2020-2021學年人教A版高中數(shù)學必修3學案2.3.1變量之間的相關關系2.3.2兩個變量的線

iiii2.32.3.12.3.2

變量間的相關系變量之間的相關系兩個變量的線相關學習目標1解變量間的相關關系散點圖，并利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系．(重點)2．了解線性回歸思想求回歸直線方程．(難點)

核心素養(yǎng)1通過對數(shù)據(jù)的分析統(tǒng)計培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．2借助變量間相關關系的研究提升數(shù)學運算素養(yǎng).1．變量的相關關系相關關系的定義變量間確實存在關系，但又不具備函數(shù)關系所要求的確定性，它們的關系是帶有隨機性的，那么這兩個變量之間的關系叫做相關關系，兩個變量之間的關系分為函數(shù)關系和相關關系．散點圖將樣本中n數(shù)據(jù)點(x，y)(i＝1,2…)描在平面直角坐標系中得到的圖形叫做散點圖．正相關與負相關①正相關：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值也由小變大，這種相關稱為正相關．②負相關：如果一個變量的值由小變大時，另一個變量的值由大變小，這種相關稱為負相關．2．回歸線方程(1)回歸直線：如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關關系，這條直線叫做回歸直線．

^^^iiii^ii^^^^^^^^^^^iiii^ii^^^^^^^^線性回歸方程：回歸直線對應的方程叫做回歸直線的方程，簡稱回歸方程．最小二乘法：求線性回歸方程y＝b＋a時得樣本數(shù)據(jù)的點到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法．

nnnxyi1i1b＝＝，nx－n2i1ia＝－bx，其中，b是線性回歸方程的斜率，a是線性回歸方程在軸上的距．1．下列兩變量具有相關關系的是()A．角度它的余弦值B．圓的半徑和該圓的面積C．正n邊形的邊數(shù)和它的內角和D．居民的收入與存款D[A、B中兩變量是確定的函數(shù)關系．]2．已知變之間具有線相關關系，其散點圖如圖所示，則其回歸方程可能為()＝＋2B.＝－x＋2C.＝－2D.＝－－2B

[散點圖知，變量，y間負相關，回歸直線在y軸上的截距為正數(shù)，

^^12^^12故只有B項符合．]3．5位學生的數(shù)學成績和物理成績如下表：學科數(shù)學物理

A8070

B7566

C7068

D6564

6062則數(shù)學成績與物理成績之間()A．是函關系B．是相關關系，但相關性很弱C．具有較好的相關關系，且是正相關D．具有較好的相關關系，且是負相關C

[學成績x和物理成績的散點圖如圖所示．從圖上可以看出數(shù)學成績和物理成績具有較好的相關關系，且成正相關．]4．設有一回歸方程＝2－1.5則變量x增加1單位時y平均減少________個單位．1.5

[為＝2－x所以變量每增加1單位時－＝[2－1.5(＋1)]－－1.5x＝－1.5所以y平均減少個單位．]【例1】

相關關系及判斷某個男孩的年齡與身高的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示．年齡x歲)身高y

178

287

398

4108

5115

6120畫出散點圖；判斷與x否具有線性相關關系．[]

散點圖如圖所示．

由圖知，所有數(shù)據(jù)點接近一條直線排列，因此，認為與x具有線性相關關系．相關關系的判斷方法有相關關系的判斷方法①散點圖法：通過散點圖，觀察它們的分布是否存在一定規(guī)律，直觀地判斷；②表格、關系式法：結合表格或關系式進行判斷；③經驗法：借助積累的經驗進行分析判斷.和y之間是否具有線性相關關系，常用的簡便方法就是繪制散點圖，如果發(fā)現(xiàn)點的分布從整體上看大致在一條直線附近，那么這兩個變量就是線性相關的，注意不要受個別點的位置的影響[進訓練]1．下列關中，屬于相關關系的是_填序號)．①正方形的邊長與面積之間的關系；②農作物的產量與施肥量之間的關系；③出租車費與行駛的里程；④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關系．②④

[①中，正方形的邊長與面積之間的關系是函數(shù)關系；②，農作物的產量與施肥量之間不具有嚴格的函數(shù)關系，但具有相關關系；③為確定的函數(shù)關系；在④中，降雪量與交通事故的發(fā)生率之間具有相關關系．]求回歸方程[究問題]1．任意兩統(tǒng)計數(shù)據(jù)是否均可以作出散點圖？[示]

任意兩個統(tǒng)計數(shù)據(jù)均可以作出散點圖．

^^^^^^ii^^^^^^ii2．任何一數(shù)據(jù)都可以由最小二乘法得出回歸方程嗎？[提]

用最小二乘法求回歸方程的前提是先判斷所給數(shù)據(jù)具有線性相關關系，否則求回歸方程是無意義的．3．回歸系b含義是什么？[示]數(shù)．

(1)代表x每增加一個單位，的平均增加單位數(shù)，而不是增加單位當>0時，兩個變量呈正相關關系，含義為：每增加一個單位，y平均增加b個單位數(shù)；當b<0，兩個變量呈負相關關系，含義為x每增加一個單位，y均減少b個單位數(shù)．【例2】一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了10試驗，收集數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)x個)加工時間y分)

