何意義，作圖象，結(jié)合圖斷出當(dāng)直線與相切時(shí)斜率最求出最大值．解：解）=3，表示以（﹣2，0為圓心，以

為徑的圓表圓上的點(diǎn)與（0，0）連的斜，設(shè)為k則y=kx由知，當(dāng)過(guò)原點(diǎn)直線與圓相切斜率最大故由知，故A

解

或點(diǎn)：本題查圓的標(biāo)準(zhǔn)方、兩點(diǎn)連線斜公式的形式、形結(jié)合求最值

11．考異直線及所成的角．專計(jì)題；壓題．分先過(guò)平移兩條異面直線移到同一個(gè)起AC的中，到的銳角或直就是異面直線成的角，再用余弦定理求此角即可．解解如圖，AC的點(diǎn)D，連接DE、DF，∠DEF為異面直線EF與SA所的設(shè)長(zhǎng)為2則DE=1，根據(jù)SA，ED⊥DF∴∠DEF=45°，故．點(diǎn)本題主要查異面直線所的角，考查空想象能力、運(yùn)能力和推理論證力，屬于基題．12．考：必條件、分條件與充要件的判斷．分：巧運(yùn)用絕值不等|a|+|b|≥|a+b|必、充分條件，以解答本題．解：解由a﹣1|且b﹣1|＜h得a﹣b|=|a﹣1+1﹣b|＜2h所以甲是乙的必條件；不令h=1，a=0.5，b=﹣0.3＜1，而|b﹣1|=1.3，而甲不是乙的分條件．故B點(diǎn)：|a|+|b|≥|a+b|的理運(yùn)用以及巧妙運(yùn)用|﹣1|+|1的用，解答甲是乙的要條件的一關(guān)鍵；充分條的推導(dǎo)用的是殊值否定法．13．考：排、組合實(shí)際應(yīng)用．專：轉(zhuǎn)思想．分：根題意，先計(jì)算五人并站成一排的情數(shù)目，進(jìn)而分可得站在A的左邊站的右是等可能的，用倍分法，計(jì)可得答案．解：解根據(jù)題，使用倍分法五并排站成一排有A

種況，而中B站的左與B站A的右邊是等可能，則情況數(shù)目是相的，則B站在A的右邊的情況數(shù)為×A故．

=60，點(diǎn)：本考查排、組合的應(yīng)用注意使用倍分時(shí)，注意必須證其各種情況等可能的．

14．考：棱的結(jié)構(gòu)征．專：壓題；分討論．分：以個(gè)正方的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)任意選4個(gè)除在同一個(gè)平面的點(diǎn)，可得四體的個(gè)數(shù)．解：解正方體8個(gè)頂中任4個(gè)有C

=70個(gè)不組成四面體的4個(gè)頂點(diǎn)，已的6個(gè)，對(duì)面有6個(gè)所以一個(gè)正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的面體共有70﹣12=58故．點(diǎn)：本考查棱的結(jié)構(gòu)特征，查邏輯思維能，是中檔題．15．考：函的圖象圖象變化．專：壓題．分：根平移變和對(duì)稱變換引的解析式變化律依次求出C、C'對(duì)的解析式可．解：解將函數(shù)的圖象x軸方向平移2個(gè)位所得到的圖為C則C對(duì)應(yīng)解析式y(tǒng)=arctg（x﹣2又圖象與關(guān)原點(diǎn)對(duì)稱則C'應(yīng)的解析式y(tǒng)=（﹣x﹣2）=arctg）故D點(diǎn)：平變換的決是“左加右，上加下減”對(duì)變換的口決是關(guān)于Y軸負(fù)里，關(guān)于軸負(fù)面，關(guān)于原點(diǎn)既負(fù)里面，又外面”二填空題（共5小題，每小題5，滿分25分16．考：雙線的簡(jiǎn)單性質(zhì)專：計(jì)題．分：

由點(diǎn)在y的雙線的準(zhǔn)線方程式

進(jìn)求解．解：解∵a=4，b=3，則，雙線

的線方程是

，故案是

．點(diǎn)：本比較簡(jiǎn)單，解時(shí)要注意雙曲線焦點(diǎn)在y軸．17．考二項(xiàng)式定理應(yīng)用．專計(jì)算題．分多項(xiàng)式展開的含x項(xiàng)系數(shù)等于各個(gè)項(xiàng)式展開式的數(shù)和，利用二展開式的通項(xiàng)式求出各個(gè)數(shù)．解解：展開式含x項(xiàng)系數(shù)為1﹣C﹣C﹣C=﹣3﹣10=﹣20

故案為20點(diǎn)本題考查等轉(zhuǎn)化能力及二展開式的通項(xiàng)式的應(yīng)用．18．考等差數(shù)列的質(zhì)；極限及其運(yùn)；等差數(shù)列的n項(xiàng)．分：設(shè)a=a+（n﹣1）d，s+d，入求極即可．解：解設(shè)a=a+（n﹣1）d，s=na+d代得===2故案為2點(diǎn)考查學(xué)生運(yùn)等差數(shù)列性質(zhì)的力，運(yùn)用等差列求和公式的力，會(huì)求極限運(yùn)算極限的能．19．考三函數(shù)的值．專計(jì)題；壓題．分利sinx與的方關(guān)，令sinx+cosx=t，過(guò)換元，三角函數(shù)轉(zhuǎn)化二次數(shù)，求對(duì)稱軸，利用次函數(shù)的單調(diào)求出最值．解：解令t=sinx+cosx=∴sinxcosx=

