試卷分類匯編-矩形、菱形、正方形

10矩形、菱形、正方形一、選擇題〔20233〕2ABCDMADMD至點(diǎn)E，使ME=MC，以DE為邊作正方形DEFG，點(diǎn)G在邊CD上，則DG的長(zhǎng)為【 】3〔A〕3

1〔B〕3

〔C〕5+1〔D〕 155【答案】D。55【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥緾MMEDM=DEDE，從而得到1DG的長(zhǎng)：∵四邊形ABCDM為邊AD，∴DM=5552555

DC=1。DC2DMDC2DM2

22+12=

?！郙E=MC=

。∴ED=EM－DM=

1。5∵四邊形EDGF，∴DG=DE=5

1。應(yīng)選D?！?0234〕為增加綠化面積，某小區(qū)將原來(lái)正方形地磚更換為如下圖的正八a，則陰影局部的面積為【】A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2【答案】A?！究键c(diǎn)】正多邊形和圓，等腰直角三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)?！痉治觥繄D案中間的陰影局部是正方形，面積是a2，由于原來(lái)地磚更換成正八邊形，四周一個(gè)陰影局部是對(duì)角線為a的正方形的一半，它的面積用對(duì)角線積的一半來(lái)計(jì)算：1 1a2 a22 2

42a2

。應(yīng)選A。〔2023山西省2分如圖菱形ABCD的對(duì)角線AC．BD的長(zhǎng)分別為6cm8cm，AE⊥BC于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)是【 】5 3cm B．2 5cm【答案】D?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理。

C．48cm D．24cm5 51 1【分析】∵四邊形ABCD，∴CO=2AC=3，BO=2BD=，AO⊥BO，CO2CO2+BO232+42∴BC=

5。∴S菱形ABCD

2BDAC26824。又∵S菱形ABCD

BCAE，∴BC·AE=24，即AE24cm。應(yīng)選D。5〔2023陜西省3分〕如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，垂足為E，假設(shè)∠ADC=1300，則∠AOE的大小為【 】5°【答案】B。

B．65° C．55° D．50°【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系。【分析】依據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，再依據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角求出∠BAO在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°－130°=50°。1 1∴∠BAO=2∠BAD=2×50°=25°?！逴E⊥AB，∴∠AOE=90°－∠BAO=90°－25°=65°。應(yīng)選B?！?0234〕如圖，菱形ABCDAB=2，∠A=120°，點(diǎn)P，Q，KBC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為【 】33A．1 B． C．2 D． ＋133【答案】B。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，垂直線段的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特別角的三角函數(shù)值?！痉治觥糠謨刹椒治觯杭僭O(shè)點(diǎn)P，QKP關(guān)于BDPPQ，交BDK1 1 1由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得PK=PK，PK=PK。11 1 1由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得PK＋QK＞PQ=PKQKPK＋QK1 1 11 1 1 1∴此時(shí)的K就是使PK+QK1點(diǎn)P，QPBD的對(duì)稱點(diǎn)P在AB1PBCP總在AB1PQ⊥AB1PQ1過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥DC于點(diǎn)Q∵∠A=120°，∴∠DAQ=30°。1 1 133又∵AD=AB=2，∴PQ=AQ=AD·cos300=2 。331 1 33綜上所述，PK+QK的最小值為 。應(yīng)選B。3〔2023江蘇南通3分如圖矩形ABCD的對(duì)角線AC＝8cm，∠AOD＝120o，則AB的長(zhǎng)為【 】3cm B．2cm C．23cm D．4cm【答案】D?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，平角定義，等邊三角形的判定和性質(zhì)。1【分析】在矩形ABCDAO=BO=2AC=4cm，∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°－120°=60°?！唷鰽OB是等邊三角形。∴AB=AO=4cm。應(yīng)選D?！?0233〕如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，CE∥BD，DE∥AC.AC=4，則四邊形CODE的周長(zhǎng)是【 】OEOD CA BA.4 B.6 C.8 D.10【答案】C?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)?！痉治觥俊逤E∥BD，DE∥AC，∴四邊形CODE是平行四邊形。1∵四邊形ABCD，∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD?！郞D=OC=2AC=2?！嗨倪呅蜟ODE是菱形?！嗨倪呅蜟ODE：4OC=4×2=8。應(yīng)選C。18.〔2023江蘇徐州3分ABCDE是CDF在BCFC=4BC。圖中相像三角形共有【 】A．1對(duì) B．2對(duì) C．3對(duì)【答案】C。

D．4【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，勾股定理，相像三角形的判定?！痉治觥恳罁?jù)正方形的性質(zhì)，求出各邊長(zhǎng)，應(yīng)用相像三角形的判定定理進(jìn)展判定：同，設(shè)CF=aCE=DE=2a，AB=BC=CD=DA=4a，BF=3a。依據(jù)勾股定理，得EF=5a，AE=2 5a，AF=5a。52 5CFCEEF1,CFCEEF ,DEDAAE 。52 5DE DA AD 2 EF EA AF 5 EF EA AF 5∴△CEF∽△DEA，△CEF∽△EAF，△DEA∽△EAF3C。〔20234〕如圖，在矩形ABCDAB＝2，BC＝3，點(diǎn)E、F、G、HABCD的各邊上，EF∥HG，EH∥FG，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是【 】101013A． B．13 C．2 D．2101013【答案】D?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相像三角形的判定和性質(zhì)。322213【分析】∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，∴ACBD322213又∵點(diǎn)E、F、G、H分別在矩形ABCD的各邊上，EF∥HG，EH∥FG，EFH分別在矩形ABCDEF∥HGEH∥FG。1313∴CG=ｘ，CF=3，∴FG= ?！嗨倪呅蜤FGH的周長(zhǎng)是2 。應(yīng)選D。13132 23 3對(duì)于一般狀況，可設(shè)CG=ｘ，則CF=

ｘ，DG=2－ｘ，BF=3－ｘ。2 2FG CG 13由△CFG∽△CBD得 ，即13

xFG x。13BD CD13EF BF

2 21313ｘ331313ｘ由△BEF∽△BAC得

2 EF x。13AC BC 3 21313∴四邊形EFGH2〔EF＋EG〕213

。應(yīng)選D?！?023福建廈門3分〕如圖，在菱形ABCD中，AC、BD是對(duì)角線，假設(shè)∠BAC＝50°，則∠ABC等于【 】A．40° B．50° C．80°【答案】C。

D．100°【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)。1【分析】∵四邊形ABCD，∴∠BAC=2∠BAD，CB∥AD。∵∠BAC=50°，∴∠BAD=100°?！逤B∥AD，∴∠ABC+∠BAD=180°?！唷螦BC=180°－100°=80°。應(yīng)選C。〔2023湖北宜昌3分〕如圖，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，則△ABC的周長(zhǎng)等于【 】A．20 B．15 C．10 D．5【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)。1419956【分析】∵ABCD是菱形，∠BCD=120°，∴∠B=60°，BA=BC?！唷鰽BC∴△ABC=3AB=15。應(yīng)選B?！?023湖北恩施3分〕如圖，菱形ABCD和菱形ECGF的邊長(zhǎng)分別為2和3，∠A=120°，則圖中陰影局部的面積是【 】32B．2 C．3 D．32【答案】A。【分析】如圖，設(shè)BF、CE相交于點(diǎn)M，∵菱形ABCD和菱形ECGF23，CM BC CM 2∴△BCM∽△BGF，∴GF

BG

，即3

2+3。CM=1.2。∴DM=2﹣1.2=0.8?！摺螦=120°，∴∠ABC=180°﹣120°=60°。33∴菱形ABCD邊CD上的高為2sin60°=2×2 ，3333333菱形ECGF邊CE上的高為3sin60°=3×2 2 。33 331 133 33∴陰影局部面積=S +S =×0.8×△BDM △DFM 2

+2×0.8×2

。應(yīng)選A?！?023湖北黃岡3分〕假設(shè)順次連接四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)所得四邊形是矩形，則四邊形ABCD肯定是【 】矩形 B.菱形 C.對(duì)角線相互垂直的四邊形 D.對(duì)角線相等的四邊形【答案】C?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥咳鐖D，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，依據(jù)三角形中位線定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG?！咚倪呅蜤FGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD。應(yīng)選C。〔20233〕如圖，在菱形ABCD，∠A＝60o，E、F分別是AB、ADDE、BF相交于點(diǎn)G，連接BD、CG．給出以下結(jié)論，其中正確的有【 】①∠BGD＝120o；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S

