概率統(tǒng)計(jì)第一章5.zh_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

概率統(tǒng)計(jì)第一章第五節(jié)條件概率與獨(dú)立性一、條件概率二、隨機(jī)事件的獨(dú)立性三、獨(dú)立性在可靠性問(wèn)題中的應(yīng)用四、貝努利概型與二項(xiàng)概率一條件概率

問(wèn)題的提法:(1)給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),Ω是它的樣本空間,問(wèn)“事件A發(fā)生的概率”?(2)在上述前提下,問(wèn)“已知某事件B已經(jīng)發(fā)生了,那么事件A發(fā)生的概率是多少”?例1、盒中裝有10個(gè)球,6個(gè)玻璃球其中2個(gè)紅色4個(gè)蘭色;4個(gè)木質(zhì)球其中3個(gè)紅色1個(gè)蘭色,現(xiàn)從中任取一球

A={取到玻璃球},B={取到蘭色球}則P(A)=6/10,

P(B)=5/10。

AB={取到蘭色玻璃球}則

P(AB)=4/10

問(wèn)“如果已知取到的是蘭色球,那么它是玻璃球的概率”是多少?

上述概率可以記為

p(A│B),且P(A│B)=4/5

事實(shí)上這時(shí)的樣本空間已經(jīng)發(fā)生變化,變成為{5個(gè)蘭色球},進(jìn)一步我們發(fā)現(xiàn),

P(A│B)

=P(AB)/P(B)

定義1.2給定一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),Ω是它的樣本空間,對(duì)于任意兩個(gè)事件A、B,其中

P(B)>0,稱(chēng)

P(A│B)=P(AB)/P(B)為在已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率。

P(A│B)=P(AB)/P(B)

條件概率也是概率,滿(mǎn)足概率的公理化定義中的三條公理,即公理1P(A│B)≥0;公理2P(Ω│B)=1;公理3P(∪Ai│B)=∑P(Ai│B)其中A1,A2,…為一列兩兩互不相容的事件.概率的其他性質(zhì)也可推廣到條件概率上,如…

例2、有5個(gè)乒乓球,其中3個(gè)新的,2個(gè)舊的,現(xiàn)無(wú)放回地取兩次每次一個(gè),記

A={第一次取到新球},B={第二次取到新球}

求:P(A),P(AB),P(B│A)。解:p(A)=3/5,

p(AB)=(3×2)/(5×4)=3/10,

p(B|A)=p(AB)/p(A)=1/2。.

例3(課本第17頁(yè)例1.14)

某建筑物按設(shè)計(jì)要求使用壽命超過(guò)50年的概率為0.8,超過(guò)60年的概率為0.6,該建筑物經(jīng)歷了50年之后,它將在10年內(nèi)倒塌的概率有多大?解:B={該建筑物的壽命在50年以上},A={該建筑物的壽命在60年以上}.p(ā|B)=1-p(A|B)

=1-p(AB)/p(B)

=1-p(A)/p(B)

=1-0.6/0.8=1/4

注意此處p(AB)=p(A)

由條件概率的定義立即得到概率的乘法公式:當(dāng)P(A)>0時(shí),

p(AB)=p(A)p(B│A)或

當(dāng)P(B)>0時(shí),

p(AB)=p(B)p(A│B)乘法公式可推廣到多個(gè)隨機(jī)事件上去,

p(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB)

例5設(shè)10個(gè)考題中4難6易,三人參加抽題(不放回),甲先、乙次、丙最后,記事件A、B、C分別表示三人各抽到難題,試求:

P(A),P(AB),P(ABC).解:P(A)=4/10=2/5,

P(AB)=p(A)p(B|A)=P(ABC)=p(A)p(B|A)p(C|AB)

例6、(書(shū)上P17例1.15)設(shè)袋中裝有a個(gè)紅球b個(gè)白球,每次隨機(jī)地從袋中取1個(gè)球。然后把原球放回,并加進(jìn)與取出球相同顏色的球c個(gè),共取了3次,試求3個(gè)球都是紅球的概率。思考:相互獨(dú)立與與不相容有何區(qū)別?

一副撲克牌共52張,現(xiàn)從中隨機(jī)地抽取一張,A={抽到K},B={抽到紅桃},可以驗(yàn)證事件A,B是相互獨(dú)立的.

拋一枚均勻硬幣2次,A={第一次正面向上},B={第二次正面向上},可以驗(yàn)證事件A,B是相互獨(dú)立的.定理表示這四對(duì)事件的獨(dú)立性是等價(jià)的。解:設(shè)A={甲擊中目標(biāo)},B={乙擊中目標(biāo)},A、B相互獨(dú)立,所求概率為

P(A∪B)=p(A)+p(B)-p(AB)

=p(A)+p(B)-p(A)p(B)

=0.8或

滿(mǎn)足前面三個(gè)式子稱(chēng)為A、B、C三個(gè)事件兩兩獨(dú)立。

相互獨(dú)立一定兩兩獨(dú)立,而兩兩獨(dú)立不一定相互獨(dú)立。例如:拋一枚均勻硬幣2次,A={第一次正面向上},B={第二次正面向上},C={恰有一次正面向上}??蓹z驗(yàn)事件A、B、C是兩兩獨(dú)立而不是相互獨(dú)立的。將以上定義推廣到n個(gè)事件一般我們有

相互獨(dú)立且至少有一發(fā)生的概率可表示為

解:設(shè)需要n門(mén)炮才能滿(mǎn)足要求,Ai表示第i門(mén)炮命中目標(biāo),A1,A2,…,An相互獨(dú)立.則

≧0.99解出n≧5,即至少需要5門(mén)炮才能以99%的把握命中敵機(jī)。

例3、(書(shū)上P19例1.7)已知每個(gè)人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.4%,且他們是否含有肝炎病毒相

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