貝葉斯統(tǒng)計復(fù)習(xí)

貝葉斯統(tǒng)計習(xí)題1.設(shè)0是一批產(chǎn)品的不合格率，從中抽取8個產(chǎn)品進(jìn)行檢驗，發(fā)現(xiàn)3個不合格品，假如先驗分布為（1）0u（0,1）'2(1-0),0<0<10,其它求0的后驗分布。解：40<6?<1[ML嚴(yán)⑴二％業(yè)它檢驗8個產(chǎn)品有，個個合格m(x)=,040<6?<1[ML嚴(yán)⑴二％業(yè)它檢驗8個產(chǎn)品有，個個合格m(x)=,01 】f8、 1 1]3（州）汗（8）汨=峰（]鄧）‘必二『6伊（]_$），而二一

n nI3J n 9兀（81*）=“⑴'）〃*）=5。4序（i項）50<0<1m(x)]2（i—。），Q<e<iI0,其它m(x)=f1p(x10)兀(0)的=f1C303(1—0)5*2(1—0)d0=『11203(1—0)6d0=—0 0 0 15k(0|x)=P(X|07：(0)=84003(1—0)6,0<0<1m(x)2-設(shè)X1%，七是來自均勻分布U（0，0）的一個樣本，又設(shè)0的先驗分布為Pareto分布,其密度函數(shù)為… (0)_*0;/0婦1，0>0°'二I 00, 0<0°I 0其中參數(shù)00>。。>0，證明：0的后驗分布仍為Pareto分布。解：樣本聯(lián)合分布為：p(x0)=二,0<x<0

0na0a/0a+1,0>0000, 0<00兀(0)=<冗(0x)xp(xP)k(0)=a0?/0以+n+ix1/0以+n+i,0>0=max{O,x,,x}1 0 1 0 1n因此0的后驗分布的核為1/0a+n+1，仍表現(xiàn)為Pareto分布密度函數(shù)的核???即兀(0x)=(a+n)0以+n/0a即兀(0x)=10, 0展11即得證。設(shè)吃是來自指數(shù)分布的一個樣本，指數(shù)分布的密度函數(shù)為p(xl人)=山-必,x>0,(1)證明：伽瑪分布Ga(a,P)是參數(shù)人的共軛先驗分布。若從先驗信息得知，先驗均值為，先驗標(biāo)準(zhǔn)差為，確定其超參數(shù)a，P。解.FTTr.X-(1)樣本的似然函數(shù)：p(x|X)=Xne,=]/=XnePa入…兀(A)= r r入aTe-陽「(a)參數(shù)A的后驗分布兀(A|x)xp(x|A)K(A)xAn+a-1e-(P+nx)A服從伽馬分布GaG+n,P+nx).P=崩002" na=4,P=20000.飛=0.00012|P2設(shè)一批產(chǎn)品的不合格品率為0，檢查是一個接一個的進(jìn)行，直到發(fā)現(xiàn)第一個不合格品停止檢查，若設(shè)X為發(fā)現(xiàn)第一個不合格品是已經(jīng)檢查的產(chǎn)品數(shù)，則X服從幾何分布，其分布列為假如0只能以相同的概率取三個值1/4,2/4,3/4,現(xiàn)只獲得一個觀察值x=3，求0的最大后P(X=x列為假如0只能以相同的概率取三個值1/4,2/4,3/4,現(xiàn)只獲得一個觀察值x=3，求0的最大后驗估計0 。 ?MD解：0的先驗分布為Q—~= =在0給定的條件下，X=3的條件概率為P(X=3|幻工8(1—聯(lián)合概率為耳乂=3，。=%=土?「｛1七X=3的無條件概率為0的后驗分布為-ja\yvF〈X=3,8=i/4) 4"：iF8=』/4|X=3)h —=虧|1一］1/42/43/4尸(g=〃4iX=3)9/208/203/2。9的最大后驗?估計弘心="d5。設(shè)x是來自如下指數(shù)分布的一個觀察值，p(xl0)=e-a-0),x>0取柯西分布作為0的先驗分布，即兀(0)=—二,-8<0<8KV1+02)求0的最大后驗估計0MD解后驗密度為了尋找』的最大后餐估計機(jī)小我們.時后驗密度使用微分法呵得如S3一伊以十徘)七_(dá)廣七Wf詢0)(1+伊)'ifk由于療0|才)的非減性,考慮到&的取值不能超過工，故&的最大后魅估i十應(yīng)為3^=21,