=ADE

AB2．343個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C?！究键c(diǎn)】30數(shù)值?！痉治觥俊咴诹庑蜛BCD中，∠A＝60o，∴∠BCD＝60o，∠ADC＝120o，AB=AD?！唷鰽BD又∵EAB，∴∠ADE＝∠BDE＝30o?！唷螩DG＝90o。同理，∠CBG＝90o。在四邊形BCDG中，∠CDG＋∠CBG＋∠BCD＋∠BGD=3600，∴∠BGD＝120o。故結(jié)論①正確。1HL△BCG≌△DCG，∴∠BCG＝∠DCG＝30o。∴BG=DG=2CG?！郆G＋DG＝CG。故結(jié)論②正確。在△BDG中，BG＋DG＞BD，即CG＞BD，∴△BDF≌△CGB3∵DE=ADsin∠A=ABsin60o=231 1

AB，∴S = ABDE= ABADE 2 2

AB=323

AB2。故結(jié)論④正確。343綜上所述，正確的結(jié)論有①②④三個(gè)。應(yīng)選C?！?023湖北襄陽(yáng)3分如圖，ABCD是正方形是BC〔除端點(diǎn)外的任意一點(diǎn)，DE⊥AG于點(diǎn)E，BF∥DE，交AG于點(diǎn)F．以下結(jié)論不肯定成立的是【 】△AED≌△BFA B．DE﹣BF=EF C．△BGF∽△DAE D．DE﹣BG=FG【答案】D?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系，全等、相像三角形的判定和性質(zhì)，完全平方公式，勾股定理?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是正方形，∴AB=AD，AD∥BC，∵DE⊥AG，BF∥DE，∴BF⊥AG。∴∠AED=∠DEF=∠BFE=90°?！摺螧AF+∠DAE=90°，∠DAE+∠ADE=90°，∴∠BAF=∠ADE?！唷鰽ED≌△BFAAA。故結(jié)論A正確。∴DE=AF，AE=BF，∴DE﹣BF=AF﹣AE=EF。故結(jié)論B∵AD∥BC，∴∠DAE=∠BGF?！逥E⊥AG，BF⊥AG，∴∠AED=∠GFB=90°。∴△BGF∽△DAE。故結(jié)論CAB AF由△ABF∽△AGB得 ，即AB2AFAG。AG ABAF2AB2BG2，F(xiàn)G2BG2BF2?！郉EBG2AFBG2AF2BG22AFBGAB2BF2BG22AFBGAB2〔BG2BF2AFBGAFAGFG22AFBGFG2AAG2BG〕。AG2BG0〔只有當(dāng)∠BAG=300時(shí)才相等，由于G，∠BAG=300不肯定，DEBG2不肯定等于FG2DE﹣BG=FGDD。〔2023湖南長(zhǎng)沙3分〕以下四邊形中，兩條對(duì)角線肯定不相等的是【 】A．正方形 B．矩形 C．等腰梯形 D．直角梯形【答案】D?！究键c(diǎn)】正方形、矩形、等腰梯形和直角梯形的性質(zhì)【分析】依據(jù)正方形、矩形、等腰梯形的性質(zhì)，它們的兩條對(duì)角線肯定相等，只有直角梯形的對(duì)角線肯定不相等。應(yīng)選D?！?0233〕：菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，OE∥DCBC于點(diǎn)E，AD=6cm，則OE的長(zhǎng)為【 】A．6cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是菱形，∴OB=OD，CD=AD=6cm，1∵OE∥DC，∴OE△BCD∴OE=2CD=3cm。應(yīng)選C。〔2023湖南張家界3分〕順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形肯定是【 】正方形【答案】C。

矩形 C．菱形 D．等腰梯形【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形中位線定理，菱形的判定?！痉治觥咳鐖D，連接AC．BD，1在△ABD，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=2BD。1 1 1FG=2BD，HG=2AC，EF=2AC。又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE?！嗨倪呅蜤FGHC?！?023四川成都3分〕如圖．在菱形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，以下說(shuō)法．的是【 】A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OCDAOAOC【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)?！痉治觥恳罁?jù)菱形的性質(zhì)作答：A、菱形的對(duì)邊平行且相等，所以AB∥DC，故本選項(xiàng)正確；B、菱形的對(duì)角線不肯定相等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、菱形的對(duì)角線肯定垂直，AC⊥BD，故本選項(xiàng)正確；D、菱形的對(duì)角線相互平分，OA=OC，故本選項(xiàng)正確。B?！?0233〕如圖，矩形ABCDECD的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接BD．DF，則圖中全等的直角三角形共有【】A．3對(duì) B．4對(duì) C．5對(duì) D．6對(duì)【答案】B。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，直角三角形全等的判定?！痉治觥恳罁?jù)矩形的性質(zhì)和直角三角形全等的判定，圖中全等的直角三角形有：△AED≌△FEC，△BDC≌△FDC≌△DBA，共4對(duì)。應(yīng)選B?！?023四川瀘州2分〕如圖，菱形ABCD的兩條對(duì)角線相交于O，假設(shè)AC=6，BD=4，則菱形的周長(zhǎng)是【 】A、24【答案】C。

B、16 C、4

D、21313【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理。13131 1322213∵四邊形ABCDAC=BD=∴AC⊥BDOA=2AC=3OB=2BD=2322213OA2OB2OA2OB2

。13∴菱形的周長(zhǎng)是：4AB=4 。應(yīng)選C。13〔20232ABCDEBCAEEEF⊥AEDC于點(diǎn)F，連接AF。設(shè)ABk，以下結(jié)論：AD(1)△ABE∽△ECF，(2)AE平分∠BAF，(3)當(dāng)k=1時(shí)，△ABE∽△ADF，其中結(jié)論正確的選項(xiàng)是【 】A、(1)(2)(3)【答案】C。

B、(1)(3) C、(1)(2) D、(2)(3)【分析】〔1〕∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°?！唷螧AE+∠AEB=90°。∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠FEC=90°?！唷螧AE=∠FEC。∴△ABE∽△ECF。故1〕正確。

EC EF∵△ABE∽△ECF，∴AB

AE.BE EF∵E是BC，∴BE=ECABBE

AE。Rt△ABE，tan∠BAE=Rt△AEF，tan∠EAF=

AB，EFAE，∴tan∠BAE=tan∠EAF。∴∠BAE=∠EAF?！郃E∠BAF。故〔2〕正確。AB∵當(dāng)k=1時(shí)，即AD1,∴AB=AD。∴四邊形ABCD∴∠B=∠D=90°，AB=BC=CD=AD。AB AE BC 1∵△ABE∽△ECF，∴EC1 3

EF

EC2?！郈F=4CD?！郉F=4CD?！郃B：AD=1，BE：DF=2：3.∴△ABE△ADF〔3〕錯(cuò)誤。C。〔20233〕ABCDAC、BDO，AB=5，AC=6，過(guò)DAC的平行線交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則△BDE的面積為【 】A、22 B、24 C、48 D、44【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理和逆定理?！痉治觥俊逜D∥BE，AC∥DE，∴四邊形ACED是平行四邊形?！郃C=DE=6。AC2在Rt△BCO中，BOAB2AO2

=4，∴BD=8。2 又∵BE=BC+CE=BC+AD=10，∴DE2BD2BE2?！唷鰾DE

S BDE

12DEBD24。應(yīng)選B?！?023遼寧大連3分〕如圖，菱形ABCD中，AC＝8，BD＝6，則菱形的周長(zhǎng)為【 】A.20 B.24 C.28 D.40【答案】A?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥緼C與BD相交于點(diǎn)O，由AC＝8，BD＝6AO=4，BO=3，∠AOB=900。Rt△AOBAB=5。依據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)，得AB=BC=CD=DA=5。5×4=20。應(yīng)選A。〔20233〕如圖，菱形ABCD24cm，對(duì)角線AC、BD相交于OE是AD的中點(diǎn)，連接OE，則線段OE的長(zhǎng)等于【 】3cm B.4cm C.2.5cm D.2cm【答案】A?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥俊吡庑蜛BCD24cm，∴邊長(zhǎng)AB=24÷4=6cm?！邔?duì)角線AC、BD相交于O，∴BO=DO。1 1又∵E是AD的中點(diǎn)，∴OE是△ABD的中位線。∴OE=2AB=2×6=3cm。應(yīng)選?！?0233〕ABCD4E、FAB、BC上，且AE=BF=1，CE、DF交于點(diǎn)O.以下結(jié)論：①∠DOC=90°, ②OC=OE， ③tan∠OCD=4 ，④S S