則∴y=對(duì)軸﹣1

=（）∴故案為

時(shí)y有大值點(diǎn)本考查三函數(shù)中利用平關(guān)系sinx+cosx與2sinxcosx兩是可以相互轉(zhuǎn)的、二次函數(shù)最的求法．20．考：棱、棱錐棱臺(tái)的體積．專：計(jì)題；壓題．分：設(shè)AEF面為，ABC和ABC的面為s，棱柱高位h；V

=V；V=V；總體積為V，根棱臺(tái)體積公式V；V=V﹣V以面積關(guān)系，求體積之比．解：解由題：AEF面為s，ABC和ABC的積為s三棱柱高位h；V

=V；

V=V；總體積為V計(jì)體積：Vh（s+s+

）V=sh②V=V﹣V③由意可知，=④根①②③④解方可得V=sh，V=sh；則故案為：點(diǎn)：本考查棱、棱錐、棱臺(tái)體積，考查計(jì)能力，轉(zhuǎn)化思，考查空間想能力，是基礎(chǔ)．三解答題（共6小題，滿分65分）21．考數(shù)列的應(yīng)用專計(jì)算題．分設(shè)四個(gè)數(shù)依為x，12﹣y，16﹣x．根據(jù)差數(shù)列和等比列的性質(zhì)知，此能求出這四數(shù)．解解：設(shè)四個(gè)依次為x，y﹣y，16﹣x．依意，有由式得﹣12③將式代入②式得y（16﹣3y+12）=）2，整得y﹣13y+36=0．解y=4，y=9．代③式得x=0=15．從得所求四個(gè)數(shù)0，4，1615，9，3，1．點(diǎn)本題考查數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，題時(shí)要注意公的合理運(yùn)用．22．考兩和與差正弦函數(shù)；同三角函數(shù)基本系的運(yùn)用．分：和化積，兩已知式出現(xiàn)相同的式，兩式相除約分得即的結(jié)果，注意倍角公式的符．解解一：由知得sinα+sincos=，

角正切，用二倍公式代入

cos兩相除得tan=，tanα+β）=

，=點(diǎn)數(shù)課本中見的三角函數(shù)等式的變換，是重點(diǎn)，又是點(diǎn)．其主要難三角公式多，難憶，角度變化函數(shù)名稱變化運(yùn)算符號(hào)復(fù)雜難掌握，解題抓住題目本質(zhì)熟公式，才不會(huì)錯(cuò)．23．考平與平面間的位置關(guān)系專計(jì)題．分欲BD⊥DE⊥DC先證BD⊥面SAC從得到∠EDC是所求的二角的平面角，用Rt△SAC與Rt△EDC相似求EDC可．解解由于SB=BC，且是SC的中點(diǎn)，此是等腰角形SBC的邊SC的線，所以SC⊥BE．又知⊥DE，BE∩DE=E，∴SC面BDE∴SC⊥BD．又SA⊥底ABC，BD在底面ABC上∴SA⊥BD．而SC∩SA=S∴BD面SAC∵DE=SAC∩面BDE，DC=面∩BDC，∴BD⊥DE，BD．∴∠EDC是求的二面角的面角．∵SA底面ABC，⊥AB，SA⊥AC設(shè)，AB=a，BC=SB=a∵AB⊥BC，∴AC=

，eq\o\ac(△,Rt)SAC∠ACS=∴∠ACS=30°．又知⊥SC，所∠EDC=60°，所求的二面角于60°

點(diǎn)本主要考了平面與平面間的位置關(guān)系考查空間想象力、運(yùn)算能力和理論證能力屬基礎(chǔ)題．24．考：復(fù)的基本念；復(fù)數(shù)相等充要條件．專：壓題；分討論．分：由z=a﹣2|z|為實(shí)，故z為純虛或?qū)崳蚨璺智檫M(jìn)行討論．當(dāng)z是實(shí)時(shí)，本是一個(gè)關(guān)z的元二次程組，解方程即可；當(dāng)是個(gè)純虛數(shù)時(shí)，照實(shí)數(shù)方程求得到z的虛部寫純虛數(shù)即可．解：解設(shè)z|=r若a，則z=a＜0于是z為虛數(shù)，從而r=2r﹣a．由z=a﹣2|z|為數(shù)，故z為純數(shù)或?qū)崝?shù)，因需分情況進(jìn)行論．解（r=＜0不合，舍去z=±（）i若a，r作如討論：（1若r≤a，z=a≥0于是為實(shí)數(shù)解程r=a﹣2r，r=

（r=＜0不合，舍去故z=±（（2若r＞a，z=a＜0于是為純虛．解程r，r=

或r=（a≤1故z=±（

）i（a≤1綜所述，原方程解的情況如下當(dāng)a＜0時(shí)解為：z=±（當(dāng)0時(shí)，解z=±

）i（）i當(dāng)a＞1時(shí)解為：z=±（點(diǎn)：本還可以z=x+yi（x∈R）代原方程后，由數(shù)相等的條件復(fù)數(shù)方程化歸關(guān)于xy的系數(shù)的二元方組來(lái)求解．25．考橢的應(yīng)用專計(jì)題；壓題．分：由設(shè)條件取橢圓參數(shù)方程，其中0θ＜2，根據(jù)已知條和橢圓的性質(zhì)夠推出b=1，a=2．而求這個(gè)橢圓的方和橢圓上到點(diǎn)P的離于的點(diǎn)的坐．解：解根據(jù)題設(shè)條件可取橢圓的參方程是，中0≤＜2π由

可，即a=2b．

設(shè)圓上的點(diǎn)x）到點(diǎn)距為d，====

．如

，

，當(dāng)sin﹣1，

有大值，由題設(shè)

，由得

，

矛．因必有

成，于是當(dāng)

時(shí)d有