設(shè))是來自均勻分布U(。,。)的一個樣本，又設(shè)°服從Pareto分布，密度函1 2n數(shù)為71(0)=<Ol0oc71(0)=<0>000<00求。的后驗均值和后驗方差。CC0OI/0a+l,00,0>000<00求。的后驗均值和后驗方差。CC0OI/0a+l,00,解：°的先驗分布為：兀(°)=<令。=max{9,x, }1 0 1n可得后驗分布為：兀(叫')=<0>000<000>010<01(a+n)0a+?/0a+〃+1,1、°，c si、(a+〃)。則0的后驗期望估計為：e(。w=—,〃+以-1v小I、 (a+zz)02后驗方差為：偽尸(。工)=<―L"(zz+a-l)2(zz+a-2)n]7.設(shè)'服從伽瑪分布^(-，―),°的分布為倒伽瑪分布/Go(a,。),226nx證明：在給定，的條件下，°的后驗分布為倒伽瑪分布/G6i(-+a-+P)O求。的后驗均值與后驗方差。n1解：由x?Gq(；，k)，°?/Go(aR)可以得出22U1耳(布)24 17?(xp)=-=^-—X2~1e~20x,x>0「(?)B以 -3-71(0)=——0-(a+l)^~e,0>0r(a)U 八 U 八 ""■2971(0|x)OC7?(xP)7l(0)OC0-(2+a+1)e-nx即為倒伽瑪分布^(-+a-+P)的核。A Anx所以o的后驗分布為/Gq(5+a,5+P)t+Px+2B(2)后驗均值為E(Qlx)= -=〃+2a—2—+a—i2

(2+。)2后驗方差為Var(0|x) (:+a-1)2(2+a—2)對正態(tài)分布N(0,1)作觀察，獲得三個觀察值：2,3,5，若°的先驗分布為N(3,1),求°的可信區(qū)間。沒某電子元件的失效時間X服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為p(x\0)=0-iexp{-x/0},x>0若未知參數(shù)0的先驗分布為倒伽瑪分布IGa(1,0.01)。計算該種元件在時間200之前失效的邊緣密度。解：解：依題意X0exp廠寸,x>00.01+xI小d0兀(0)=0.010-20.01+xI小d0(x)=jp(x|0)k(0)d0=「80.010-3exp<0該元件在時間200之前失效的概率：p-j200m(x)dx=j200_°.°'、dx就0.999950 0(x+0.01》10.沒X,X,,X相互獨立，且XP(0),i=L,n。若0,0,,0是來自伽瑪分布1 2 n i i 1 2nGa(a,P)的一個樣本，找出對X=(x1,x2,,x〃)的聯(lián)合邊緣密度。解：解:依題意p(%0)=^Ae-0.jix\兀(0,)= _0a-ie-叫,0,m(x)=jp(x0)兀(0)d0=j+8^~ef 0a-ie-叫d0j,iiii0x! 「(以)，j=FO*DF「(氣+a)im(x)=t!m(x)m(x)=t!m(x)=