中，正確的有【 】

3 ODC

四邊形BEOF個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，反證法，線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形邊角關(guān)系，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥俊哒叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為4，∴BC=CD=4，∠B=∠DCF=90°?！逜E=BF=1，∴BE=CF=4－1=3。在△EBC和△FCD中，∵BC=CD，∠B=∠DCFBE=C，∴△EBC≌△FCDSA。∴∠CFD=∠BEC?！唷螧CE+∠BEC=∠BCE+∠CFD=90°?！唷螪OC=90°。故①正確。如圖，假設(shè)OC=OE，∵DF⊥EC，∴CD=DE?！逤D=ADD〔沖突，故②錯(cuò)誤?！摺螼CD+∠CDF=90°，∠CDF+∠DFC=90°，∴∠OCD=∠DFC。∴tan∠OCD=tan∠DFC=DC=4。故③正確。FC 3∵△EBC≌△FCD，∴S =S 。△EBC △FCD∴S －S =S －S－，即S =S 。故④正確。應(yīng)選C。△EBC △FOC △FCD △ODC 四邊形BEOF〔20233〕如圖，在正方形ABCDA△AEF，交BCE，DCF；AAEEF。假設(shè)△AEF2，則陰影局部2的面積約是【 】2〔參考數(shù)據(jù)：

31.732，π3.14〕A.0.64 B.1.64 C.1.68 D.0.36【答案】A?！究键c(diǎn)】正方形和等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，扇形和三角形面積。【分析】S陰影局部

SAEF

SCEF

S扇形AEF

。因此，由，依據(jù)正方形、等邊3三角形的性質(zhì)和勾股定理，可得等邊△AEF的邊長(zhǎng)為2，高為 ；Rt△AEF的兩直角邊長(zhǎng)為32；扇形AEF2600。2S S S S

=12

1 6022= 3+120.64∴陰影局部

AEF

CEF

扇形AEF 2

2

360 3 。322A。322〔2023貴州黔南4分〕如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相互平分，要使它變?yōu)榫匦?，需要添加的條件是【 】A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD【答案】D?！究键c(diǎn)】矩形的判定?！痉治觥克倪呅蜛BCD的對(duì)角線相互平分，則說(shuō)明四邊形是平行四邊形，由矩形的判定定理知，只需添加條件是對(duì)角線相等或一個(gè)角是直角即可，即D正確。而A、B兩選項(xiàng)為平行四邊形本身具有“對(duì)邊相等”的性質(zhì)，CABCDD確。應(yīng)選D?！?0233〕如圖：矩形ABCD的對(duì)角線AC=10，BC=8，則圖中五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和為【】A、14 B、16 C、20 D、28【答案】D?！究键c(diǎn)】平移的性質(zhì)，勾股定理。AC2BCAC2BC2

102810282AD，全部下邊平移至BC，全部左邊平移至AB，全部右邊平移至CD，∴五個(gè)小矩形的周長(zhǎng)之和=2〔AB+CD〕=2×〔6+8〕=28。應(yīng)選D?！?023山東濱州3分菱形的周長(zhǎng)為8cm，高為1cm，則該菱形兩鄰角度數(shù)比【 】A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1【答案】C。【考點(diǎn)】30度角的直角三角形的性質(zhì)。2cm，從而可得到高所對(duì)的角30°，150°，5：1。應(yīng)選C?！?023山東日照3分〕在菱形ABCD中，E是BC邊上的點(diǎn)，連接AE交BD于點(diǎn)F，假設(shè)EC=2BE，BFFD

的值是【 】1 1 1 12

3

4

5【答案】B?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)。【分析】如圖，∵在菱形ABCD中，AD∥BC，且AD=BC，BF BE∴△BEF∽△DAF，∴FDAD。又∵EC=2BE，∴BC=3BE，即AD=3BE。BF BE 1FDAD3。應(yīng)選B。32.〔2023山東泰安3分〕如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，對(duì)角線AC的垂直平分線分別交AD、AC于點(diǎn)E、O，連接CE，則CE的長(zhǎng)為【 】A．3 B．3.5 C．2.5 D．2.8【答案】C?！究键c(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理。【分析】∵EO是AC，∴AE=CE。CE=x，則ED=AD﹣AE=4﹣xRt△CDECE2=CD2+ED2x2=22+〔4－x〕2，解得x=2.5，即CE2.5。C?！?023山東威海3分〕如圖，在ABCD中，AE，CF分別是∠BAD和∠BCD的平分線。添加一個(gè)條件，仍無(wú)法推斷四邊形AECF為菱形的是【 】A.AE=AF B.EF⊥AC C.∠B=600 D.AC∠EAF【答案】C。【考點(diǎn)】平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，角平分線的定義，菱形的判定?！痉治觥恳罁?jù)菱形的判定逐一作出推斷：由在ABCDAE，CF∠BAD∠BCD行的判定和性質(zhì)可推斷四邊形AECF添加AE=AF，可依據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定得出四邊形AECF是菱形。添加EF⊥AC，可依據(jù)對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形的判定得出四邊形AECF添加∠B=600，不能判定四邊形AECF添加AC是∠EAF的平分線，依據(jù)角平分線的定義和平行的性質(zhì)，可得出∠EAC=∠ECA，從而依據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的判定得AE=CE。因此，可依據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形的判定得出四邊形AECFC?！?0233〕ABCDAD//BC，∠C＝90°，AD＝5，BC＝9，以A中心將腰AB順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AE，連接DE，則△ADE的面積等于【 】A．10【答案】A。

B．11 C．12 D．13【分析】如圖，過(guò)A【分析】如圖，過(guò)AAN⊥BCN，過(guò)EEM⊥AD，交DA延長(zhǎng)線于M，∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠C＝∠ADC＝∠ANC＝90°。∴四邊形ANCD是矩形?！唷螪AN＝90°＝∠ANB＝∠MAN，AD＝NC＝5，AN＝CD?！郆N＝9－5＝4?！摺螹＝∠EAB＝∠MAN＝∠ANB=90°，∴∠EAM＋∠BAM＝90°，∠MAB＋∠NAB＝90°?！唷螮AM＝∠NAB，∵在△EAM△BNA，∠M＝∠ANB；∠EAM＝∠BAN；AE＝AB，∴△EAM≌△BNAAA?！郋MBN4。∴△ADE∴△ADE×AD×EM＝×5×4＝10。應(yīng)選A。112 2〔20233〕AB能得到四邊形ABCD是菱形的依據(jù)是【 】一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．四邊相等的四邊形是菱形C．對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形D．每條對(duì)角線平分一組對(duì)角的平行四邊形是菱形【答案】B。【考點(diǎn)】菱形的判定，作圖〔簡(jiǎn)單作圖。【分析】ABCD的邊AD=BC=CD=AB，依據(jù)四邊相等的四邊形是菱形可得四邊形ABCDB。〔2023內(nèi)蒙古包頭3分在矩形ABCDO是BC∠AOD=90ABCD的周長(zhǎng)為20cm，則AB的長(zhǎng)為【 】5 10cm B.2cm C.2cm D.3cm【答案】D。【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定?！痉治觥俊唿c(diǎn)OBCOB=0C?！咚倪呅蜛BCDAB=DC，∠B=∠C=900。ABDC〔SASAOBDO?！摺螦OD=900，∴∠AOB=∠DOC=450?！郃B=OB。10ABCD20cm，∴AB=3cmD。37.〔20233〕如圖，菱形ABCDAB=AC，點(diǎn)E、F分別為邊AB、BC且AE=BF，連接CE、AF交于點(diǎn)H，連接DH交AG于點(diǎn)O．則以下結(jié)論①△ABF≌△CAE，②∠AHC=1200，③AH+CH=DH，④AD2=OD·DH中，正確的選項(xiàng)是【 ．A.①②④ B.①②③ C.②③④ D.①②③④【答案】D?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等、相像三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，四點(diǎn)共圓的判定，圓周角定理?！痉治觥俊吡庑蜛BCDAB=AC，∴△ABC∴∠B=∠EAC=600。AE=B，∴△ABF≌△CAESA。結(jié)論①正確?！摺鰽BF≌△CAE，∴∠BAF=∠ACE。∴∠AHC=1800－〔∠ACE＋∠CAF〕=1800－〔∠BAF＋∠CAF〕=1800－∠BAC=1800－600=1200。結(jié)論②正確。如圖，在HD上截取HG=AH。∵菱形ABCDAB=AC，∴△ADC∴∠ACD=∠ADC=∠CAD=600。又∵∠AHC=1200，∴∠AHC＋∠ADC=1200＋600=1800?！郃，H，C，D∴∠AHD=∠ACD=600?！唷鰽HG∴AH=AG，∠GAH=600?！唷螩AH=600－∠CAG=∠DAG。又∵AC=AD，∴△CAH≌△DAGSA。∴CH=DG?！郃H+CH=HG+DG=DH。結(jié)論③正確。AD HD∵∠AHD=∠OAD=600，∠ADH=∠ODA，△ADH∽△ODA?！郞D AD?！郃D2=OD·DH。結(jié)論④正確。綜上所述，正確的選項(xiàng)是①②③④。應(yīng)選D。二、填空題〔2023天津市3分〕如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以頂點(diǎn)A、B為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)E，以頂點(diǎn)C、D為圓心，1為半徑的兩弧交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為 ▲ ．3【答案】3