1062

2068

3075

4081

5089

6095

70102

80108

90115

100122與x否具有線性相關關系？如果與x有線性相關關系，求關于x的回歸直線方程．思路點撥：畫散點圖→確定相關關系→求回歸直線系數(shù)→寫回歸直線方程．[]

畫散點圖如下：由上圖可知y與x具有線性相關關系．列表、計算：ixy

11062

22068

33075

44081

55089

66095

770102

880108

990115

10100122

iiiiiiiiiiiiiiiixy

62036025024045057640x＝，＝91.7，1010＝x2＝＝87y＝55

10350

12200i

＝1

i

＝1i

＝1求回歸直線方程的步驟，xy具有線性相關關系[進訓練]2．某種產的廣告費支出(單：百萬元)與銷售額y(單位：百萬元之間有如下對應數(shù)據(jù)：xy

230

440

560

650

870

iiiiiiii^iii^^^iiiiiiii^iii^^^畫出散點圖；求回歸方程．[]

散點圖如圖所示．列出下表，并用科學計算器進行有關計算．ixyxyx2

1230604

244016016

356030025

465030036

58705606455x＝5，y＝50＝145y＝1i

＝1i

＝1于是可得，b＝

5y5xi152－52

＝

15×5×50145－5×52

＝6.5i

＝1a＝－x＝－6.5×5＝于是所求的回歸方程是＝＋【例3】

回歸方程的應用為了解某地區(qū)某種農產品的年產量(單位：噸對價格y單位：千元/噸)的影響，對近五年該農產品的年產量和價格統(tǒng)計如表：xy

18

26

35

44

52已知x和y具有線性相關關系．求，y；

^^^5^^^^^^^^^^^5^^^^^^^^求關于x的線性回歸方程y＝bx＋a；若年產量為4.5噸，試預測該農產品的價格．[]

計算可得＝

1＋2＋3＋4＋5＋6＋5＋4＋2＝，y＝＝5.因為線性回歸直線過(x，y)，則＝y(tǒng)－bx＝－(－1.4×3)，故y關于x的線性回歸方程是y＝－1.4＋當＝4.5時，＝－×＋9.22.9(元/噸)．利用線性回歸方程解題的常見思路及注意點的中心，可以求參數(shù)問題，參數(shù)可涉及回歸方程或樣本點數(shù)據(jù).的意義，分析實際問題，此時需關注兩點①得的值只是一個估計值，不是精確值②量y成線性相關關系時性回歸方程才有意義則即使求出線性回歸方程也是毫無意義的，用其估計和預測的量也是不可信的[進訓練]3．在一段間內，分5次測得某種商品的價格x萬元)和需求量(之間的一組數(shù)據(jù)為價格x需求量y

1.412

1.610

1.87

25

2.23根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出回歸直線方程y＝x＋a試根據(jù)(中求出的回歸方程預估當價格為1.9萬元時，需求量大約是多少噸？

^^^^^^^^^^^^^^^^^^^000[]

1因為＝×9＝1.8，y＝×＝7.4，51．判斷變之間有無相關關系，簡便可行的方法就是繪制散點圖．根據(jù)散點圖，可看出兩個變量是否具有相關關系，是否線性相關，是正相關還是負相關．2．求回歸線的方程時應注意的問題知道與y呈線性相關關系，無需進行相關性檢驗，否則應首先進行相關性檢驗．如果兩個變量之間本身不具有相關關系，或者說，它們之間的相關關系不顯著，即使求出回歸方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的．用公式計算b的值時，要先算出b，然后才能算出3．利用回方程，我們可以進行估計和預測．若回歸方程＝＋，則x＝x處的估計值為y＝bx＋a.1．判斷下結論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)相關關系是兩個變量之間的一種確定的關系．回歸直線方程一定過樣本中心點．

()()

^^^^^^^^iiiiiiii^^^^^^^^^iiiiiiii^i(3)選取一組數(shù)據(jù)的部分點得到的回歸方程與由整組數(shù)據(jù)得到的回歸方程一定相同．

()[案]

×

√

×b(

2．對有線相關關系的兩個變量建立的回歸直線方＝a＋bx中，回歸系數(shù))A．不能于0C．不能等于0

B．不能大于D．只能小于0C

[b＝0時，不具有相關關系，b可以大于0也可以小于0.]3若施化肥量(千克畝)與水稻產量(千克/畝的回歸方程為y＝5＋當施化肥量為80克/時，預計水稻產量為畝產_克左右．650

[＝80，y＝40025042019年元旦前夕某市統(tǒng)計局統(tǒng)計了該市10家庭的年收入和年飲食支出的統(tǒng)計資料如下表：年收入x萬元)

267

8

10年飲食支出y萬元)

0.