i=i 1EJ2(8+1"+a氣!某廠準(zhǔn)備一年后生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，如今有三個方案供選擇：改建本廠原有生產(chǎn)線（七）,從國外引進(jìn)一條自動化生產(chǎn)線（。2）；與兄弟廠協(xié)助組織“一條龍”生產(chǎn)線（。3）。廠長預(yù)計一年后市場對此產(chǎn)品的需求量大致可分為三種：較高（氣）；一般（02）；較低（與）。'700980400'假設(shè)其收益矩陣為（單位：萬元），Q=250-50090^-200-800-30/假設(shè)廠長根據(jù)自己對一年后市場需求量是高，中，低，給出的主觀概率分別為，。求在悲觀準(zhǔn)則，樂觀準(zhǔn)則，和先驗期望準(zhǔn)則下的最優(yōu)行動。解：悲觀準(zhǔn)則下：首先行動匕，。2，。3的最小收益分別為-200，-800，-30,。然后選出其中最大的收益為-30，從而最優(yōu)行動為％樂觀準(zhǔn)則下：首先行動ai，a2，%的最大收益分別為700，980，400,。然后選出其中最大的收益為980，從而最優(yōu)行動為％。先驗期望準(zhǔn)則下：各行動的先驗期望收益為。（血）=420+75—20^475Q（四）=588-150-80=358O^240+27—3^264從而最優(yōu)行動為匕。

某水果店準(zhǔn)備購進(jìn)一批蘋果投放市場，市場需求量和采購量都在500至2000公斤之間，八 「0.89-0.3%, 500<0<0.9a已知其收益函數(shù)為2（0皿）=〈 ，假設(shè)0的先驗分布為〔0.34a, 0.9a<0<2000[500,2000]上的均勻分布，該店應(yīng)購進(jìn)多少蘋果可使先驗期望收益最大解：先驗期望收益為解：先驗期望收益為當(dāng)a=1343時，先驗期望達(dá)到最大，故應(yīng)購進(jìn)1343公斤蘋果。13.設(shè)某決策問題的收益函數(shù)為Q（0,a土]18：200*]"1，若0服從（0,10）上的均勻分I-12+250,0=a[ 2布，（1） 求該決策問題的損失函數(shù)。（2） 在先驗期望損失最小的原則下尋求最優(yōu)行動。解：18+200=-12+250^0=6則在a和a處的損失函數(shù)為1 2則在a和a處的損失函數(shù)為12當(dāng)0<6時，Q（0,a）>Q（0,則在a和a處的損失函數(shù)為1 2則在a和a處的損失函數(shù)為12L（0,a）=30-50當(dāng)0>6時，Q（0,a）<Q（0,a）,L（0,a）=50-30L（0,a）=00服從（0,10）上的均勻分布L（a1）=f1010（50-30）d0=4L（a2）」6土（30-50）d0=9最優(yōu)行動是a「14.一位賣花姑娘每晚購進(jìn)鮮花第—天去賣，假設(shè)每束花的購進(jìn)價格為1元，售價為6元，若當(dāng)天賣不掉，因枯萎而不能再賣。根據(jù)經(jīng)驗天至少能賣5束鮮花，最多能賣10束鮮花。（1） 寫出狀態(tài)集和行動集。（2） 寫出收益函數(shù)。（3） 在折中準(zhǔn)則下，對樂觀系數(shù)a的不同值，討論賣花姑娘刖一天應(yīng)購進(jìn)幾束鮮花為好。解：

(1)狀態(tài)集。={5,6,7,8,9,10}，行動集A={5,6,7,8,9,10}(2)收益函數(shù)Q(0,Q(0,a)=60-a,5<0<aaaaaaa123456f252423222120)253029282726Q=253035343332253035403938253035404544<253035404550/收益矩陣（3）按折中準(zhǔn)則:010203040506H（以）=以maxQ（0,a）+（1-以）minQ（0,a）

0即 0即H（以）=25H（以）=24+6以H（以）=23+12以'H（以）=22+18以H（以）=21+24以5H6（以）=20+30a當(dāng)0<a<6時，選擇匕，每天摘5朵鮮花當(dāng)^<a<1時，選擇氣，每天摘10朵鮮花.15.在二行動決策問題中，收益函數(shù)為Q（15.在二行動決策問題中，收益函數(shù)為Q（0，a）=118+200,a=a2若0N（10,42），計算先驗EVPI。nb-b解：0=-2 1—=6.0?m-m0?N(10,42),E(0)=10,m>m,最優(yōu)行動為at=|m-m|=5,t=4,p=10,0=6D=00-可=1,L(d)=L(1)=0.083320T N0NEVPI=Ln(d「*t*t=0.