1?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟B接AE，BE，DF，CF?！咭皂旤c(diǎn)A、B1E，AB=1，∴AB=AE=BE，∴△AEB3∴邊AB上的高線為：2 。33同理：CD邊上的高線為：2 。3EF交ABN，并反向延長(zhǎng)EFDCM，則E、F、M，N∵AE=BE，∴點(diǎn)E在AB同理：點(diǎn)FDC3∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC。∴MN⊥AB，MN⊥DC。由正方形的對(duì)稱性質(zhì)，知EM=FN。33∴EF＋2EM=AD=1，EF＋EM=23

，解得EF=

1?！?0235〕如圖，P是矩形ABCDPA、PB、PC、PD，得到△PAB、△PBC、△PCD、△PDA，設(shè)它們的面積分別是SSSS1 2 3 4①S+S=S+S ②S+S=S+S1 2 3 4 2 4 1 3③假設(shè)S=2S，則S=2S ④假設(shè)S=S，則P點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上3 1 4 2 1 2其中正確的結(jié)論的序號(hào)是 ▲ 〔把全部正確結(jié)論的序號(hào)都填在橫線上〕.【答案】②④?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，相像【分析】如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作四個(gè)三角形的高，∵△APD以AD，△PBC以BC∴此時(shí)兩三角形的高的和為AB，1∴S+S=S ；1 3 2 矩形ABCD1同理可得出S+S=S 。2 4 2 矩形ABCD∴②S+SSSS+S=S+S2 4 1 3 1 2 3 4S=2S△APD△PBCS2S3 1 4 21 1如圖，假設(shè)S=S，則×PF×AD=×PE×AB，1 2 2 2∴△APD△PBAPF：PE=AB：AD?！摺螪AE=∠PEA=∠PFA=90°，∴四邊形AEPF∴矩形AEPF∽矩形ABCD。連接AC。∴PF：CD=PE：BC=AP：AC，PF：CD=AF：AD=AP：AC?！唷鰽PF∽△ACD?！唷螾AF=∠CAD。∴點(diǎn)A、P、C共線?！郟故結(jié)論④正確。綜上所述，結(jié)論②和④正確?！?0233〕6，一個(gè)內(nèi)角為60°，則菱形較短的對(duì)角線長(zhǎng)是▲ .【答案】6?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)。【分析】如圖，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD?！摺螦=60°，∴△ABD∴BD=AB=6。6?！?0233〕如圖，Rt△ABC，C=90o，以斜邊ABABDE，2且正方形對(duì)角線交于點(diǎn)DOAC=OC=62

則另始終角邊BC的長(zhǎng)為 ▲ ．【答案】7?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理。【分析】如圖，過(guò)OOF垂直于BC，再過(guò)OOF⊥BC，過(guò)AAM⊥OF，∵四邊形ABDE，∴∠AOB=90°，OA=OB?！唷螦OM+∠BOF=90°。又∵∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°?！唷螧OF=∠OAM。在△AOM△BOF∵∠AMO=∠OFB=90°，∠OAM=∠BOF，OA=OB，∴△AOM≌△BOFAAAM=O，OM=F。又∵∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四邊形ACFM為矩形?！郃M=CF，AC=MF=5。2∴OF=CF?！唷鱋CF22∵OC=62

∴FB=OM=OF－FM=6－5=1?！郆C=CF+BF=6+1=7。〔2023廣東肇慶3分〕菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為6和8，則這個(gè)菱形的周長(zhǎng)為▲ ．【答案】20。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥啃蔚倪呴L(zhǎng)，再依據(jù)菱形的四條邊相等求出周長(zhǎng)即可1 1如圖，依據(jù)題意得AO=2×8=4，BO=2×6=3，∵四邊形ABCD，∴AB=BC=CD=DA，AC⊥BD。∴△AOBAO2BO2169ABAO2BO2169∴此菱形的周長(zhǎng)為：5×4=20?！?023江蘇淮安3分菱形ABCD中假設(shè)對(duì)角線長(zhǎng)AC＝8cm，BD=6cm，則邊長(zhǎng)AB＝ ▲cm?！敬鸢浮??！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理。AO＝4cm，BP=3cm；AO2BO242+32在Rt△ABO中，依據(jù)勾股定理，得ABAO2BO242+32〔20233〕E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCDAB，BC，CD，DAAC⊥BDAC≠BDEFGH▲.形”〕【答案】矩形?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，矩形的判定。【分析】如圖，連接AC，BD。∵E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA∴依據(jù)三角形中位線定理，HE∥AB∥GF，HG∥AC∥EF。又∵AC⊥BD，∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=900?！嗨倪呅蜤FGH且∵AC≠BD，∴四邊形EFGH鄰邊不相等?！嗨倪呅蜤FGH〔2023江蘇徐州2分如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2c，∠A=60。D是以點(diǎn)A為圓心、AB長(zhǎng)為半徑的弧，D是以點(diǎn)B為圓心、BC長(zhǎng)為半徑的弧。則陰影局部的面積為 ▲cm2。3【答案】 。3【分析】如圖，連接BD?！吡庑蜛BCD∠A=600，∴△ABD△BCD∴BD與D圍成的弓形面積等于CD與D圍成的弓形面積。∴陰影局部的面積等于△BCD3由菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2cm，∠A=600得△BCD的高為2sin600= 。333133∴△BCD的面積等于22 3= 〔cm，即陰影局部的面積等

cm2?！?023福建寧德3分〕如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BD、CD的中點(diǎn)，EF＝6cm，則AB＝ ▲ cm．【答案】12?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理。1【分析】∵點(diǎn)E、F分別是BD、CD，∴EF=2BC=6?！郆C=12?！咚倪呅蜛BCD，∴AB=BC。∴AB=12?！?023湖北天門仙桃潛江江漢油田3分如圖線段AC=n+〔其中n為正整數(shù)點(diǎn)B在線段AC上在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCE連接AMMEA得到△AME當(dāng)AB=1時(shí)，△AME的面積記為S1；當(dāng)AB=2時(shí)，△AME的面積記為S2；當(dāng)AB=3時(shí)，△AME的面積記為S3；?；當(dāng)AB=n時(shí)，△AME的面積記為Sn．當(dāng)n≥2時(shí)，Sn﹣Sn﹣1= ▲ ．【答案】

2n12 。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，同底等高的三角形面積，整式的混合運(yùn)算?！痉治觥窟B接BE，∵在線段AC同側(cè)作正方形ABMN及正方形BCEF，∴BE∥AM?！唷鰽ME△AMB∴△AME=△AMBAB=n△AMESn

