高中數(shù)學(xué)蘇教版第二章平面向量單元測(cè)試 公開(kāi)課獎(jiǎng)

2．向量的數(shù)乘情景：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法，請(qǐng)同學(xué)們作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)(與已知向量a相比)．思考：相加后和的長(zhǎng)度與方向有什么變化？這些變化與哪些因素有關(guān)？1．實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作________．答案：λa2．|λa|＝________．答案：|λ||a|3．當(dāng)________時(shí)，λa與a方向相同；λ＜0時(shí)，λa與a方向________；當(dāng)________時(shí)，λa＝0(a≠0)．答案：λ＞0相反λ＝04．實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律中，結(jié)合律是________，它的幾何意義是__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(μa)＝(λμ)a將表示向量a的有向線段先伸長(zhǎng)或壓縮|μ|倍，再伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍，與直接將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|λμ|倍所得結(jié)果相同5．第一分配律是________，幾何意義是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：(λ＋μ)a＝λa＋μa將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍后，再與表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|μ|倍后相加，和直接將表示向量a的有向線段伸長(zhǎng)或壓縮|λ＋μ|倍所得結(jié)果相同6．第二分配律是________，幾何意義是___________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：λ(a＋b)＝λa＋λb將表示向量a、b的有向線段先相加，再伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍，與將表示向量a、b的有向線段先伸長(zhǎng)或壓縮|λ|倍，再相加所得結(jié)果相同7．向量b與非零向量a共線的等價(jià)條件是__________________________________________________________．答案：存在唯一實(shí)數(shù)λ使b＝λa8．向量線性運(yùn)算是指向量的________運(yùn)算，幾何意義是__________________________________________________________．答案：加、減、數(shù)乘將表示兩個(gè)向量a，b的有向線段先分別伸長(zhǎng)或縮短|μ1|，|μ2|倍，再相加(或相減)，最后再伸長(zhǎng)或縮短|λ|倍，與將表示這兩個(gè)向量a，b的有向線段先分別伸長(zhǎng)或縮短|λμ1|，|λμ2|倍，再相加(或相減)所得的結(jié)果相同9．與非零向量a共線的單位向量是________．答案：±eq\f(a,|a|)實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，記作λa，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：(1)|λa|＝|λ||a|；(2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0.實(shí)數(shù)λ與向量a相乘，叫做向量的數(shù)乘．實(shí)數(shù)與向量的積的定義可以看做是數(shù)與數(shù)的積的概念的推廣．?dāng)?shù)與向量的積還是一個(gè)向量，λa與a同向(λ＞0)或反向(λ＜0)時(shí)，判斷兩個(gè)向量是否平行，實(shí)際上就是找出一個(gè)實(shí)數(shù)，使這個(gè)實(shí)數(shù)和其中的一個(gè)向量的積能夠把另一個(gè)向量表示出來(lái)．向量數(shù)乘運(yùn)算律設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù)，那么：(1)λ(μa)＝(λμ)a；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律與中學(xué)代數(shù)運(yùn)算中實(shí)數(shù)乘法的運(yùn)算律相似，只是實(shí)數(shù)乘向量的分配律由于因子的不同可分為：第一分配律，即(λ＋μ)a＝λa＋μa；第二分配律，即λ(a＋b)＝λa＋λb.共線向量定理如果有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，如果b與a(a≠0)是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λa.eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1．設(shè)λ、μ∈R，下面敘述不正確的是()A．λ(μa)＝(λμ)aB．(λ＋μ)a＝λa＋μaC．λ(a＋b)＝λa＋λbD．λa與a的方向相同(λ≠0)答案：D2．|a－b|＝|a|＋|b|(b≠0)成立的等價(jià)條件是()A．b＝λa且λ∈(－∞，0)B．a(chǎn)＝λb且λ∈[0，＋∞)C．b＝λa且λ∈(－∞，0]D．a(chǎn)＝λb且λ∈(－∞，0]答案：D3．在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，若eq\o(BE,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，則m＋n＝________．解析：如圖，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→)).∴m＝－eq\f(3,4)，n＝eq\f(1,4).∴m＋n＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)4．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共線，則a＋b與c＝6e1－2e2的關(guān)系是________．答案：共線5．若a，b是已知向量，且eq\f(1,3)(3a－2c)＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)c－b))＋a＋6b＝0，則c＝________．答案：－6(a＋b)6．已知向量a、b不共線，實(shí)數(shù)x、y滿足等式5xa＋(8－y)b＝4xb＋3(y＋9)a，則x＝_______，y＝_______．答案：3－47．已知平面上不共線的四點(diǎn)O，A，B，C，若eq\o(OA,\s\up6(→))－2015eq\o(OB,\s\up6(→))＋2014eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，則eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))|,|\o(BC,\s\up6(→))|)＝________．答案：20238．化簡(jiǎn)：eq\f(7,6)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,7)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＋\f(7,6)a))))－eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（3a＋2b）－\f(2,3)a－b))＝________．答案：09．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，C為eq\o(AB,\s\up6(→))上距A較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，D為eq\o(CB,\s\up6(→))上距C較近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則用a，b表示eq\o(OD,\s\up6(→))的表達(dá)式為eq\o(OD,\s\up6(→))＝________．答案：eq\f(4a＋5b,9)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級(jí))10．已知O，A，B是平面上的三個(gè)點(diǎn)，直線AB上有一點(diǎn)C，滿足2eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝()A．2eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))B．－eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))\f(2,3)eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))D．－eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(OB,\s\up6(→))答案：A11．已知向量a、b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是()A．A、B、DB．A、B、CC．B、C、DD．A、C、D解析：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋4b＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴A、B、D三點(diǎn)共線．答案：A12．向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，a、b不共線，則∠AOB的平分線eq\o(OM,\s\up6(→))可表示為()\f(a,|a|)＋eq\f(b,|a|)\f(a＋b,|a＋b|)\f(|b|a－|a|b,|a|＋|b|)D．λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,|a|)＋\f(b,|b|)))(λ由|eq\o(OM,\s\up6(→))|確定)解析：因eq\f(a,|a|)與eq\f(b,|b|)均是單位向量，∴以這兩個(gè)向量為鄰邊的平行四邊形是菱形，而菱形的對(duì)角線平分對(duì)角．∴只有D項(xiàng)才表示∠AOB的平分線向量．答案：D13．O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，λ∈[0，＋∞)，則點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)△ABC的()A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心解析：eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)是與eq\o(AB,\s\up6(→))同向的單位向量，eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)是與eq\o(AC,\s\up6(→))同向的單位向量．以A為共同起點(diǎn)，以這兩個(gè)單位向量為鄰邊作出菱形AB0P0C0，則它們的和向量eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)即菱形的對(duì)角線所確定的以A為起點(diǎn)的向量eq\o(AP0,\s\up6(→))，同時(shí)由菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角知AP0平分∠BAC.λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λeq\o(AP0,\s\up6(→))(λ≥0)，與以A為起點(diǎn)的AP0同向的向量eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(AP0,\s\up6(→))(λ≥0)，故點(diǎn)P的軌跡是∠BAC的平分線(含點(diǎn)A)．故通過(guò)內(nèi)心．答案：B14．過(guò)△ABC的重心任作一直線分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，若eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝y(tǒng)eq\o(AC,\s\up6(→))，xy≠0，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的值為_(kāi)_______．解析：不妨設(shè)過(guò)△ABC的重心所作直線與BC平行，則eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，故x＝y(tǒng)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(3,2)＋eq\f(3,2)＝3.15．已知非零向量e1，e2不共線，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝ke1＋8e2，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(e1－e2)．若A、B、D三點(diǎn)共線，試確定實(shí)數(shù)k的值．解析：∵eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝ke1＋8e2＋3(e1－e2)＝(k＋3)e1＋5e2，又A、B、D三點(diǎn)共線，∴存在唯一實(shí)數(shù)λ，使得eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(BD,\s\up6(→))，即e1＋e2＝λ[(k＋3)e1＋5e2]，即[λ(k＋3)－1]e1＝(1－5λ)e2.又e1，e2不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ（k＋3）－1＝0，,1－5λ＝0.))則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝2，,λ＝\f(1,5).))∴k＝2.16．設(shè)a，b是不共線的兩個(gè)非零向量．(1)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝2a－b，eq\o(OB,\s\up6(→))＝3a＋b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝a－3b，求證：A，B，C三點(diǎn)共線；(2)若8a＋kb與ka＋2b共線，求實(shí)數(shù)k的值．(1)證明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，而eq\o(BC,\s\up6(→))＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(BC,\s\up6(→))共線，且有公共端點(diǎn)B.∴A，B，C三點(diǎn)共線．(2)解析：∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得8a＋kb＝λ(ka＋2b)．∴(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.∵a與b不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(8－λk＝0，,k－2λ＝0.))∴8＝2λ2.∴λ＝±2.∴k＝2λ＝±4.17．如右下圖所示，在平行四邊形ABCD中，eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD上一點(diǎn)，|BN|＝eq\f(1,3)|BD|.求證：M、N、C三點(diǎn)共線．證明：∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－b.∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋eq\f(1,3)(a－b)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,6)b＝eq\f(1,6)(2a＋b)．又∵eq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b＋a＝eq\f(1,2)(2a＋b)，∴eq\o(MC,\s\up6(→))＝3eq\o(MN,\s\up6(→)).∴eq\o(MC,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))共線．又eq\o(MC,\s\up6(→))與eq\o(MN,\s\up6(→))有共同起點(diǎn)，∴M、N、C三點(diǎn)共線．18．設(shè)平面上不在一直線上的三點(diǎn)為O、A、B，證明：當(dāng)實(shí)數(shù)p，q滿足eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝1時(shí)，連接peq\o(OA,\s\up6(→))，qeq\o(OB,\s\up6(→))兩個(gè)向量終點(diǎn)的直線通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)．證明：方法