1的面積為Sn

n12。2n≥2Sn

Sn1

1n21n12=1n+n1nn+1=2n1。2 2 2 2〔20233〕ABCDAB=2，AD=4，ACEFAD于點(diǎn)E、交BC于點(diǎn)F，則EF= ▲ ．5【答案】 。5線段垂直平分線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理【分析】連接EC，AC、EF相交于點(diǎn)O。∵AC的垂直平分線EF，∴AE=EC。∵四邊形ABCD∴∠D=∠B=90°，AB=CD=2，AD=BC=4，AD∥BC。AO OE∴△AOE∽△COFOC

OF。∵OA=OC，∴OE=OF，即EF=2OE。5CE=2。5Rt△ABCAB=2，BC=4，由勾股定理得：AC=25

，∴CO= 。5Rt△CEOCO=5

5555，CE=，由勾股定理得：EO= ?！郋F=2EO= 。5552 2〔2023湖南郴州3分〕如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC=6，BD=8，則這個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為 ▲ ．4〔20233〕ABCD20cm，且tan∠ABD=3，則菱形ABCD的面積為 ▲ cm2．【答案】24。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義?！痉治觥緼CBD于點(diǎn)OBO=3x，AO=4x，從而在Rt△ABOAB20cmx出答案：AC交BD于點(diǎn)O，則AC⊥BD，AO=OC，BO=DO。4∵tan∠ABD=3，∴可設(shè)BO=3x，AO=4x，則AB=5x。又∵菱形ABCD20，∴4×5x=20，解得：x=1?！郃O=4，BO=3?！郃C=2AO=8，BD=2BO=6。1∴菱形ABCD的面積為2AC×BD=24c?！?0233ABCD1AC．BD，CE∠ACDBD于點(diǎn)E，則DE= ▲ ．2【答案】2

1。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥窟^(guò)EEF⊥DCF，∵四邊形ABCD，∴AC⊥BD?！逤E∠ACDBD于點(diǎn)E，∴EO=EF。∵正方形ABCD1，∴AC=

。∴CO=1AC= 。222 22222∴CF=CO=2?！郋F=DF=DC﹣CF=1﹣2。22EF2+DF22DE= EF2+DF22〔2023四川綿陽(yáng)4分〕如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，以各邊為直徑在正方形內(nèi)畫半圓，則圖中陰影局部的面積 ▲ 〔結(jié)果保存兩位有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)≈3.14?！敬鸢浮?.7?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，有效數(shù)字?！痉治觥坑蓤D形可知，四個(gè)半圓的面積=正方形的面積－空白局部的面積〔空白局部被重疊1〕，=2的面積，則陰影局部的面積=正方形的面積－空白局部的面積，計(jì)算即可得解：空白局部的面積=2×π×12－2×2=2π－4，陰影局部的面積=2×2－〔2π－4〕=8－2π≈8－2×3.14=1.72≈1.7?！?023四川涼山5分〕如圖，在四邊形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則EG2+FH2= ▲ 。【答案】36?！究键c(diǎn)】三角形中位線定理，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥咳鐖D，連接EF，F(xiàn)G，GH，EH，EGFH相交于點(diǎn)O?！逧、H分別是AB、DA，∴EH△ABD1∴EH=2

BD=3。1 1同理可得EF=GH=2

AC=3，F(xiàn)G=2

BD=3?！郋H=EF=GH=FG=3?！嗨倪呅蜤FGH∴EG⊥HF，且垂足為O?！郋G=2OE，F(xiàn)H=2OH。Rt△OEHOE2+OH2=EH2=9。44OE2+4OH2=9×4=36?！唷?OE〕2+〔2OH〕2=36，即EG2+FH2=36。為8cm，∠A=60°，DE⊥AB于E，DF⊥BC于點(diǎn)F，則四邊形BEDF的面積為 ▲ _cm2.3【答案】16 。3【考點(diǎn)】定義，特別角的三角函數(shù)值?！痉治觥咳鐖D，連接BD，依據(jù)菱形四邊相等和對(duì)角相等的性質(zhì)，得AB=AD=CB=CD，∠C=∠A=60°，∴△ABD△BCD由DE⊥AB，DF⊥BC，依據(jù)等邊三角形三線合一的性質(zhì)，AE=BE=BF=CF?！唷鰽DE、△BDE、△BDF△CDF全等。∴四邊形BEDF=△ABD3由∠A=60°，菱形ABCD8cm，得DE=43313

cm?！嗨倪呅蜝EDF=△ABD284

16 〔cm。3〔2023貴州畢節(jié)5分〕我們把順次連接四邊形四條邊的中點(diǎn)所得的四邊形叫．?，F(xiàn)有一個(gè)對(duì)角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點(diǎn)四邊形的對(duì)角線長(zhǎng)是 ▲ 。3【答案】5cm。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)。∵E、F、G、H1 1∴EF∥GH∥DB，EF=GH=2DB，EH∥FG∥AC，EH=FG=2AC。又∵四邊形ABCD是菱形，∴DB⊥AC?！郋F⊥EH?！嗨倪呅蜤FGHEH2EF2∵EH=1BD=3cm，EF=1AC=4cmEH2EF22 2

5cm。〔2023貴州銅仁4分〕以邊長(zhǎng)為2的正方形的中心O為端點(diǎn)，引兩條相互垂直的射線，分別與正方形的邊交于A、B兩點(diǎn)，則線段AB的最小值是 ▲ ．2【答案】 。2【考點(diǎn)】判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理?！痉治觥咳鐖D，∵四邊形CDEF，∴∠OCD=∠ODB=45°，∠COD=90°，OC=OD?！逜O⊥OB，∴∠AOB=90°?！唷螩AO+∠AOD=90°，∠AOD+∠DOB=90°，∴∠COA=∠DOB?！咴凇鰿OA△DOB，∠OCA=∠ODB，OC=OD，∠COA=∠DOB，∴△COA≌△DOBAS?！郞A=OB?！摺螦OB=90°，∴△AOBOA2OB2由勾股定理得：AB OA2OB2∴要使AB最小，只要OA依據(jù)垂線段最短的性質(zhì)，當(dāng)OA⊥CD，OA1∵四邊形CDEF，∴FC⊥CD，OD=OF?！郈A=DA，∴OA=2CF=1。2∴AB= 。2〔20233〕如圖，CDBE，AD⊥DB，∠BDE=70°，則∠CAD=▲ °．【答案】70?！究键c(diǎn)】菱形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)。【分析】∵CD與BE相互垂直平分，∴四邊形BDEC∴DB=DE。1800700∵∠BDE=70°，∴∠ABD= 2 =55°?！逜D⊥DB，∴∠BAD=90°﹣55°=35°。依據(jù)軸對(duì)稱性，四邊形ACBD關(guān)于直線AB∴∠BAC=∠BAD=35°?！唷螩AD=∠BAC+∠BAD=35°+35°=70°?！?023廣西玉林、防城港3分〕如圖，矩形OABC內(nèi)接于扇形MON，當(dāng)CN=CO時(shí)，∠NMB的度數(shù)是 ▲ .【答案】30°?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特別角的三角函數(shù)值，圓周角定理?！痉治觥窟B接OB，∵CN=CO，∴OB=ON=2OC?！咚倪呅蜲ABC，∴∠BCO=90°?！郼osBOCOC1OB 2

。∴∠BOC=60°。1∴∠NMB=2∠BOC=30°?！?023江西省3分〕如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，將△AEF繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)BE=DF時(shí)，∠BAE的大小可以是 ▲ ．【答案】15°165°?！究键c(diǎn)】正方形和正三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。正三角形AEF求解：①當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD1，∵正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A∴AB=AD，AE=AF。BE=DF△ABE△ADFAB=AD，BE=DF，AE=AF，∴△ABE≌△ADFSS?！唷螧AE=∠FAD。∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。3，

②當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD18002，同上可得△ABE≌△ADFSS?！唷螧AE=∠FAD?！摺螮AF=60°，∴∠BAF=∠DAE?！?00＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105°?！唷螧AE=∠FAD=165°。③當(dāng)正三角形AEFABCD1800時(shí)，同上可得△ABE≌△ADFSS?！唷螧AE=∠FAD?！摺螮AF=60°，∠BAE=90°，∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，這是不行能的。∴此時(shí)不存在BE=DF綜上所述，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)BE=DF，∠BAE15°165°?！?023內(nèi)蒙古赤峰3分〕如圖，在菱形ABCD中，BD為對(duì)角線，E、F分別是DC．DB的中點(diǎn)，假設(shè)EF=6，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是 ▲ ．【答案】48。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理?！痉治觥俊逜C是菱形ABCDE、F分別是DC．DB1∴EF△BCD，∴EF=2BC=6?！郆C=12。24.〔2023324.〔20233〕如下圖，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)EDE=8，BF=5，則EF▲.【答案】13?！痉治觥俊逜BCD是正方形【分析】∵ABCD是正方形〔〕，∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°〔正方形的性質(zhì)〕。又∵∠FAB+∠FBA=∠FAB+∠EAD=90°〔直角三角形兩個(gè)銳角互余〕，∴∠FBA=∠EAD〔等量代換〕?！連F⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，Rt△AFBRt△AED，∵∠AFB=∠DEA=90°，∠FBA=∠EAD，AB=DA，∴△AFB≌△AED〔AAS〕。∴AF=DE=8，BF=AE=5〔全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等〕。∴EF=AF＋AE=DE＋BF=8＋5=13。25.〔2023黑龍江哈爾濱3分〕如圖。四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，連接DE交AB于點(diǎn)F，∠AED=2∠CED，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)假設(shè)BE=1，AG=4，則AB的長(zhǎng)為 ▲15【答案】 。15【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！痉治觥俊咚倪呅蜛BCD是矩形，∴AD∥BC?！唷螩ED=∠ADE。∵四邊形ABCD，∴∠BAD=900。1∵點(diǎn)GDF，∴AG=2DF=DG?！唷螩GE=2∠ADE=2∠CED。又∵∠AED=2∠CED，∴∠CGE=∠AED?！郃E=AG。又∵BE=1，AG=4，∴AE=4。AE2BE2421215AE2BE2421215三、解答題1.〔202312ABCDEF分別在邊BCCD，∠BAF=∠DAE，AEBDG．求證：BE=DF；DF ADFCDF時(shí)，求證：四邊形BEFG1〕∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠ABC=∠ADF，∵∠BAF=∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF=∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE=∠DAF?！唷鰾AE≌△DAFAS。∴BE=DF。AD DG〔2〕∵四邊形ABCD，∴AD∥BC?！唷鰽DG∽△EBGBEDF AD DF AD DG

BG。又∵BE=DFFCDF

，∴FC

BEBG

?！郍F∥BC?！唷螪GF=∠DBC=∠BDC。∴DF=GF。又∵BE=DF，∴BE=GF。∴四邊形BEFG等腰三角形的判定，平行四邊形的判定?！?〕由菱形的性質(zhì)和∠BAF=∠DAE，證得△ABF△AFD全等后即可證得結(jié)論。AD DG DF AD〔2〕由AD∥BC△ADG∽△EBG，BEDF AD DG

BGFC

DFBE=DFFC

BE

BG。從而依據(jù)平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進(jìn)而得到∠DGF=∠DBC=∠BDC，依據(jù)等腰三角形等角對(duì)等邊的判定和BE=DF，證得BE=GF。利用一組對(duì)邊平行且相等即可判定平行四邊形?！?02310〕：如圖，在菱形ABCD，F(xiàn)為邊BCDF與對(duì)角線AC交于點(diǎn)M，過(guò)MME⊥CDE，∠1=∠2．假設(shè)CE=1，求BC求證：AM=DF+ME．〕∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD?！唷?=∠ACD?！摺?=∠2，∴∠ACD=∠2?！郙C=MD?！進(jìn)E⊥CD，∴CD=2CE?！逤E=1，∴CD=2?！郆C=CD=2。1〔2〕證明：∵F為邊BC，∴BF=CF=2BC。∴CF=CE?！咴诹庑蜛BCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD。在△CEM△CFM，∵CE=CF，∠ACB=∠ACD，CM=CM，∴△CEM≌△CFMSA，∴ME=MFABDF于點(diǎn)G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2?！摺?=∠2，∴∠1=∠G?！郃M=MG。在△CDF△BGF∵∠G=∠2，∠BFG=∠CFDBF=C，∴△CDF≌△BGFAAS?！郍F=DF。由圖形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME。【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，平行的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)?！?〕依據(jù)菱形的對(duì)邊平行可得AB∥D，再依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，依據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得CM=DM，再依據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得CE=DE，然后求出CDBC〔2〕先利用SAS△CEM△CFMME=MF，ABDFG，然后證明∠1=∠G，依據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AM=GM，再利用AAS證明△CDF△BGFGF=DF，最終結(jié)合圖形GM=GF+MF〔20238〕如圖，△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A、C為圓心，以大于AC的長(zhǎng)為半徑在AC兩邊作弧，交于兩點(diǎn)M、N；②連接MN，分別交AB、AC于點(diǎn)D、O；CCE∥AB交MN于點(diǎn)E，連接AE、CD．求證：四邊形ADCE是菱形；當(dāng)∠ACB=90°，BC=6，△ADC18時(shí)，求四邊形ADCE〔1〕DE是線段AC∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。又∵CE∥AB，∴∠ADO=∠CEO?！唷鰽OD≌△COEAA?！郞D=OE?！嗨倪呅蜛DCE是菱形?！?〕解：當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，由〔1〕知AC⊥DE，∴OD∥BC。OD AO 1∴△ADO∽△ABC?！嘤帧連C=6，∴OD=3。

。CB AC 2又∵△ADC18，∴AD+AO=9，AD=9﹣AO?！郤

AD2AD2AO29AO2AO2 4

3，解得AO=4 3424。ADCE

ADO 2 2【考點(diǎn)】作圖〔簡(jiǎn)單作圖〕，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！?〕DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，從而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE〔2〕利用當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相像三角形的性質(zhì)和勾股定理得出ODAOADCE〔20238〕如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)ABE，使BE=AB，連接CE．求證：BD=EC；假設(shè)∠E=50°，求∠BAO〔1〕證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AB∥CD。又∵BE=AB，∴BE=CD，BE∥CD?！嗨倪呅蜝ECD是平行四邊形?！郆D=EC。〔2〕解：∵四邊形BECD，∴BD∥CE，∴∠ABO=∠E=50°。又∵四邊形ABCD，∴ACBD?！唷螧AO=90°﹣∠ABO=40°?！究键c(diǎn)】菱形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系。從而證明四邊形BECD〔2〕依據(jù)兩直線平行，同位角相等求出∠ABO的度數(shù)，再依據(jù)菱形的對(duì)角線相互垂直可得AC⊥BD，然后依據(jù)直角三角形兩銳角互余計(jì)算即可得解?！?0237〕如圖，在四邊形ABCD，AD∥BC，對(duì)角線AC的中點(diǎn)為O，過(guò)點(diǎn)OACAD、BC相交于點(diǎn)E、F，連接AF。求證：AE=AF。【答案】證明：連接CE?！逜D∥BC，∴∠AEO=∠CFO，∠EAO=∠FCO又∵AO=CO，∴△AEO≌△CFOAAS?！郃E=CF?！嗨倪呅蜛ECF又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形。∴AE=AF?！究键c(diǎn)】菱形的判定和性質(zhì)，平行的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)。【分析】由，依據(jù)AAS可證得△AEO≌△CFO，從而得AE=CF。依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定可得四邊形AECF是平行四邊形。由EF⊥AC，依據(jù)對(duì)角線相互垂直的平行四邊形是菱形的判定得平行四邊形AECF是菱形。依據(jù)菱形四邊相等的性質(zhì)和AE=AF。〔202310〕如圖，菱形ABCD，∠B＝60o，點(diǎn)E在邊BC上，點(diǎn)F在邊CD上．1，假設(shè)EBC，∠AEF＝60o，求證：BE＝DF；2，假設(shè)∠EAF＝60o，求證：△AEF1〕連接AC?！吡庑蜛BCD，∠B=60°，∴AB=BC=CD，∠C=180°－∠B=120°?！唷鰽BC∵E是BC，∴AE⊥BC。∵∠AEF=60°，∴∠FEC=90°－∠AEF=30°?！唷螩FE=180°－∠FEC－∠C=180°－30°－120°=30°?！唷螰EC=∠CFE。∴EC=CF。∴BE=DF?！?〕連接AC。∵四邊形ABCD，∠B=60°，∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF?！唷鰽BC∴AB=AC，∠ACB=60°。∴∠B=∠ACF=60°。∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD。∴∠AEB=∠AFC。在△ABE△AFC，∵∠B=∠ACF，∠AEB=∠AFC，∴△ABE≌△ACFAA?！郃E=AF?！摺螮AF=60°，∴△AEF

，AB=AC，【考點(diǎn)】菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理全等三角形的判定和性質(zhì)。〔1〕ACABCD，∠B=60°，依據(jù)菱形的性質(zhì)，易得△ABC角形，又由三線合一，可證得AE⊥BC，從而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，從而證得BE=DF?！?〕連接AC，可得△ABC是等邊三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行線與三角形外角的性質(zhì)，可求得∠AEB=∠AFC，證得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，證得：△AEF〔2023廣東河源9〕如圖，△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A、C1以大于2AC的長(zhǎng)為半徑在AC的兩邊作弧，交于點(diǎn)M、N；②連接MN，分別交AB、ACD、O；③過(guò)點(diǎn)CCE∥ABMN于點(diǎn)E，連接AE、CD．求證：四邊形ADEC是菱形；當(dāng)∠ACB＝90o，BC＝6，△ACD18時(shí)，求四邊形ADEC〔1〕DE是線段AC∴AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，且AD=CD，AO=CO。又∵CE∥AB，∴∠ADO=∠CEO?！唷鰽OD≌△COEAA?！郞D=OE?！嗨倪呅蜛DCE是菱形?！?〕解：當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，由〔1〕知AC⊥DE，∴OD∥BC。OD AO 1∴△ADO∽△ABCCB又∵BC=6，∴OD=3。

AC2。又∵△ADC18，∴AD+AO=9，AD=9﹣AO?！郞D=∴S

4S

99AO2AO2AD2AO2 4

3，解得AO=4 3424。ADCE

ADO 2 2【考點(diǎn)】作圖〔簡(jiǎn)單作圖〕，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，平行的判定和性質(zhì)，相像三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理?！?〕DE是線段AC的垂直平分線，得出AC⊥DE，即∠AOD=∠COE=90°，從而得出△AOD≌△COE，即可得出四邊形ADCE〔2〕利用當(dāng)∠ACB=90°時(shí)，OD∥BC，即有△ADO∽△ABC，即可由相像三角形的性質(zhì)和勾股定理得出ODAOADCE〔20238〕如圖，在△ABC，AD⊥BCD，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC的中點(diǎn)．求證：四邊形AEDF【答案】證明：∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是BC，AB，AC的中點(diǎn)，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF又∵AD⊥BC，BD=CD，∴AB=AC。∴AE=AF。∴平行四邊形AEDF【考點(diǎn)】三角形中位線定理，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥渴紫扰卸ㄋ倪呅蜛EDF是平行四邊形，然后證得AE=AF，利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定菱形即可?！?023湖北黃岡7分〕如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，E、F分別在OD、OC上，且DE=CF，連接DF、AE，AE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M.求證：AM⊥DF.【答案】證明：∵ABCD是正方形，∴OD=OC。又∵DE=CF，∴OD－DE=OC－CF，即OF=OE。在Rt△AOE和Rt△DOF中，∵AO=DO，∠AOD=∠DOF，OE=OF，∴△AOE≌△DOFSA?！唷螼AE=∠ODF?！摺螼AE+∠AEO=90°，∠AEO=∠DEM，∴∠ODF+∠DEM=90°。∴AM⊥DF。【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角的關(guān)系?！痉治觥坑蒁E=CF，依據(jù)正方形的性質(zhì)可得出OE=OF，從而證明△AOE≌△DOF，得出∠OAE=∠ODF，然后利用等角代換可得出∠DME=90°，即得出了結(jié)論?！?0239〕如圖，在矩形ABCDM、N分別是AD．BCP、QBM、DN求證：△MBA≌△NDC；四邊形MPNQ是什么樣的特別四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由．〕證明：∵四邊形ABCD是矩形，∵AB=CDAD=B，∠A=∠C=90°。1 1∵在矩形ABCDM、N分別是AD．BC，∴AM=2AD，CN=2BC?！郃M=CN。在△MAB△NDC，∵AB=CD，∠A=∠C=90°，AM=CN∴△MAB≌△NDCSA?！?〕四邊形MPNQAN，易證：△ABN≌△BAM，∴AN=BM?！摺鱉AB≌△NDC，∴BM=DN?！逷、Q分別是BM、DN，∴PM=NQ?！逥M=BNDQ=B∠MDQ=∠NBP∴△MQD≌△NP〔SA∴MQ=PNxkb1.∴四邊形MPNQ1 1∵M(jìn)是ABQDN，∴MQ=2AN，∴MQ=2BM。1又∵M(jìn)P=2BM，∴MP=MQ。∴四邊形MQNP【考點(diǎn)】定?！?〕依據(jù)矩形的性質(zhì)和中點(diǎn)的定義，利用SAS判定△MBA≌△NDC?！?〕四邊形MPNQ是菱形，連接AN，由〔1〕可得到BM=CN，再有中點(diǎn)得到PM=NQ，再通過(guò)證明△MQD≌△NPBMQ=PN，從而證明四邊形MPNQ位線的性質(zhì)可得：MP=MQ，從而證明四邊形MQNP11〔2023四川內(nèi)江9分ABCDE是BDGBC、AEAGCDF。求證：四邊形ABCD是正方形；當(dāng)AE=2EF時(shí)，推斷FG與EF〔1〕證明：∵∠CED△BCE，∠AED△ABE∴∠CED=∠CBE+∠BCE，∠AED=∠BAE+∠ABE。∵∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，∴∠CBE=∠ABE。∵四邊形ABCD，∴∠ABC=∠BCD=∠BAD=90°，AB=CD?！唷螩BE=∠ABE=45°?！唷鰽BD△BCD∴AB=AD=BC=CD，∴四邊形ABCD〔2〕解：當(dāng)AE=2EFFG=3EF。證明如下：∵四邊形ABCD，∴AB∥CD，AD∥BC，∴△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE。∵AE=2EF，∴BE：DE=AE：EF=2?！郆C：AD=BE：DE=2BG=2AD?！連C=AD，∴CG=AD?！摺鰽DF∽△GCF，∴FG：AF=CG：AD，即FG=AF=AE+EF=3EF?！究键c(diǎn)】矩形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定，相像三角形的判定和性質(zhì)?！?〕由∠BAE=∠BCE，∠AED=∠CED，利用三角形外角的性質(zhì)，即可得∠CBE=∠ABE，又由四邊形ABCD△ABD△BCDABCD是正方形。〔2〕由題意易證得△ABE∽△FDE，△ADE∽△GBE，△ADF∽△GCF，由AE=2EF，利用相像三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得FG=3EF。AB=6，AD=12EADAE=8，EF⊥BECDF．求證：△ABE∽△DEF；求EF〔202310〕如圖，在正方形ABCDAEF的頂點(diǎn)E、FBCCD求證：CE=CF；假設(shè)等邊三角形AEF2，求正方形ABCD〔1〕ABCD，∴AB=AD?！摺鰽EF，∴AE=AF。在Rt△ABE和Rt△ADF∵AB=ADAE=A∴Rt△ABE≌Rt△AFH。∴CE=CF?！?〕解：連接AC，交EFG∵△AEF，△ECF，∴AC⊥EF。212在Rt△AGE中，EG=sin30°AE=2×2=1，∴EC= 。2設(shè)BE=x，則AB=BC=x+ ，2226 226值舍去。

在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即〔x+ 〕2+x2=4，解得x= 2 〔負(fù)2+ 6∴AB= 2+ 6+ 2= 。2+ 62 26∴正方形ABCD的周長(zhǎng)為4AB=2〔2+ 。6【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，特別角的三角函數(shù)值，勾股定理?！?〕依據(jù)正方形可知AB=AD，由等邊三角形可知AE=AF，于是可以證明出△ABE≌△ADF，即可得出CE=CF?！?〕連接AC，交EFG△AEF，△ECF是可知AC⊥EF，求出EG=1，設(shè)BE=x，利用勾股定理求出x，即可求出AB的值，從而求出正方形的周長(zhǎng)。〔202312〕1，5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、CD邊上的點(diǎn)，且AE⊥EF，BE=2求EC：CF延長(zhǎng)EF交正方形∠BCD的外角平分線CP于點(diǎn)〔圖2，試推斷AE與EP并說(shuō)明理由；2ABM，DMEP證明；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！场逜E⊥EF，∴∠BEA+∠CEF=90°?！咚倪呅蜛BCD，∴∠B=∠C=90°?！唷螧AE+∠BEA=90°?！唷螧AE=∠CEF。∴△ABE∽△ECF。∴EC：CF=AB：BE=5：2。〔2〕在AB上取一點(diǎn)M，使BM=BE，連接ME?！郃M=CE?！唷螧ME=45°?！唷螦ME=135°?！逤P，∴∠DCP=45°?！唷螮CP=135°?！唷螦ME=∠ECP。∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°，∴∠BAE=∠CEF?！唷鰽ME≌△PCEAS?！郃E=EP。〔3〕DDM⊥AEAB于點(diǎn)MMDMEP∵DM⊥AE，∴∠ADM=90°－∠DAE?！咚倪呅蜛BCD，∴AB=AD，∠B=∠BAD=90°?！唷螧AE=90°－∠DAE?！唷螧AE=∠ADM?！唷鰾AE≌△ADMAS。∴AD=DM由〔2〕AE=EP，得DM=EP。雙∵DM⊥AE，AE⊥EF，∴DM∥EP?！嗨倪呅蜠MEP【考點(diǎn)】性質(zhì)，平行的判定，平行四邊形的判定?！痉治觥?∠B=∠C=90°即可證得：△ABE∽△EFC，又由相像三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得EC：CFAB上取一點(diǎn)AM=EMEAS△AME≌△PCE，AE=E。過(guò)點(diǎn)DDM⊥AEAB于點(diǎn)M，此時(shí)M使得四邊形DMEP由△BAE≌△ADM〔ASA〕AD=DM；另一方面由DM⊥AE，AE⊥EFDM∥EP。依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定得證。15.〔202310〕如圖1，在正方形ABCDEABFADDF＝BE．求證：CE＝CF；2，在正方形ABCDE是ABGADGCE＝45°，請(qǐng)你利用〔1〕的結(jié)論證明：GE＝BE＋GD．運(yùn)用1〔2〕解答中所積存的閱歷和學(xué)問(wèn)，完成下題：如圖ABCDA∥BBA＝90°A＝BCE是AB上一點(diǎn)，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10,求直角梯形ABCD〕證明：在正方形ABCDBCD，B＝CD，B＝D，∴△CBCD〔SACECF。〔2〕證明：如圖，延長(zhǎng)ADF，使DF=BE．連接CF。由〔1〕知△CBE≌△CDF，∴∠BCE＝∠DCF?！唷螧CE＋∠ECD＝∠DCF＋∠ECD，即∠ECF＝∠BCD＝90°。又∠GCE＝45°，∴∠GCF＝∠GCE＝45°?！逤E＝CF，∠GCE＝∠GCF，GC＝GC，∴△ECFC〔SAGEGF，∴GE＝DF＋GD＝BE＋GD?！?〕如圖，過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G．在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A＝∠B＝90°。又∠CGA＝90°，AB＝BC，∴四邊形ABCD為正方形。∴AG＝BC?！螪CE＝45°，依據(jù)12〕EBE＋D?！?0=4+DG，即DG=6。AB＝x，則AE＝x－4，AD＝x－6，Rt△AED，∵DE2=AD2＋AE2102=〔x－6〕2＋〔x－4〕2。解這個(gè)方程，得：x=12x=－2〔舍去。∴AB=12?！郤梯形ABCD

1 1ADBAB 612121082 2∴梯形ABCD108?！究键c(diǎn)】正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，直角梯形?！病秤伤倪呅问茿BCD正方形，易證得△CBE≌△CDFSAS，即可得CE=C?！?延長(zhǎng)AD至FDF=BC1知△CBE≌△CDF又由∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，即可證得△ECG≌△FCG，從而可得GE=BE+GD。〔3〕過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G，易證得四邊形ABCG為正方形，由可知，ED=BE+DG，即可求得DG的長(zhǎng)，設(shè)AB=x，在Rt△AED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得ABABCD〔20237〕如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，DE∥AC，CE∥BD．求證：四邊形OCED【答案】證明：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形?！咚倪呅蜛BCD，∴OC=OD。∴四邊形OCED【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)，菱形的判定?！痉治觥渴紫纫罁?jù)兩對(duì)邊相互平行的四邊形是平行四邊形證明四邊形OCED是平行四邊形，再依據(jù)矩形的性質(zhì)可得OC=OD，即可利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形判定出結(jié)論?！?0237〕如圖，點(diǎn)A．F、C．D在同始終線上，點(diǎn)B和點(diǎn)EAD的兩側(cè)，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．求證：四邊形BCEF是平行四邊形，假設(shè)∠ABC=90°，AB=4，BC=3，當(dāng)AF為何值時(shí)，四邊形BCEF是菱形．〔1〕證明：∵AF=DC，∴AF+FC=DC+FC，即AC=DF?！咴凇鰽BC△DEF，AC=DF，∠A=∠D，AB=DE，∴△ABC≌DEFSAS?！郆C=EF，∠ACB=∠DFE，∴BC∥EF?！嗨倪呅蜝CEF〔2〕解：連接BE，交CFG，∵四邊形BCEFBE⊥CFBCEF4242+32AB2AB2+BC2

5?！摺螧GC=∠ABC=90°，∠ACB=∠BCG，∴△ABC∽△BGC。BC CG∴

3 CG，即

CG9。AC BC 5 3 518∵FG=CG，∴FC=2CG=5，18 7∴AF=AC﹣FC=5﹣ 。5 57AF=5時(shí)，四邊形BCEF【考點(diǎn)】平行四邊形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行的判定，菱形的判定，勾股定理，相像三角形的判定和性質(zhì)。即可判定四邊形BCEF〔2〕由四邊形BCEF是平行四邊形，可得當(dāng)BE⊥CF時(shí)，四邊形BCEF連接BE，交CF與點(diǎn)G，證得△ABC∽△BGC，由相像三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得AF的值。〔20238〕ABCDAC、BDO，BE⊥ACE，DF⊥ACF，點(diǎn)O既是AC的中點(diǎn)，又是EF求證：△BOE≌△DOF；1假設(shè)OA＝2BD，則四邊形ABCD〕證明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO=∠DFO=90°。OEF，∴OE=OF。又∵∠DOF=∠BOE，∴△BOE≌△DOFASA?！?〕四邊形ABCD∵△BOE≌△DOF，∴OB=OD。又∵OA=OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形。1 1∵OA=2BD，OA=2AC，∴BD=AC?！嗥叫兴倪呅蜛BCD【考點(diǎn)】全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定?！?〕依據(jù)垂直可得∠BEO=∠DFO=90°，OEFOE=OF，再加上對(duì)頂角∠DOF=∠BOE，可利用ASA△BOE≌△DOF。依據(jù)△BOE≌△DOF可得DO=BOAO=CO可得四邊形ABCD形，再證明DB=AC，可依據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形證出結(jié)論?！?0239ABCDEBCAEBF⊥AE，垂足為HCDFCG∥AE,交BFG.1〕

FC2AB2

=GF.GB1〕∵BF⊥AE，CG∥AE，CG⊥BF，∴CG⊥BF.∵在正方形ABCD中，∠ABH+∠CBG=900,∠CBG+∠BCG=900,∠BAH+∠ABH=900,∴∠BAH=∠CBG，∠ABH=∠BCG。又∵AB=BC，∴△ABH≌△BCGAS?！郈G=BH?！?〕∵∠BFC=∠CFG，∠BCF=∠CGF=900，∴△CFG∽△BFC。FC GF∴BF

FCFC2=BF·GF。〔3〕∵∠CBG=∠FBC，∠CGB=∠FCB=900，∴